几种边缘检测微分算子的比较
预备知识：
梯度------梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值
，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。
该函数就称为函数 
在点P（x，y）的梯度，记作grad f（x，y）
或
对于图像来说，是一个二维的离散型数集，通过推广二维连续型求函数偏导的方法，来求得图像的偏
导数。
梯度是一个矢量，则(x,y)处的梯度表示为：
其大小为：
不同图像灰度不同，边界处一般会有明显的边缘，利用此特征可以分割图像。需要说明的是：边缘和物
体间的边界并不等同，边缘指的是图像中像素的值有突变的地方，而物体间的边界指的是现实场景中的存在
于物体之间的边界。有可能有边缘的地方并非边界，也有可能边界的地方并无边缘，因为现实世界中的物体
是三维的，而图像只具有二维信息，从三维到二维的投影成像不可避免的会丢失一部分信息；另外，成像过
程中的光照和噪声也是不可避免的重要因素。正是因为这些原因，基于边缘的图像分割仍然是当前图像研究
中的世界级难题，目前研究者正在试图在边缘提取中加入高层的语义信息。
以像素值为y，以坐标为x（x是二维或者一维），灰度的突变就意味着函数y=f(x)的导数或者高阶导数会
发生突变。因此，我们可以通过检测导数来检测图像的边缘。
在实际中往往只用到一阶和二阶导数，虽然原理上可用更高阶的导数，但因为噪声的影响，在纯粹的二阶导数操作中就会出现对噪声的敏感现象，三阶以上的导数信息往往失去了应用价值。导数操作中就会出现
对噪声的敏感现象，三阶以上的导数信息往往失去了应用价值。二阶导数还可以说明灰度突变的类型。在有
些情况下，如灰度变化均匀的图像，只利用一阶导数可能找不到边界，此时二阶导数就能够提供很有用的信
息。二阶导数对噪声也比较敏感，解决的方法是先对图像进行平滑滤波，消除部分噪声，然后再对处理
后的图像进行边缘检测。不过，利用二阶导数信息的算法是基于过零检测的，因此得到的边缘点数比较少，
有利于后继的处理和识别工作。
各种算子的存在就是对这种导数分割原理进行的实例化计算，是为了在计算过程中直接使用的一种计算
单位。
（1）Roberts算子：边缘定位准，但是对噪声敏感。适用于边缘明显且噪声较少的图像分割。Roberts
边缘检测算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子,Robert算子图像处理后结果边缘不是很平滑。经分析
，由于Robert算子通常会在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应，故采用上述算子检测的边缘图像常需做
细化处理，边缘定位的精度不是很高。
Robert算子是一个2x2算子模板。
具体使用：
判断f(x,y)是否是边缘点：
建立一幅二值图像，用于保存边缘检测的结果。如果G（x，y）>T,就将像素值设为1，否则为0。
（2）Prewitt算子：对噪声有抑制作用，抑制噪声的原理是通过像素平均，但是像素平均相当于对图像
的低通滤波，所以Prewitt算子对边缘的定位不如Roberts算子。
具体原理和使用：
Pv用于检测水平边缘，Ph用于检测水平边缘。
G(i)=|[f(i-1,j-1)+f(i-1,j)+f(i-1，j+1)]-[f(i+1,j-1)+f(i+1，j)+f(i+1，j+1)]|
G(j)=|[f(i-1,j+1)+f(i,j+1)+f(i+1，j+1)]-[f(i-1,j-1)+f(i,j-1)+f(i+1，j-1)]|
则 P(i,j)=max[G(i),G(j)]或 P(i,j)=G(i)+G(j)
经典Prewitt算子认为：凡灰度新值大于或等于阈值的像素点都是边缘点。即选择适当的阈值T，若P(i,j)
≥T，则(i,j)为边缘点，P(i,j)为边缘图像。P是与原图像同等大小的边缘检测结果。
（3）Sobel算子：Sobel算子和Prewitt算子都是加权平均，但是Sobel算子认为，邻域的像素对当前像素
产生的影响不是等价的，所以距离不同的像素具有不同的权值，对算子结果产生的影响也不同。一般来说，
距离越远，产生的影响越小。抗噪性也比较好。
Sobel算子也有两个，一个是检测垂直边缘的模板（通过计算水平的两个像素值之间的差），另一个是
检测垂直边缘的模板（通过计算垂直的两个像素值之间的差）。
具体计算如下：
Gx = (-1)*f(x-1, y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)
