相关系数｜皮尔逊和斯皮尔曼

总体皮尔逊相关系数

如果两组数据 和 是总体数据，

那么总体均值：

总体协方差：

直观理解协方差： 如果 X 、 Y 变化方向相同，即当 X 大于（小于）其均值时， Y 也

大于（小于）其均值，在这两种情况下，乘积为正。如果 X 、 Y 的变化方向一直

保持相同，则协方差为正；同理，如果 X 、 Y 变化方向一直相反，则协方差为负；

如果 X 、 Y 变化方向之间相互无规律，即分子中有的项为正，有的项为负，那么

累加后正负抵消。

总体皮尔逊相关系数：

皮尔逊相关系数也可以看成是剔除了两个变量量纲影响，即将 X 和 Y 标准化后的协方差。

 

1. 非线性相关会导致线性相关系数很大。
2. 离群点对相关系数的影响很大。
3. 如果两个变量的相关系数很大也不能说明两者相关，可能是受到了异常值的影响。
4. 相关系数计算结果为0，只能说不是线性相关，但说不定会有更复杂的相关关系（非线性相关）

对相关系数大小的解释

相关性	负	正
无相关性	-0.09～0.0	0.0～0.09
弱相关性	-0.3～-0.1	0.1～0.3
中相关性	-0.5～-0.3	0.3～0.5
强相关性	-1.0～-0.5	0.5～1.0

clc,clear
a=rand(6,6);
r=corrcoef(a); %返回a的相关系数的矩阵
//b=rand(6,6);
//r2=corrcoef(a,b);  %返回a和b之间的系数

 对皮尔逊相关系数进行假设检验

先提出原假设（为0）和备择假设（显著异于0）

对于相关系数r来说，我们构造统计量 (n为样本)

t是服从自由度为n-2的t分布

x=-4:0.1:4;
y=tpdf(x,28);
plot(x,y,'-')
grid on %加网格线

画出该分布的概率密度函数pdf后。给定95%的置信水平，找到临界值

T分布表 - 百度文库

画出检验统计量的接受域和拒绝域

比较t和临界值下结论（是否显著为0）

还可以使用p值判断法（推荐）

disp('该检验值对应的p值为：')
disp((1-tcdf(3.055,28))*2) %3.055为t值，28为n-2
%双侧检验的p值要乘以2

tcdf为累积分布函数

[r,p]=corrcoef(a);
%p返回的是对应于每个相关系数的p值
p<0.01             %***
(p<0.05).*(p>0.01) %**
(p<0.1).*(p>0.05)  %*

皮尔逊相关系数假设检验的条件

第一， 实验数据通常假设是成对的来自于正态分布的总体。 因为我们在求皮尔

逊相关性系数以后，通常还会用 t 检验之类的方法来进行皮尔逊相关性系数检验，

而 t 检验是基于数据呈正态分布的假设的。

%%正态分布JB检验(big sample)
%检验第一列数据是否为正态分布
[h,p] = jbtest(Test(:,1),0.05)
%用循环检验所有列的数据
n_c = size(Test,2); % number of column 数据的列数
H = zeros(1,6);
P = zeros(1,6);
for i = 1:n_c
[h,p] = jbtest(Test(:,i),0.05);
H(i)=h;
P(i)=p;
end
disp(H)
disp(P)

第二， 实验数据之间的差距不能太大。 皮尔逊相关性系数受异常值的影响比较

大。

第三：每组样本之间是独立抽样的。 构造 t 统计量时需要用到。

斯皮尔曼相关系数

定义两组数据 和 ，

其斯皮尔曼（等级）相关系数：

其中 为和之间的等级差。

一个数的等级，就是将它所在的一列数按照从小到大排序后，这个数所在的位置

注：如果有的数值相同，则将它们所在的位置取算术平均

clc,clear
x=[3 8 4 7 2]';     %列向量！
y=[5 10 9 10 6]';
coeff=corr(x,y,'type','spearman')

 斯皮尔曼相关系数的假设检验

小样本（）查表

大样本：

% 直接给出相关系数和p值
[R,P]=corr(a, 'type' , 'spearman')

p 值大于 0.05, 因此我们无法拒绝原假设。

（和 0 没有显著的差异）

---

两个相关系数的比较：

斯皮尔曼相关系数和皮尔逊相关系数选择 :

1. 连续数据，正态分布，线性关系，用 pearson 相关系数是最恰当，当然用

spearman 相关系数也可以， 就是效率没有 pearson 相关系数高。

2. 上述任一条件不满足，就用 spearman 相关系数，不能用 pearson 相关系数。

3. 两个定序数据之间也用 spearman 相关系数，不能用 pearson 相关系数。

定序数据 是指仅仅反映观测对象等级、顺序关系的数据，是由定序尺度计量

形成的，表现为类别，可以进行排序，属于品质数据。

例如：优、良、差；

我们可以用 1 表示差、 2 表示良、 3 表示优，但请注意，用 2 除以 1 得出的 2 并不

代表任何含义。定序数据最重要的意义代表了一组数据中的某种逻辑顺序。

注：斯皮尔曼相关系数的适用条件比皮尔逊相关系数要广，只要数据满足单调关系

（例如线性函数、指数函数、对数函数等）就能够使用。