3D数学基础：图形和游戏开发（第2版）第1章笔记

第1.1节回顾了数学系统的一些基本原理和计算机图形学第一定律。
第1.2节介绍二维笛卡尔数学（二维数学）。它展示了如何描述二维笛卡尔坐标空间以及如何使用该空间定位点。
第1.3节将这些思想扩展到三个维度中。它解释了左手和右手坐标空间，并建立了本书中使用的一些约定。

1.1一维数学

对有理数的研究称为离散数学，对无理数的研究称为连续数学。
然而，事实是，无理数只不过是一种精致的虚构。正如任何有声望的物理学家都会告诉你，它们是一种相对无害的妄想。宇宙似乎不仅是离散的，而且是有限的。

由此可见，我们可以只用离散的数学来描述宇宙，并且只需要使用自然数的一个有限子集(很大，是的，但有限)。在某个地方，某个地方可能有一个外星文明，他们的技术水平超过了我们，他们从未听说过连续数学、微积分基本定理，甚至从未听说过无限的概念;即使我们坚持，他们也会坚定而礼貌地坚持不使用π，他们非常乐意使用3.14159来建造面包机、桥梁、摩天大楼、公共交通和星际飞船(如果他们很挑剔的话，可能是3.1415926535897932384626433832795)。

那么我们为什么要用连续数学呢?因为它是一个有用的工具，让我们做工程。但现实世界是离散的，这对你这个3D电脑生成虚拟现实的设计师有什么影响?就其本质而言，计算机是离散和有限的。

计算机图形学的第一定律

如果它看起来是对的，它就是对的。

1.2 二维笛卡儿空间

• 每一个二维笛卡尔坐标空间都有两条穿过原点的直线。每条线被称为轴，并向两个相反的方向无限延伸。
• 这两个轴互相垂直。(实际上，它们不一定是，但我们将会看到的大多数坐标系都有垂直的坐标轴）。
• 无论我们为x轴和y轴选择什么方向，我们总是可以旋转（或镜像）坐标空间，使+x点在我们的右边，+y点在上面。在任何情况下，这些旋转都不会扭曲坐标系的原始形状(即使我们可能是倒过来或颠倒过来看)。

计算机屏幕坐标系

1.3 三维笛卡儿空间

左手坐标系

右手坐标系

左手规则（朝四个手指方向为顺时针旋转）

右手规则（朝四个手指方向为顺时针旋转）
3D数学基础：图形和游戏开发（第2版）这本书使用的是左手坐标系和左手规则。

1.4 一些零散的基础知识介绍

求和符号

求积记号

区间符号

[a, b]：a <= x <= b
(a, b)：a < x < b

“[”，“]”：闭区间
“(”，“)”：开区间

角度，角度和弧度

三角函数
用单位圆定义正弦和余弦

cos θ = x
sin θ = y

勾股定理：缩写hyp、adj和opp分别表示斜边、和的长度


可以将斜边hyp = r，邻边adj = x，对边opp = y，则

与对称性相关的基本恒等式

三角函数常见的值

勾股定理

毕达哥拉斯恒等式

和&差恒等式

二倍角公式

正弦定律

余弦定律