+(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)
+(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)
= [f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)
+f(x-1,y+1)]
Gy =1* f(x-1, y-1) + 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)
+0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)
+(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)
= [f(x-1,y-1) + 2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1)
+ 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]
其中f(x,y), 表示图像(x,y)点的灰度值；
如果梯度G大于某一阀值 则认为该点(x,y)为边缘点。
与Prewitt算子相比，Sobel算子对于象素位置的影响作了加权，因此效果更好。
然后可用以下公式计算梯度方向,从而可以推断边缘所在的方向：
上面的算子是利用一阶导数的信息，属于梯度算子范畴。
下面是基于二阶导数的边缘检测算子。
（4）Laplacian算子
Laplacian算子定义为 ，它的差分形式为
表示成模板的形式就是
同理，如果是计算八邻域的二阶导数，模板就是：
可以看出，Laplace算子对孤立象素的响应要比对边缘或线的响应要更强烈，因此只适用于无噪声
图象。首先对图像进行高斯卷积滤波进行降噪处理，再采用Laplace算子进行边缘检测，就可以提高算子对
噪声和离散点的鲁棒性。也就是，先用高斯卷积核做滤波降噪，然后再求二阶导检测边缘。用公式表示如下：
其中，上面这个式子成立的依据是：
我们把LoG叫做高斯型Laplacian算子（Laplace of Gaussian）。
所以可以先对高斯函数进行偏导操作，然后进行卷积求解。
高斯卷积函数定义为：
因此，我们可以LOG核函数定义为：
滤波+高斯卷积两步结合，就是直接对有原图像做LoG卷积。高斯卷积的效果是使得图像变得平滑去噪
同时，可以利用零交叉性质来检测边缘。如下图所示：
所以，使用高斯型拉普拉斯算子的步骤为： 1）对原图像进行Log卷积 2）检测图像中的过零点（ Zero Crossings，也即从负到正或从正到负，可以采用检查四邻域的方式）
4）抑制非极大值
仅仅得到全局的梯度并不足以确定边缘，因此为确定边缘，必须保留局部梯度最大的点，而抑制非极大
值。解决方法：利用梯度的方向。
四个扇区的标号为0到3，对应3*3邻域的四种可能组合。在每一点上，邻域的中心像素M与沿着梯度线的
两个像素相比。如果M的梯度值不比沿梯度线的两个相邻像素梯度值大，则令M=0。否则不变。这样就保留了
梯度的极大值，抑制了非极大值。
（5）用双阈值算法检测和连接边缘
对非极大值抑制图像作用两个阈值th1和th2，两者关系th1=0.4th2 （这里的0.4是统计图像的直方图，
对阈值进行判定得出的）。首先把梯度幅值的直方图（求出来，选取占直方图总数%多少（自己定，代码中
定义70%）所对应的梯度幅值为高阈值，高阈值的0.4为低阈值，这只是一种简单策略。也可以采用其他的。
我们把梯度值小于th1的像素的灰度值设为0，得到图像1。然后把梯度值小于th2的像素的灰度值设为0，
得到图像2。由于图像2的阈值较高，去除大部分噪音，但同时也损失了有用的边缘信息。而图像1的阈值较低
，保留了较多的信息，我们可以以图像2为基础，以图像1为补充来连结图像的边缘。
链接边缘的具体步骤如下：
对图像2进行扫描，当遇到一个非零灰度的像素p(x,y)时，跟踪以p(x,y)为开始点的轮廓线，直到轮廓线
的终点q(x,y)。
考察图像1中与图像2中q(x,y)点位置对应的点s(x,y)的8邻近区域。如果在s(x,y)点的8邻近区域中有非
零像素s(x,y)存在，则将其包括到图像2中，作为r(x,y)点。从r(x,y)开始，重复第一步，直到我们在图像1
和图像2中都无法继续为止。
当完成对包含p(x,y)的轮廓线的连结之后，将这条轮廓线标记为已经访问。回到第一步，寻找下一条轮
廓线。重复第一步、第二步、第三步，直到图像2中找不到新轮廓线为止。