第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

本章内容在线性代数中是十分重要的，性质、题型也很多

矩阵的初等变换⭐

第一小节的理论性较强，要耐心看下去，找了一个有动图解释的，可以辅助理解性质和定理

关于第一节细节可查看此博文

1. 初等行变换
   (i)对换两行(对换 i, j 两行，记作 ri <-> rj)
   (ii)以数 k ≠ 0乘某一行中的所有元(第 i 行乘 k，记作 ri × k)
   (iii)把某一行所有元的 k 倍加到另一行对应的元上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作 ri + krj)

初等列变换将 "行" 改为 "列", "r" 改为 "c"
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换
初等变换是可逆的

2. 矩阵等价概念
   如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 行等价
   如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 列等价
   如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价,记作(A ~ B)

3. 矩阵等价关系性质
   (i)反身性 A ~ A
   (ii)对称性 若 A ~ B,则 B ~ A
   (iii)传递性 若 A ~ B, B ~ C,则 A ~ C

4. 行阶梯形矩阵
   非零矩阵若满足：
   (i)非零行在零行的上面
   (ii)非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面
   则称此矩阵为行阶梯形矩阵
   

5. 最简行阶梯形矩阵
   若 A 是行阶梯形矩阵，并满足：
   (i)非零行的首非零元为1
   (ii)首非零元所在列的其他元均为0
   则称 A 为行最简形矩阵
   

对于任何非零矩阵 Am×n,总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵

6. 标准形
   
   标准形特点：左上角是一个单位矩阵，其余元全为0
   对于 m × n 矩阵 A,总可经过初等变换(行变换或列变换)把它化为标准形
   
   此标准形由 m、n、r 三个数完全决定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中的非零行的行数

由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
初等矩阵都是可逆的

矩阵的初等变换应用

求最简形矩阵

求可逆矩阵 P，使得 PA 为最简形矩阵

在进行初等变换时得到的逆矩阵不是唯一的

求逆矩阵

求线性方程组的解

矩阵的秩

1. 矩阵的 k 阶子式
   在 m × n 矩阵 A 中，任取 k行与 k 列(k ≤ m, k ≤ n)，位于这些行列交叉处的 k²个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵的 k 阶子式

• m × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C^k_m * C^k_n 个

2. 矩阵的秩的定义

定义5很重要，要理解什么是秩，最高阶非零子式的阶数，记为 R(A)
零矩阵的秩等于 0
可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵

• 定理2 若 A ~ B，则 R(A) = R(B)
  推论 若可逆矩阵 P、Q 使 PAQ = B，则 R(A) = R(B)

求矩阵的秩

矩阵的秩的性质⭐

① 0 ≤ R(A_m✖n) ≤ min{m, n}
② R(A^T) = R(A)
③ 若 A ~ B，则 R(A) = R(B)
④ 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A)
⑤ max{R(A), R(B)} ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R(B)
⑥ R(A + B) ≤ R(A) + R(B)
⑦ R(AB) ≤ min{R(A), R(B)}
⑧ 若 A_m✖nB_m✖n = 0，则 R(A) + R(B) ≤ n

矩阵 A 的秩等于它的列数，称为列满秩矩阵
矩阵乘法的消去律：若 AB = 0，若 A 为列满秩矩阵，则 B = 0

线性方程组的解

线性方程组有解，称它是相容；无解，称它是不相容

• 定理3 n 元线性方程组 Ax = b
  (i) 无解的充分必要条件是 R(A) < R(B)
  (ii) 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n
  (iii) 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n

• 定理4 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) < n

• 定理5 线性方程组 Ax = b 有非零解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b)

• 定理6 矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B)

• 定理7 设 AB = C，则 R© ≤ min{R(A), R(B)}

求方程组的解的个数

有唯一解、无解、有无限多解

其实解法大同小异：（1）求行阶梯形矩阵（2）对比秩的情况（3）得出解的情况
矩阵的秩在后续的学习中是一个承上启下的作用，有时间可以把教材的习题练练手