【深度学习】损失函数详解
损失函数篇
- 什么是损失函数？
- 损失函数的分类
- 回归损失
-
- L1 Loss
- L2 Loss
- Smooth L1 Loss
- IoU Loss
-
- IoU Loss vs Lx Loss
- GIoU Loss
- DIoU Loss
- CIoU Loss
- 分类损失
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- Entropy
- Cross Entropy
- K-L Divergence
- Dice Loss
-
- Dice Loss vs CE
- Focal Loss
- Reference
什么是损失函数？
在机器学习中，损失函数是代价函数的一部分，而代价函数则是目标函数的一种类型。
- 损失函数(Loss Function)： 用于定义单个训练样本与真实值之间的误差;
- 代价函数(Cost Function)： 用于定义单个批次/整个训练集样本与真实值之间的误差；
- 目标函数(Objective Function)： 泛指任意可以被优化的函数。
损失函数用来评估模型预测值与真实值的偏离程度。通常情况下，损失函数选取的越好，模型的性能越好。不同模型间采用的损失函数一般也不一样。最常用的最小化损失函数的算法便是“梯度下降”(Gradient Descent)。
损失函数的分类
损失函数的分类方式有多种，按照是否添加正则项可分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。按照任务类型分类，可分为两种：回归损失（针对连续型变量）和分类损失（针对离散型变量）。
回归损失
L1 Loss
也称Mean Absolute Error，即平均绝对误差(MAE)，计算预测值与真实值的差的绝对值，衡量预测值与真实值之间距离的平均误差幅度，范围为0到正无穷。
优点：
- L1损失函数对离群点（Outliers）或者异常值更具有鲁棒性。
缺点：
- 在零处不可导，求解效率低，收敛速度慢；
- 梯度始终相同，即使很小的损失值，梯度也很大，这样不利于模型的收敛。针对它的收敛问题，一般的解决办法是在优化算法中使用变化的学习率，在损失接近最小值时降低学习率。
L2 Loss
也称为Mean Squred Error，即均方差(MSE)，计算的是预测值与真实值之间距离的平方和，范围同为0到正无穷。
优点：
- 收敛速度快，能够对梯度给予合适的惩罚权重，而不是“一视同仁”，使梯度更新的方向可以更加精确。
缺点：
- 对异常值十分敏感，梯度更新的方向很容易受离群点所主导，不具备鲁棒性。
Smooth L1 Loss
平滑的L1损失(SLL)，出自Fast RCNN。SLL通过综合L1和L2损失的优点，在0点处附近采用了L2损失中的平方函数，解决了L1损失在0点处梯度不可导的问题，使其更加平滑易于收敛。此外，在|x|>1的区间上，它又采用了L1损失中的线性函数，使得梯度能够快速下降。
Smooth L1在训练初期输入数值较大时能够较为稳定在某一个数值，而在后期趋向于收敛时也能够加速梯度的回传，很好的解决了L1、L2损失所存在的问题。
IoU Loss
交并比损失，出自UnitBox，由旷视科技于ACM2016首次提出。是目标检测中常见的评价标准，主要是衡量模型生成的Predict bounding box和Ground-truth bounding box之间的重叠程度。
上图存在2个边框(bounding box), Ground-truth bouding box(绿色边框)和Predict bouding box(红色边框)。Ground-truth是人为标注的正确结果，Predict表示算法预测的结果。简单来说，IOU标准用于测量真实和预测之间的相关度，相关度越高，该值越高。
图形化展示：
IoU Loss：
IoU Loss vs Lx Loss
常规的Lx损失中，都是基于目标边界中的4个坐标点信息之间分别进行回归损失计算的。因此，这些边框信息之间是相互独立的。然而，直观上来看，这些边框信息之间必然是存在某种相关性的。如下图(a)-(b)分别所示，绿色框代表Ground Truth，黑色框代表Prediction，可以看出，同一个Lx分数，预测框与真实框之间的重叠程度并不相同，显然重叠度越高的预测框是越合理的。IoU损失将候选框的四个边界信息作为一个整体进行回归，从而实现准确、高效的定位，具有很好的尺度不变性。为了解决IoU度量不可导的现象，引入了负Ln范数来间接计算IoU损失。
GIoU Loss
