C语言解决青蛙跳台阶问题(升级版)

目录

• 1. 基础问题
• 题目描述
• 解题思路
• 代码实现
• 2. 问题升级
• 题目描述
• 解题思路
• 代码实现
• 3. 特性总结

1. 基础问题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

诺，就像下面这样

解题思路

其实我一看到这道题，我也是懵的，不知道从哪里着手分析，那我们就从最简单的情况开始分析。

假如 n = 1，一共有一级台阶，显然就只有一种跳法

一次跳1阶；

假如 n = 2，一共有两级台阶，共有两种跳法

跳1阶，再跳1阶

跳2阶

假设n = 3，共有三种跳法。

跳1阶，跳1阶，再跳1阶

跳1阶，再跳2阶

跳2阶, 再跳1阶

（注：此过程图是我从网上找的，实在是难得画啦）

通过上面的分析，我们可以这样思考问题

前往楼梯顶部的最后一步，要么跳1阶，要么跳2阶；

先假设f(n)为 n 级台阶的总跳法数；

那么第一次如果选择跳一级的话，剩下的 n-1 级台阶的跳法数就为f(n−1)。

如果第一次跳两级的话，剩下的 n-2 级台阶的跳法就是f(n−2)；

现在青蛙一次只能跳一级或两级，所以我们可以推出以下公式：

咦，这玩意儿不就是我们 斐波那契数 吗？

只不过有一点不同的是，斐波那契数列一般是以1,1,2,3,5,8,13……开始的；

而我们这是以1,2,3,5,8,13……开始的，少了最前面的一个1。

代码实现

上面说到这个过程有点类似于斐波那契数，但又不完全是，所以我们先看主代码部分

#include 
int jump(int n)
{
    if (n < 3)
    {
        //假设n的范围是[0, 3]
        return n;
    }
    else
    {
        //n>3的时候
        return jump(n - 1) + jump(n - 2);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);
    
    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

但是，我们来看一下计算的过程

要计算f(6)，就需要先计算出子问题f(5)和f(4)

然后要计算f(5)，又要先算出子问题f(4)和f(3)，以此类推。

一直到f(2)和f(1)，递归树才终止。

因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 等于O(1) * O(2ⁿ)=O(2ⁿ)

你仔细观察这颗递归树，你会发现存在「大量重复计算」；

比如f(4)被计算了两次，f(3)被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！

所以我们可以对代码进行优化

递归升级

在递归法的基础上，新建一个长度为n的数组，用于在递归时存储f(0)至f(n) 的数字值，重复遇到某数字时则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。

所以我们设置一个数组，用于存放第一次计算某一个n的jump(n)。

当每一次要计算一个jump(n)的时候，就先查看数组中以n为下标的地方是否有值，有的话就可以不调用jump(n)，而直接从数组中取得结果值，否则再计算jump(n)。

代码实现

#include 

long int f[1000]={0};
int jump(int n){
    //当只有一阶台阶的时候，只有一种上台阶的方式。
    
    //当有2阶台阶的时候，有2种上台阶的方式，一种是一次上一阶，还有一种是一次上2个台阶。
    
    //现在设有n阶台阶,如果n>2,那种应该有（先跳一阶）+（先跳2阶）的方式
    
    //如果先跳一阶，那么就有jump(n-1)中方式。如果先跳2阶，那么就有jump(n-2)中方式。
    
    //因此可以知道共有jump(n-1) + jump(n-2)种方式。
    if(n==1)
    {
        f[1]=1;
        return f[1];
    }

    if(n==0)
    {
        f[0]=1;
        return f[0];
    }

    if(n==2)
    {
        f[2]=2;
        return f[2];
    }
    else
    {
        if(f[n-1]!=0)
        {
            if(f[n-2]!=0)
            {
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
            else
            {
                f[n-2]=jump(n-2);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
        }
        else
        {
            if(f[n-2]!=0)
            {
                f[n-1]=jump(n-1);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
            else
            {
                f[n-1]=jump(n-1);
                f[n-2]=jump(n-2);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

动态规划解法

很快我又发现，不必把所有的记录都记起来；

假设我有3阶楼梯，我只需要知道跳2阶和跳1阶的方法数是多少就可以算出跳3阶的方法数；

因此每次只需要保留n−1阶和n−2阶的方法数。

代码实现

#include 

int jump(int n)
{
    //n=0、1、2的时候,直接返回n即可
    if (n < 3)
    {
        return n;
    }
    
    //第一个数为1
    int one = 1;

    //第二个数为2
    int two = 2;

    //用于存放前两个数之和
    int sum = 0; 
    while (n > 2)
    {
        sum = one + two;
        one = two;
        two = sum;

        n--;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

2. 问题升级

题目描述

一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上二级台阶……，也可以跳n级，求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

解题思路

一只青蛙要想跳到n级台阶，可以从一级，二级……，也就是说可以从任何一级跳到n级

当台阶为1级时，f(1)=1；

当台阶为2级时，f(2)=1+1=2；

当台阶为3级时，f(3)=f(1)+f(2)+1=4；

当台阶为4级时，f(4)=f(1)+f(2)+f(3)+1=8；

当台阶为5级时，f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+1=16；

所以递推公式我们很容易就能想到:f(n)=f(n−1)+f(n−2)+……+f(2)+f(1)+f(0)

最后这个f(0)是可以去掉的，因为0级就相当于没跳，所以f(0)=0

然后我们把f(0)去掉再转换一下：f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+……+f(2)+f(1)；

推导过程

我们列两个等式：

①f(n)=f(n−1)+f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)

②f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)

由①-②得，f(n)=2f(n−1)

代码实现

递归方法

代码示例

int jump(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 2 * jump(n - 1);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

非递归方法

当然这里也可以用非递归的方式来实现

那么非递归怎么去思考呢？

可以这样理解：

然后使用用函数pow(2,n -1)，需要加头文件

但是我们这里可以不用库函数来实现，给大家介绍一种神奇的运算

代码示例

int jump(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 1 << (n-1);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

我这里选择用<<左移操作符来计算

3. 特性总结

其实这道算法题的本质可以说就是斐波那契数的衍生；

反言之，对于算法，我的理解：算法本质就是数学的解题过程

以上就是C语言解决青蛙跳台阶问题(升级版)的详细内容，更多关于C语言青蛙跳台阶的资料请关注脚本之家其它相关文章！