【数据结构】优先级队列 - 堆
文章目录
- 1.优先级队列
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- 1.1概念
- 2.堆的模拟实现
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- 2.1 堆的概念
- 2.2 堆的存储方式
- 2.3 堆的创建
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- 2.3.1 堆的向下调整(shiftDown)
- 2.3.2 堆的创建
- 2.3.3 建堆的时间复杂度
- 2.4堆的插入和删除
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- 2.4.1 堆的插入
- 2.4.3 堆的删除
- 3.Java中的优先级队列
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- 3.1 PriorityQueue
- 3.2 PriorityQueue常用接口介绍
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- 1. 构造方法
- 2.常用方法
- 3. 扩容方式
- 4. 堆的应用
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- 4.1 堆排序
- 4.2 Top-k问题
1.优先级队列
1.1概念
之前我们学习过队列是一种先进先出的数据结构，但在某些场景下，操作的数据具有优先级，在出队列时，需要优先级高的数据先出队列。比如在打游戏时来电话了，那么操作系统应该先处理电话；还有在游戏英雄联盟中泰坦的Q的优先级比机器人高；
诸如这些情况下，我们需要数据结构提供两种最基本的操作，首先添加新的对象，然后返回最高优先级对象，这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue).
2.堆的模拟实现
在JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆的数据结构，而堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。
2.1 堆的概念
如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆
堆满足以下性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。
- 堆总是一棵完全二叉树。
2.2 堆的存储方式
因为堆是一颗完全二叉树，所以我们可以利用层序遍历的方式来存储元素
注：对应非完全二叉树则不适用于顺序方式来存储，因为为了通过顺序表来还原二叉树，则空间中就需要存储空结点，这样会导致空间利用率低。
当元素存储到数组中后，我们如何还原二叉树呢？假设i为节点在数组中的下标，
- 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
- 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
- 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子
用代码来表示就是：
parent = i / 2;
leftChild = 2 * i;
rightChild = 2 * i + 1;
//或者已知父节点为root
parent = root;
leftChild = (2 * parent) + 1;
rightChild = (2 * parent) + 1;
2.3 堆的创建
2.3.1 堆的向下调整(shiftDown)
对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如何将其创建成堆呢？
通过观察可知：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。
建小堆为例：
- 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)
- 如果parent的左孩子存在，即:child < len， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在或者已经满足堆的性质。
2.1 parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标记
2.2 将parent与较小的孩子child比较，如果parent小于较小的孩子child，调整结束；否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后重复2 。
/**
* 向下调整 -
* 时间复杂度 0(logN)
* @param arr 二叉树中存放的元素
* @param root 根节点的下标
* @param len 数组长度
*/
private static void shiftDown(int[] arr, int root, int len) {
int parent = root;
int child = (2 * parent) + 1;//左孩子
//孩子节点索引不会大于len
while (child < len) {
//使child索引位置保存子节点的最大值
if (child + 1< len && arr[child] < arr[child + 1]) {
child++;
}
if (arr[child] > arr[parent]) {
swap(arr, child, parent);
parent = child;
child = (2 * parent) + 1;
} else {
break;
}
}
}
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
2.3.2 堆的创建
对于一个普通序列，即根的左右子树都不满足堆的特性，那么该如何调整呢？
/**
* 建堆
* 时间复杂度 0(n)
* @param arr
*/
private static void createHeap(int[] arr) {
// 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
for (int p = (arr.length - 1 - 1) / 2; p >=0; p--) {
shiftDown(arr, p, arr.length);
}
}
2.3.3 建堆的时间复杂度
堆是完全二叉树，这里我们简化用满二叉树来证明
所以，建堆的时间复杂度为0(N)
2.4堆的插入和删除
2.4.1 堆的插入
插入步骤：
- 先把元素放到堆最后(即数组最后)，如果空间不足，则需要扩容。
- 将插入的元素向上调整，直到满足堆的性质
/**
* 向堆中插入元素
* @param val
*/
public void push(int val) {
//判满
if (ifFull()) {
this.elem = Arrays.copyOf(elem, elem.length * 2);
}
//插入
this.elem[usedSize] = val;
//调整
shiftUp(usedSize);
//有效数据调整
usedSize++;
}
private boolean ifFull() {
return elem.length == usedSize;
}
/**
* 向上调整 - 向堆中添加元素 - 只能添加到末尾然后向上调整
*/
private void shiftUp(int child) {
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0) {
//这里本来就是小根堆，根节点的值一定比原来的左右子结点小，所以不需要比较左右节点的大小
if (elem[child] > elem[parent]) {
swap(elem, child, parent);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
} else {
break;
}
}
}
2.4.3 堆的删除
删除步骤：
注：堆的删除一定是删除优先级高的元素(即堆顶元素)
- 将堆顶元素和堆中最后的元素交换
- 有效数据减一
- 从堆顶元素开始，向下调整
/**
* 出堆顶元素
*/
public void pollHeap() {
if (isEmpty()) {
System.out.println("队列为空");
return;
}
//把堆顶元素和堆尾元素交换
swap(elem, 0, usedSize - 1);
//调整大小
usedSize--;
//堆的结构改变，所以要向下调整
shiftDown(elem, 0, usedSize);
}
/**
* 向下调整 -
* 时间复杂度 0(logN)
* @param arr 二叉树中存放的元素
* @param root 根节点的下标
* @param len 数组长度
*/
private static void shiftDown(int[] arr, int root, int len) {
int parent = root;
int child = (2 * parent) + 1;//左孩子
//孩子节点索引不会大于len
while (child < len) {
//使child索引位置保存子节点的最大值
if (child + 1< len && arr[child] < arr[child + 1]) {
child++;
}
if (arr[child] > arr[parent]) {
swap(arr, child, parent);
parent = child;
