时间序列信号处理（四）——傅里叶变换和短时傅里叶变换python实现

一、傅里叶变换（FFT）

一维时间序列信号为典型的离散信号，需要使用离散傅里叶变换，FFT变换就是将时域信号转到频域阶段分析，分析更深入，了解时域信号的频域特性。注意傅里叶变换只适用于平稳信号。

F(u)为离散傅里叶变换值，f(n)为逆变换值。

python实现案例：

1. 简单变换，提取信号特征，画频域图

   import matplotlib.pyplot as plt
   import numpy as np
   from scipy.fftpack import fft, ifft
   
   Fs = 2000
   Ts = 1.0/Fs
   N = 2000
   t = np.linspace(0, N*2000, N)
   k = np.arange(2000)
   frq = k*Fs/N
   frq1 = frq[range(int(N/2))]
   
   data = 2*np.sin(4*np.pi*50*t) + 4*np.sin(4*np.pi*120*t)
   
   plt.plot(data, 'grey')
   plt.xlabel('time')
   plt.ylabel('amplitude')
   plt.title("data")
   plt.show()
   
   
   # 原始图像单边谱
   data_f = abs(np.fft.fft(data))/N
   data_f1 = data_f[range(int(N/2))]
   plt.plot(frq1, data_f1, 'red')
   plt.xlabel('pinlv(hz)')
   plt.ylabel('amplitude')
   plt.title("pinputu")
   plt.show()

   

    

   可以明显看出来这个信号的主要频率为100和250hz的样子，对上述时域信号又有了不同了解了。 

2.  去噪示例

   # 去噪
   data1 = 3*np.cos(3*np.pi*2*t)+4*np.sin(3*np.pi*4*t)
   data1 = data1 + 0.3 * np.random.normal(size=data1.size)
   plt.plot(data1, 'grey')
   plt.xlabel('time ')
   plt.ylabel('amplitude')
   plt.title("data")
   plt.show()
   
   y = fft(data1)
   threadhold = 50
   y[threadhold:(N-threadhold)] = 0   # 滤波器
   
   data_c = ifft(y)
   plt.plot(data_c)
   plt.title('signal after filtering')
   plt.xlabel('time')
   plt.ylabel('amplitude')
   plt.show()

   

    

   可以看出去噪效果还是可以，这样就有利于信号的重构，利用FFT和Ifft变换实现去噪。

二、 短时傅里叶变换STFT

       短时傅里叶变换就是在傅里叶变换的基础上进行了加窗处理，这也就提升了对非平稳信号的处理能力，强化了特征提取能力。

式中， x(m) 是输入信号；w(m)  是窗函数；它在时间上翻转并且有 n 个样本的偏移量；X(n,w)  是定义在样本（时间）和频率上的二维函数。

注意：FFT也不能辨别信号不同。

案例：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft, ifft
from scipy.signal import stft


fs = 1000
N = 1000
k = np.arange(2000)
frq = k*fs/N
frq1 = frq[range(int(N/2))]

t = np.linspace(0, 1-1/fs, fs)
x = np.linspace(0, 4000, 4000)
y1 = 100 * np.cos(2 * np.pi * 100 * t)
y2 = 200 * np.cos(2 * np.pi * 200 * t)
y3 = 300 * np.cos(2 * np.pi * 300 * t)
y4 = 400 * np.cos(2 * np.pi * 400 * t)
y = np.append(y1, y2)
yy = np.append(y3, y4)
yyy = np.append(y, yy)

# 画原始图
plt.plot(x, yyy)
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('amplitude')
plt.title("data")
plt.show()

data_f = abs(np.fft.fft(y1))/N
data_f1 = data_f[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f1)

data_ff = abs(np.fft.fft(y2))/N
data_f2 = data_ff[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f2, 'red')

data_fff = abs(np.fft.fft(y3))/N
data_f3 = data_fff[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f3, 'k')

data_ffff = abs(np.fft.fft(y4))/N
data_f4 = data_ffff[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f4, 'b')

plt.xlabel('pinlv(hz)')
plt.ylabel('amplitude')
plt.title("pinputu")
plt.show()

window = 'hann'
# frame长度
n = 256

# STFT
f, t, Z = stft(yyy, fs=fs, window=window, nperseg=n)
# 求幅值
Z = np.abs(Z)
# 如下图所示
plt.pcolormesh(t, f, Z, vmin=0, vmax=Z.mean()*10)
plt.show()


# 反着画
k1 = np.append(y4, y3)
k2 = np.append(y2, y1)
k = np.append(k1, k2)

plt.plot(x, k)
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('amplitude')
plt.title("data")
plt.show()


data_f = abs(np.fft.fft(y1))/N
data_f1 = data_f[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f1)

data_ff = abs(np.fft.fft(y2))/N
data_f2 = data_ff[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f2, 'red')

data_fff = abs(np.fft.fft(y3))/N
data_f3 = data_fff[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f3, 'k')

data_ffff = abs(np.fft.fft(y4))/N
data_f4 = data_ffff[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f4, 'b')

plt.xlabel('pinlv(hz)')
plt.ylabel('amplitude')
plt.title("pinputu")
plt.show()


window = 'hann'
# frame长度
n = 256
# STFT
f, t, Z = stft(k, fs=fs, window=window, nperseg=n)
# 求幅值
Z = np.abs(Z)
# 如下图所示
plt.pcolormesh(t, f, Z, vmin=0, vmax=Z.mean()*10)
plt.show()

正着画图，其原始图、频谱图及时频图如下：

 反着画图，其原始图、频谱图及时频图如下： 

 

 

 由上述对比可以知道，FFT只能看出两个信号数据的频率分布，并不能分别两个信号，而时频图可以，说明stft对信号又有更深的理解。