第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

  • 矩阵的初等变换⭐
    • 矩阵的初等变换应用
      • 求最简形矩阵
      • 求可逆矩阵 P,使得 PA 为最简形矩阵
      • 求逆矩阵
      • 求线性方程组的解
  • 矩阵的秩
    • 求矩阵的秩
    • 矩阵的秩的性质⭐
  • 线性方程组的解
    • 求方程组的解的个数

本章内容在线性代数中是十分重要的,性质、题型也很多

矩阵的初等变换⭐

第一小节的理论性较强,要耐心看下去,找了一个有动图解释的,可以辅助理解性质和定理

关于第一节细节可查看此博文

  1. 初等行变换
    (i)对换两行(对换 i, j 两行,记作 ri <-> rj)
    (ii)以数 k ≠ 0乘某一行中的所有元(第 i 行乘 k,记作 ri × k)
    (iii)把某一行所有元的 k 倍加到另一行对应的元上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj)
初等列变换将 "行" 改为 "列", "r" 改为 "c"
矩阵的初等行变换与初等列变换,统称初等变换
初等变换是可逆的
  1. 矩阵等价概念
    如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 行等价
    如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 列等价
    如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 等价,记作(A ~ B)

  2. 矩阵等价关系性质
    (i)反身性 A ~ A
    (ii)对称性 若 A ~ B,则 B ~ A
    (iii)传递性 若 A ~ B, B ~ C,则 A ~ C

  3. 行阶梯形矩阵
    非零矩阵若满足:
    (i)非零行在零行的上面
    (ii)非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面
    则称此矩阵为行阶梯形矩阵
    第三章 矩阵的初等变换与线性方程组_第1张图片

  4. 最简行阶梯形矩阵
    若 A 是行阶梯形矩阵,并满足:
    (i)非零行的首非零元为1
    (ii)首非零元所在列的其他元均为0
    则称 A 为行最简形矩阵
    第三章 矩阵的初等变换与线性方程组_第2张图片

对于任何非零矩阵 Am×n,总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵
  1. 标准形
    第三章 矩阵的初等变换与线性方程组_第3张图片
    标准形特点:左上角是一个单位矩阵,其余元全为0
    对于 m × n 矩阵 A,总可经过初等变换(行变换或列变换)把它化为标准形
    第三章 矩阵的初等变换与线性方程组_第4张图片
    此标准形由 m、n、r 三个数完全决定,其中 r 就是行阶梯形矩阵中的非零行的行数

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由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
初等矩阵都是可逆的

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矩阵的初等变换应用

求最简形矩阵

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求可逆矩阵 P,使得 PA 为最简形矩阵

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在进行初等变换时得到的逆矩阵不是唯一的

求逆矩阵

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求线性方程组的解

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矩阵的秩

  1. 矩阵的 k 阶子式
    在 m × n 矩阵 A 中,任取 k行与 k 列(k ≤ m, k ≤ n),位于这些行列交叉处的 k²个元素,不改变他们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵的 k 阶子式
  • m × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Ckm * Ckn

在这里插入图片描述
2. 矩阵的秩的定义
在这里插入图片描述

定义5很重要,要理解什么是秩,最高阶非零子式的阶数,记为 R(A)
零矩阵的秩等于 0
可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数
可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称降秩矩阵
  • 定理2 若 A ~ B,则 R(A) = R(B)
    推论 若可逆矩阵 P、Q 使 PAQ = B,则 R(A) = R(B)

求矩阵的秩

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矩阵的秩的性质⭐

① 0 ≤ R(Am✖n) ≤ min{m, n}
② R(AT) = R(A)
③ 若 A ~ B,则 R(A) = R(B)
④ 若 P、Q 可逆,则 R(PAQ) = R(A)
⑤ max{R(A), R(B)} ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R(B)
⑥ R(A + B) ≤ R(A) + R(B)
⑦ R(AB) ≤ min{R(A), R(B)}
⑧ 若 Am✖nBm✖n = 0,则 R(A) + R(B) ≤ n

矩阵 A 的秩等于它的列数,称为列满秩矩阵
矩阵乘法的消去律:若 AB = 0,若 A 为列满秩矩阵,则 B = 0

线性方程组的解

线性方程组有解,称它是相容;无解,称它是不相容
  • 定理3 n 元线性方程组 Ax = b
    (i) 无解的充分必要条件是 R(A) < R(B)
    (ii) 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n
    (iii) 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n

  • 定理4 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) < n

  • 定理5 线性方程组 Ax = b 有非零解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b)

  • 定理6 矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B)

  • 定理7 设 AB = C,则 R© ≤ min{R(A), R(B)}

求方程组的解的个数

有唯一解、无解、有无限多解
其实解法大同小异:(1)求行阶梯形矩阵(2)对比秩的情况(3)得出解的情况
矩阵的秩在后续的学习中是一个承上启下的作用,有时间可以把教材的习题练练手

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