考研数学笔记：曲率数学公式推导

1. 曲线的曲率

• 几何体的曲率对于不同的对象有不同的定义。首先来看最简单的平面曲线。
• 首先把曲线分成无穷小的小段，每一段看作某个圆的一小段圆弧。这个圆叫做“密切圆”（Osculating Circle）。由于它与曲线只相交于极小的一段，又称为“接吻圆”（Kissing Circle）。这个圆的半径称为“曲率半径”。
• “曲率”是一个向量，它从圆弧上的参考点指向密切圆圆心。密切圆曲率半径的倒数就是这个圆弧在这个点上“曲率”的大小。所以，曲线越接近直线，曲率半径就越大，在这一点上的曲率就越小。直线曲率出处为零。

2. 曲线的表示形式

二维平面上的曲线有两种参数化形式，如下所示：

• 参数方程1
  
• 参数方程2
  
  以上两种参数方程都可以唯一确定一条二维平面内的曲线。因此，下文计算的曲率、曲率的导数以及曲率导数的导数的公式都有两种等价的形式。

3. 曲率计算公式及推导

先给出熟悉的曲率计算公式：

以及：

3.1 参数方程1曲率公式推导

3.2参数方程2曲率公式推导

3.3小结

两种参数方程得到的曲率公式推导过程相似，最终公式形式也差不多。在表示曲线时，不同情况下用到的参数化方程不一样。为了简便 ，可以统一两种参数方程，令x ( t ) = t 时，参数方程1就变成了参数方程2。此时，x ′ = 1 , x ′ ′ = 0 ，代入式(1)就得到式(2)。下文中，只求针对参数方程1的曲率导数k’以及曲率导数的导数k ′′。

说明：数学公式不会插入所以用的他人的博客图片！！！