pku3308 【论】如何将二分图顶点覆盖问题转化为最小割

在二分图中，有一个问题是，顶点覆盖问题。

图G的一个顶点覆盖是由一些顶点构成的集合Q包含于V(G), Q包含每条边上的至少一个端点。Q的所有顶点覆盖边集E(G)。

如果覆盖每个顶点需要付出不同的代价，也可以说是不同的花费，或称为点权，问题可以描述成，在保证覆盖所有边的情况下，如何使得权和最小。

这里只讲二分图。

我们可以建源点 S 和汇点 T，假设二分图两个点集分别为 X 和 Y。X和Y原来的边容量设为INF，将S到X里每个点x连一条边，边权为x的点权，也可以看做覆盖点x的所有出边的花费(W-)，将Y里每个点y到T连一条边，边权为y的点权，也可以看做覆盖点y的所有入边的花费(W+)。这样求得最小割容量，即为原问题的解。

可以这样理解：X到Y的边权为INF，自然不会成为最小割中的边，那就只有可能是S到X和Y到T中的边，而：S到X中点x的边e1, 权为点x的点权，点x和Y中的所有临边e2，都需要受到e1的流量的限制，同样，X到Y中点y的所有边也会受到点y到T的容量限制。这样求得割就能保证覆盖掉所有的边。

我们可以用反证法证明一下：假设有边<x, y>没有被覆盖掉，则边<S, x>流量为0且边<y, T>流量为0，而<x, y>流量为INF，自然可以找到一条S到T的增流路径<S, x, y, T>，与以求得流为最大流相矛盾，则可以说明，在最大流的情况下，所有的边都已经被覆盖掉。

而最小割问题可以用最大流来解决，问题就变得简单了。

Paratroopers

这道题就是一个很好的例子。

题意：一次火星和地球的大战，火星要进攻地球，将在一块m * n 的地方降落伞兵，地球上的指挥官得到这一消息，要在某几行或某几列打造一种武器，只需要一件武器，就可以干掉整行或整列敌人。问如何安排才能消灭所有敌人，不同的武器代价不同，这整个防御系统的建造等于各个武器的cost之积。

分析：把伞兵看成边，行列看成节点，行看做X集合，列看做Y集合，如果a行b列有敌人，则把节点a和节点b相连。这题求得是cost之积最大，可以用log对每条边求一次对数，则可以转化成求和问题，求得结果用exp函数在换回来，转化成最小割，在转化成最大流，这样就可以用上述方法求解了。

数据量小，用邻接矩阵 + EK 就能过。