child = (2 * parent) + 1;
} else {
break;
}
}
}
3.Java中的优先级队列
3.1 PriorityQueue
Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，我们主要介绍PriorityQueue。
使用注意事项：
- PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常
- 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
- 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
- 插入和删除元素的时间复杂度为0(logN)
- PriorityQueue底层使用了堆数据结构, 且是最小堆
3.2 PriorityQueue常用接口介绍
1. 构造方法
它的构造方法在JDK1.8中一共有7种，下面我们介绍几种常见的构造方法
| 构造器 | 功能介绍 |
|---|---|
| PriorityQueue() | 创建一个空的优先级队列，默认容量是11 |
| PriorityQueue(int initialCapacity) | 创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意：initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常 |
| PriorityQueue(Collection c) | 用一个集合来创建优先级队列 |
| PriorityQueue(Comparator comparator) | 设置自己的比较器 |
public static void main(String[] args) {
// 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11
PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();
// 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacity
PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
list.add(4);
list.add(3);
list.add(2);
list.add(1);
// 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象
// q3中已经包含了三个元素
PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);
System.out.println(q3.size());
System.out.println(q3.peek());
//自定义比较器
PriorityQueue<Integer> p4 = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2 - o1;
}
});
}
注：在默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户自定义比较器
- 自定义比较器
class IntCmp implements Comparator<Integer> {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o1 - o2;
}
}
- 使用匿名内部类
PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2 - o1;
}
});
- 自定义类中实现Comparable接口
class Student implements Comparable<Student> {
public int age;
public Student(int age) {
this.age = age;
}
@Override
public int compareTo(Student o) {
return o.age - this.age;
}
@Override
public String toString() {
return "Student{" +
"age=" + age +
'}';
}
}
2.常用方法
| 函数名 | 功能介绍 |
|---|---|
| boolean offer(E e) | 插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时间复杂度0(logN) ，注意：空间不够时候会进行扩容 |
| E peek() | 获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null |
| E poll() | 移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null |
| int size() | 获取有效元素的个数 |
| void clear() | 清空队列 |
| boolean isEmpty() | 检测优先级队列是否为空，空返回true |
3. 扩容方式
JDK1.8 中PriorityQueue的扩容方式及其源码
private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
private void grow(int minCapacity) {
int oldCapacity = queue.length;
// Double size if small; else grow by 50%
int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?
(oldCapacity + 2) :
(oldCapacity >> 1));
// overflow-conscious code
if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
}
private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
if (minCapacity < 0) // overflow
throw new OutOfMemoryError();
return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?
Integer.MAX_VALUE :
MAX_ARRAY_SIZE;
}
扩容介绍：
- 如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
- 如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
- 如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容
4. 堆的应用
4.1 堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤
- 建堆
- 升序：建大堆
- 降序：建小堆
- 利用堆删除思想来进行排序
/**
* 时间复杂度：0(N*logN)
* 空间复杂度：0(1)
* 稳定性：不稳定
* @param arr
*/
public static void heapSort(int[] arr) {
//建堆
createHeap(arr);
int end = arr.length - 1;
while (end >= 0) {
swap(arr, 0, end);
shiftDown(arr, 0, end);
end--;
}
}
/**
* 向下调整 -
* 时间复杂度 0(logN)
* @param arr 二叉树中存放的元素
* @param root 根节点的下标
* @param len 数组长度
*/
private static void shiftDown(int[] arr, int root, int len) {
int parent = root;
int child = (2 * parent) + 1;//左孩子
//孩子节点索引不会大于len
while (child < len) {
//使child索引位置保存子节点的最大值
if (child + 1< len && arr[child] < arr[child + 1]) {
child++;
}
if (arr[child] > arr[parent]) {
swap(arr, child, parent);
parent = child;
child = (2 * parent) + 1;
} else {
break;
}
}
}
/**
* 建堆
* 时间复杂度 0(n)
* @param arr
*/
private static void createHeap(int[] arr) {
for (int p = (arr.length - 1 - 1) / 2; p >=0; p--) {
shiftDown(arr, p, arr.length);
}
}
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
4.2 Top-k问题
TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大，所以对于一般排序是不可取的，最佳的方式是堆排序，基本思想如下：
- 用数据集合中前K个元素来建堆
1.1 前k个最大的元素，则建小堆
1.2 前k个最小的元素，则建大堆 - 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素