泛化IoU损失，全称为Generalized Intersection over Union，由斯坦福学者于CVPR2019年发表的这篇论文中首次提出。上面我们提到了IoU损失可以解决边界框坐标之间相互独立的问题，考虑这样一种情况，当预测框与真实框之间没有任何重叠时，两个边框的交集（分子）为0，此时IoU损失为0，因此IoU无法j计算两者之间的距离（重叠度）。另一方面，由于IoU损失为零，意味着梯度无法有效地反向传播和更新，即出现梯度消失的现象，致使网络无法给出一个优化的方向。此外，如下图所示，IoU对不同方向的边框对齐也是一脸懵逼，所计算出来的值都一样。
解决方法： 如下图公式所示，GIoU通过计算任意两个形状（这里以矩形框为例）A和B的一个最小闭合凸面C，然后再计算C中排除掉A和B后的面积占C原始面积的比值，最后再用原始的IoU减去这个比值得到泛化后的IoU值。
DIoU Loss
距离IoU损失，全称为Distance-IoU loss，由天津大学数学学院研究人员于AAAI2020所发表的这篇论文中首次提出。上面我们谈到GIoU通过引入最小闭合凸面来解决IoU无法对不重叠边框的优化问题。但是，其仍然存在两大局限性：边框回归还不够精确与收敛速度慢。考虑下图这种情况，当目标框完全包含预测框时，此时GIoU退化为IoU。显然，我们希望的预测是最右边这种情况。因此，作者通过计算两个边框之间的中心点归一化距离，从而更好的优化这种情况。
下图表示的是GIoU损失（第一行）和DIoU损失（第二行）的一个训练过程收敛情况。其中绿色框为目标边框，黑色框为锚框，蓝色框和红色框则分别表示使用GIoU损失和DIoU损失所得到的预测框。可以发现，GIoU损失一般会增加预测框的大小使其能和目标框重叠，而DIoU损失则直接使目标框和预测框之间的中心点归一化距离最小，即让预测框的中心快速的向目标中心收敛。
图左给出这三个IoU损失所对应的计算公式。对于DIoU来说，如图右所示，其惩罚项由两部分构成：分子为目标框和预测框中心点之间的欧式距离；分母为两个框最小外接矩形框的两个对角线距离。因此， 直接优化两个点之间的距离会使得模型收敛得更快，同时又能够在两个边框不重叠的情况下给出一个优化的方向。
CIoU Loss
完整IoU损失，全称为Complete IoU loss，与DIoU出自同一篇论文。上面我们提到GIoU存在两个缺陷，DIoU的提出解决了其实一个缺陷，即收敛速度的问题。而一个好的边框回归损失应该同时考虑三个重要的几何因素，即重叠面积（Overlap area)、中心点距离(Central point distance)和高宽比(Aspect ratio)。GIoU考虑到了重叠面积的问题，DIoU考虑到了重叠面积和中心点距离的问题，CIoU则在此基础上进一步的考虑到了高宽比的问题。
CIoU的计算公式如下所示，可以看出，其在DIoU的基础上加多了一个惩罚项αv。其中α为权重为正数的重叠面积平衡因子，在回归中被赋与更高的优先级，特别是在两个边框不重叠的情况下；而v则用于测量宽高比的一致性。
分类损失
Entropy
熵, 最早起源于物理学，用于度量一个热力学系统的混乱程度。但更常见的，在信息论里面， 熵是用于描述对不确定性的度量。所以，这个概念可以延伸到深度神经网络中，比如我们的模型在做分类时，也是希望尽可能的减小不确定性，其中使用了交叉熵，与信息论中的信息熵还有所不同。因此，在正式介绍分类损失函数时，我们必须先了解熵的概念。
计算机网络中，各种类型数据的传输其底层都是0-1bit流在传输介质中传输，其中有些位是有用信息，有些位则是冗余信息，有些位甚至是错误信息，等等。当我们传达信息时，我们希望尽可能多地向接收者传递有用的信息。
下面以一个天气预报的例子为例，解释熵到底为何物？假设一个地方的天气是随机的，每天有50%的机会是晴天或雨天。
现在，如果气象站告诉您明天要下雨，那么他们将不确定性降低了2倍。起初，有两种同样可能的可能性，但是在收到气象站的更新信息后，我们只有一种 。在这里，气象站向我们发送了一点有用的信息，无论他们如何编码这些信息，这都是事实。即使发送的消息是雨天，每个汉字占两个字节，消息的总大小为32位，但它们仍然只通信1位的有用信息。现在，我们假设天气有8种可能状态，且都是等可能的。
那么，当气象站为您提供第二天的天气时，会将不确定性降低了8倍。由于每个事件的发生几率为1/8，因此降低因子为8。但如果这些可能性不是等概率的呢？比如，75%的机会是晴天，25%的机会是雨天。
现在，如果气象台说第二天会下雨，那么你的不确定性就降低了4倍，也就是2比特的信息。不确定性的减少就是事件概率的倒数。在这种情况下，25%的倒数是4，log(4)以2为底得到2。因此，我们得到了2位有用的信息。
如果气象站说第二天是晴天，那么我们得到0.41比特的有用信息。那么，我们平均能从气象站得到多少信息呢？明天是晴天的概率是75%这就给了你0.41比特的信息而明天是雨天的概率是25%这就给了你2比特的信息，这就对应我们平均每天从气象站得到0.81比特的信息。
我们刚刚所计算出来的就叫做熵，它可以很好地描述事件的不确定性。它是由以下公式给出：
