视觉SLAM中，本质矩阵、基础矩阵、单应性矩阵自由度和秩分析。

先贴上一个链接，他总结了视觉SLAM中各个矩阵的自由度、秩及其计算等内容，非常全。

1 矩阵的秩和自由度

矩阵的秩：

经过初等变换之后的非零行（列）的个数，若不存在零行（列），则为满秩矩阵（Rank(A)=n。特别规定零矩阵的秩为零。

矩阵的自由度：

有几种不同的方法来考虑矩阵的自由度。
(1) 考虑一个A_m×n矩阵。此矩阵有mn个元素。我们可以改变这个矩阵中的A_mn值，使A矩阵唯一，因此它有mn个自由度。
(2) 若我们有一个上三角的m×m矩阵，并且知道矩阵中有几个值是0，那么非零项的个数就是矩阵的自由度。
(3) 对于任何矩阵，当（1,1）元素非零时，我们可以将矩阵的所有元素除以第一个元素，使其为1。因此，如果我们有两个矩阵A和B=2A，当我们缩放这些矩阵，使其第一个元素为1时，它们就是等价的。因此，我们消除了一个的自由度。也就是说，当我们确定此矩阵具有尺度等价性后，就可以人为把（1，1）元素置为1. PS: 应该矩阵中非零元素我们都可以置为1吧。因为高博的书上求单应性矩阵时，将最后一个元素置为了1。

什么是自由度？就是有几个量是可以改变的 或者说是未知的。

矩阵的自由度反应了矩阵中每个元素的约束的状态。

2 矩阵重要性质

1. 正交矩阵相乘仍然是正交矩阵
2. 可逆矩阵和满秩是充分必要条件；
   一个矩阵乘以可逆矩阵秩不变
3. 初等变换不改变矩阵的秩
4. 矩阵的秩等于非零奇异值的个数，等于非零特征值的个数
5. 任意矩阵都能进行奇异值分解，只有方阵才可以进行特征值分解

3 各个矩阵的自由度

由于基础矩阵和本质矩阵都是由对极约束来的，所以先把这个公式列在这：

注意：上面的x为归一化相机坐标系的点坐标，p是像素坐标系的点坐标。

3.1 本质矩阵E的自由度为5，秩为2。

自由度：
首先，旋转和平移一共6个自由度。
其次，由于对极约束的原因，本质矩阵是具有尺度等价性的，所以自由度减1。
所以，本质矩阵的自由度为5。
PS:旋转矩阵虽然9个参数，但不是任意数都可以，得满足矩阵为单位（去掉3个自由度）正交（去掉2个自由度）阵，行列式为正1（去掉1个自由度）的性质，所以，这些约束导致自由度减少，虽然是9个数但是表达3个自由度。

秩：
**首先，旋转矩阵秩为3，是可逆矩阵。
其次，平移的反对称矩阵秩为2。证明如下：
最后，E = t^R ,根据性质2可得，本质矩阵的秩与平移反对称矩阵的秩相同。

3.2 基础矩阵F的自由度为7，秩为2。

自由度：
首先，基础矩阵也是一个3x3的矩阵。
其次，其仍然受对极约束的影响，具有尺度等价性。
再其次，基础矩阵的行列式为0。（因为他的秩为2，见下面。）
最后得到，基础矩阵的自由度为7.

秩：
首先，相机内参矩阵秩为3，旋转矩阵秩为3。
其次，平移反对称矩阵秩为2。
最后，同样由性质2得出，基础矩阵的秩为2。

3.3 单应性矩阵H的自由度为8，秩为3。

参考神奇的单应性矩阵

自由度：
首先，单应性矩阵也是一个3x3的矩阵。
其次，其具有尺度等价性。
最后得到，基础矩阵的自由度为8。

秩：
因为单应性矩阵是可逆矩阵，所以他的秩为3。