狄利克雷生成函数

简介

源自 command_block(命令方块)的博客

当我们对于一些数论函数进行狄利克雷卷积作为乘法的时候，往往会遇到狄利克雷幂、狄利克雷逆之类的相关运算。

我们讨论的并不是一些作为多项式形式存在的函数，而是作为点值表达式存在的函数。我们限定这些函数的定义域都是 $[1,N]\cap \mathbb{Z}$ 。

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支撑这些运算的数学基础都是狄利克雷生成函数。

一个数论函数 $f$ 对应的狄利克雷生成函数是
$$F(x)=\sum _{i=1}^{+\infty }\frac{f(i)}{i^x}$$

两个狄利克雷生成函数相乘，再换回数论函数的形式，就相当于一次狄利克雷卷积了，因为上式的 $a^x$ 与 $b^x$ 可以贡献到 $(ab{)}^x$ 。这就可以保证，狄利克雷卷积的各种运算与多项式函数运算是性质相同的。

我们选择 $\frac{1}{i^x}$ 而不是 $i^x$ ，因为后者不收敛。

狄利克雷函数求导/积分

本质是在狄利克雷生成函数上求导，不难得到
$$F^{\prime }(x)={\left(\sum _{i=1}^{+\infty }\frac{f(i)}{i^x}\right)}^{\prime }=\sum _{i=1}^{+\infty }\frac{f(i)\ln i}{i^x}=\sum _{i=1}^{+\infty }\frac{f^{\prime }(i)}{i^x}$$

得到 $f^{\prime }(i)=f(i)\ln i$ 。不难发现 $f^{\prime }(1)=0$ 。

但是此处 $\ln i$ 我们没法算，因此我们将 $\ln i$ 替换为 $\lambda (i)$（$i$ 质因数分解后的幂次和），同样满足 $\lambda (ab)=\lambda (a)+\lambda (b)$ 。$\lambda$ 函数可以 $O(n\log n)$ 预处理。

于是 $f^{\prime }(i)=f(i)\lambda (i)$ 。不难发现同样 $f^{\prime }(1)=0$ 。

那么积分就是 $f(i){\lambda }^{-1}(i)$ ，需要特别注意的是，这里的积分并不是该函数的前缀和。另外，往往需要令 $(\int f)(1)=1$ 。

狄利克雷卷积

一般的函数往往不是积性函数，只能通过狄利克雷卷积的定义来进行运算：
$$F(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

这里要强调的是，我们不要傻到通过枚举 $n$ 以及其因数 $d$ 来 $O(n\sqrt{n})$ 地计算。我们应该选择埃氏筛法。

狄利克雷逆

为了方便理解和区分，下文都用 $f[i]$ 而不是 $f(i)$ 来表示整数 $i$ 处的函数值。

已知数论函数 $F$ （$F[1]=1$），求 $G$ ，满足
$$F\ast G=e$$

我们令 $G[1]=1$，剩下 $>1$ 的就是推式子了：
$$\begin{gathered} n>1,\sum _{d|n}G[d]F[\frac{n}{d}]=0 \\ G[n]F[1]+\sum _{d|n,d<n}G[d]F[\frac{n}{d}]=0 \\ G[n]=-\sum _{d|n,d<n}G[d]F[\frac{n}{d}] \end{gathered}$$

同样通过埃氏筛法递推，时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

狄利克雷 ln

已知数论函数 $F$ （$F[1]=1$），求 $G$ ，满足
$$\ln F=G$$

我们对其求导（$\ln F(i)$ 对 $i$ 求导）再积分，可得：
$$G=\int \frac{F^{\prime }}{F}=\int (F^{\prime }\ast F^{-1})$$

不难发现 $G[1]=0$ 。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

狄利克雷 exp

已知数论函数 $F$ （$F[1]=0$），求 $G$ ，满足
$$\ln G=F$$

令 $G[1]=1$ ，

两边求导推式子：
$$\begin{gathered} \frac{G^{\prime }}{G}=F^{\prime }\Rightarrow G^{\prime }=F^{\prime }\ast G \\ {G}^{\prime }[n]=\sum _{d|n}G[d]F^{\prime }[\frac{n}{d}]=\sum _{d|n,d<n}G[d]F^{\prime }[\frac{n}{d}]+G[n]F[1]\lambda (1) \\ =\sum _{d|n,d<n}G[d]F^{\prime }[\frac{n}{d}] \end{gathered}$$

用埃氏筛法递推，再积分一下就好了。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

狄利克雷幂

已知自然数 $k$ 和数论函数 $F$ （$F[1]=0$），求 $G$ ，满足
$$G=F\ast F\ast ...\ast F=F^k$$

求 $\ln$ 再 $\exp$ 就行了：
$$G=\exp (k\ln F)$$

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

狄利克雷多次根

已知数论函数 $F$ （$F[1]=0$），求 $G$ ，满足
$$G^k=F$$

众所周知，多项式函数幂的 $k$ 是可以直接对原模数取模的，狄利克雷也一样：
$$G=F^{k^{-1}}$$

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

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通篇都只需要埃筛，因此就不拉模板了。

板题

「EC Final 2019」狄利克雷 k 次根 加强版