它衡量的是你每天了解天气情况时所得到的信息量的期望。同时也反映了在给定概率分布p中样本值的平均信息量的前提下，它的概率分布有多不可预测。如果我们住在沙漠中央，那里每天都是阳光灿烂的，平均来说，我们不会每天从气象站得到很多信息，熵会接近于零。另一方面，如果天气变化很大，熵就会大得多。简单地说：一个事件的不确定性就越大，其信息量越大，它的信息熵就越高。
Cross Entropy
下面来研究一下交叉熵，它代表发送平均信息长度。考虑同样的例子，8种可能的天气条件，所有都是等可能的，每一种都可以用3位编码 (2^3=8)。
此时平均信息长度为3，也就是交叉熵为3。但是现在，假设你住在一个阳光充足的地区，那里的天气概率分布是这样的：
按照公式计算，得到其信息量，信息熵为2.23bit：
平均来说，气象站发送了3个比特，但接收者只得到2.23个比特有用的信息。但是，我们可以做得更好。比如，更改编码方式：
天气的编码方式是明确的，并且如果你链接多条消息，则只有一种方法可以解释位的顺序。例如，01100只能表示部分晴天（01），然后是小雨（100）。因此，如果我们计算该站每天发送的平均比特数，则可以得出：
这是我们新的改进的交叉熵比之前的3比特（即全部用3位表示的形式）更好。现在，我们在换一种情况。
此时，如果我们计算它的交叉熵：
我们将得到4.58位。大约是熵的两倍。平均而言，该站发送4.58位，但只有2.23位对接收者有用。每条消息发送的信息量是必要信息的两倍。这是因为我们使用的编码对天气分布做出了一些隐含的假设。例如，当我们在晴天使用2位消息时，我们隐式地预测晴天的概率为25％。以同样的方式，我们计算所有天气情况。
分母中2的幂对应于用于传输消息的比特数。很明显，此时的预测分布q和真实分布p有很大不同。现在我们可以把交叉熵表示成真实概率分布p的函数和预测概率分布q的函数：
K-L Divergence
KL散度。对于交叉熵损失，除了我们在这里使用预测概率的对数（log(q(i))）外，它看起来与上面熵的方程非常相似。 如果我们的预测是完美的，那就是预测分布等于真实分布，此时交叉熵就等于熵。 但是，如果分布不同，则交叉熵将比熵大一些位数。交叉熵超过熵的量称为相对熵，或更普遍地称为库尔贝克-莱布里埃发散度（KL Divergence）。总结如下：
接上面的例子，我们便可以顺便算出：KL散度 = 交叉熵 - 熵 = 4.58 - 2.23 = 2.35（Bits）。
Dice Loss
Dice Loss 最先是在VNet 这篇文章中被提出，后来被广泛的应用在了医学影像分割之中。
Dice系数是一种集合相似度度量函数，通常用于计算两个样本的相似度，取值范围为0~1，值越大表示两个值的相似度越小，其基本定义（二分类）如下：
其中 |X∩Y| 是X和Y之间的交集，|X|和|Y|分表表示X和Y的元素的个数。从上述公式也可以看出，其实Dice系数是等价于F1分数的，优化Dice等价于优化F1值。此外，为了防止分母项为0，一般我们会在分子和分母处同时加入一个很小的数作为平滑系数，也称为拉普拉斯平滑项。
Dice Loss vs CE
语义分割中一般用交叉熵来做损失函数，而评价的时候却使用IOU来作为评价指标，为什么不直接拿类似IOU的损失函数来进行优化呢？
- 相较于 dice-coefficient 和类似 IoU 度量的损失函数，交叉熵的梯度形式更优；
- 分割的真实目标就是最大化 dice-coefficient 和 IoU 度量. 而交叉熵仅是一种代理形式，利用其在 BP 中易于优化的特点。
Focal Loss
焦点损失，出自何凯明的《Focal Loss for Dense Object Detection》，出发点是解决目标检测领域中one-stage算法如YOLO系列算法准确率不高的问题。作者认为样本的类别不均衡（比如前景和背景）是导致这个问题的主要原因。比如在很多输入图片中，我们利用网格去划分小窗口，大多数的窗口是不包含目标的。如此一来，如果我们直接运用原始的交叉熵损失，那么负样本所占比例会非常大，主导梯度的优化方向，即网络会偏向于将前景预测为背景。即使我们可以使用OHEM（在线困难样本挖掘）算法来处理不均衡的问题，虽然其增加了误分类样本的权重，但也容易忽略掉易分类样本。而Focal loss则是聚焦于训练一个困难样本的稀疏集，通过直接在标准的交叉熵损失基础上做改进，引进了两个惩罚因子，来减少易分类样本的权重，使得模型在训练过程中更专注于困难样本。其基本定义如下：
其中：
- 参数α和(1-α)分别用于控制正/负样本的比例，其取值范围为[0, 1]。α的取值一般可通过交叉验证来选择合适的值；
- 参数γ称为聚焦参数，其取值范围为[0, +∞)，目的是通过减少易分类样本的权重，从而使模型在训练时更专注于困难样本。 当 γ = 0 时，Focal Loss就退化为交叉熵损失，γ 越大，对易分类样本的惩罚力度就越大。
Reference
- 一文看尽深度学习中的各种损失函数
- 医学影像分割—Dice Loss
- 常见的损失函数(loss function)总结