线性代数（二）矩阵代数

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一：矩阵运算

1.和与标量运算：

这里比较简单，就不再赘述。

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2.矩阵乘法：


本质：其实就是线性变化，线性变化见：https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109451390

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3.矩阵的乘幂

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4.矩阵的转置：

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二：矩阵的逆

1.定义

注意：必须是方阵！！！！！！！！！

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2.2x2矩阵的逆矩阵的求法

比较简单，自己推导下即可推出来！

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3.性质


推导按定义推导以及转置的性质。

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4.初等矩阵
本质：对应三种初等变换

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5.初等矩阵的可逆性

理解：见https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109451390的行化简部分。

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6.可逆矩阵的求法的过程理解

其实就是A在初等变换过程中一定可以变换为行简化阶梯型（这时候就是单位矩阵，因为可逆），这里稍微解释下原因：因为之前说过非0矩阵一定有行简化阶梯，然后因为A有可逆矩阵，所以对于Ax=b来说，有唯一解；有唯一解，也就说明了每一行的主元位置有主元，又因为是方阵，所以其最后就是单位矩阵。
所以过程：

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7.求可逆矩阵的算法

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三：可逆矩阵的性质

自己看吧，理解就好。。。

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四：分块矩阵

1.例子：

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2.加法、数乘、乘法：

和矩阵一样，见上面的矩阵运算，这里就是用到了一种分治的思想，由大变小，由小解大。

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五：矩阵因式分解----LU分解

1.意义

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2.为什么LU分解有用？

注：因为LU都是三角矩阵，所以在求法过程中是比较简单的，其实就是将一个复杂映射/变换，变成了两次简单的映射/变换。

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3.LU分解的例子

其实第一次来说，对于LU分解和之前的行化简，其实LU分解包含了行化简以及再用LU求解，但是其主要的意义是只是在第一次求LU比较来说，之后的对于以矩阵A为系数的方程，其明显少于直接用行化简求解的过程，如上面：LU分解28次，行化简62次。
所以： 对于求解一系列的方程来说，推荐LU;但是只是求解一次，用行化简即可。

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4.LU分解算法

注：需要注意的是行化简过程中仅用行倍加变换了，所以初等矩阵都是下三角，并且下三角矩阵的乘积和逆也是单位下三角矩阵。
补充：如果矩阵的各阶顺序主子式均不为零,则必有LU分解,且LU唯一；另外在变换过程中可能会有交换两行的过程，这时候需要置换矩阵，之后再补--------

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六：N维空间的子空间

简单来说：就是对加法封闭和对数乘封闭（注意零向量）。

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列空间：

可以从Ax = b出发，若其有解，则b属于A的列空间。

零空间：

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子空间的基：

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补充：

了解，有个影响即可。

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七：维数与秩

维数：

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秩：


细节就不再细说了，记住就好。

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参考书籍：线性代数及其应用（原书第5版）

书籍下载：https://download.csdn.net/download/qq_37534947/13115301