考研数学笔记:曲率数学公式推导

曲率

  • 1. 曲线的曲率
  • 2. 曲线的表示形式
  • 3. 曲率计算公式及推导
    • 3.1 参数方程1曲率公式推导
    • 3.2参数方程2曲率公式推导
    • 3.3小结

1. 曲线的曲率

  • 几何体的曲率对于不同的对象有不同的定义。首先来看最简单的平面曲线。
  • 首先把曲线分成无穷小的小段,每一段看作某个圆的一小段圆弧。这个圆叫做“密切圆”(Osculating Circle)。由于它与曲线只相交于极小的一段,又称为“接吻圆”(Kissing Circle)。这个圆的半径称为“曲率半径”。
  • “曲率”是一个向量,它从圆弧上的参考点指向密切圆圆心。密切圆曲率半径的倒数就是这个圆弧在这个点上“曲率”的大小。所以,曲线越接近直线,曲率半径就越大,在这一点上的曲率就越小。直线曲率出处为零。

2. 曲线的表示形式

二维平面上的曲线有两种参数化形式,如下所示:

  • 参数方程1
    考研数学笔记:曲率数学公式推导_第1张图片
  • 参数方程2
    考研数学笔记:曲率数学公式推导_第2张图片
    以上两种参数方程都可以唯一确定一条二维平面内的曲线。因此,下文计算的曲率、曲率的导数以及曲率导数的导数的公式都有两种等价的形式。

3. 曲率计算公式及推导

先给出熟悉的曲率计算公式:
在这里插入图片描述
以及:
在这里插入图片描述

3.1 参数方程1曲率公式推导

在这里插入图片描述
考研数学笔记:曲率数学公式推导_第3张图片
考研数学笔记:曲率数学公式推导_第4张图片
在这里插入图片描述

3.2参数方程2曲率公式推导

考研数学笔记:曲率数学公式推导_第5张图片

3.3小结

两种参数方程得到的曲率公式推导过程相似,最终公式形式也差不多。在表示曲线时,不同情况下用到的参数化方程不一样。为了简便 ,可以统一两种参数方程,令x ( t ) = t 时,参数方程1就变成了参数方程2。此时,x ′ = 1 , x ′ ′ = 0 ,代入式(1)就得到式(2)。下文中,只求针对参数方程1的曲率导数k’以及曲率导数的导数k ′′。

说明:数学公式不会插入所以用的他人的博客图片!!!

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