高等数学：幂级数复习笔记

幂级数

一、函数项级数的概念

1. 概念

   由一个区间$I$上的函数列：
   $$u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),...,$$
   构成的表达式：
   $$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...$$
   称为$I$上的函数项无穷级数

2. 与常数项级数的关系

   当确定了$x=x_0，x_0\in I$，函数项级数成为常数项级数
   $$u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+...——————（3-2）$$
   

   (3-2)收敛：$x_0$称为函数级数的收敛点，

   收敛点的全体：收敛域

   (3-2)发散：$x_0$称为函数级数的发散点

3. 函数项级数的和函数

   对于收敛域内的任意一个x,函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一个确定的和s

   和函数：$s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...$,

   把前n项的部分和记做$s_n(x)$,则在收敛域上有
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n(x)=s(x)$$

4. 函数项级数的余项

   前提：在收敛域上存在余项
   $$\begin{gathered} r_n(x)=s(x)-s_n(x) \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n(x)=0 \end{gathered}$$

二、幂级数及其收敛性

1. 幂级数的形式

   $$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+...+a_n(x-x_0{)}^n+...$$

   其中$a_0,a_1...a_n$为幂级数的系数

2. 阿尔贝定理及其推论

   定理：如果级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$当$x=x_0$时收敛，那么适合不等式$|x|<|x_0|$的一切x的级数绝对收敛

   ​ 如果在$x=x_0$时发散，那么适合不等式的$|x|>|x_0|$的一切x使幂级数发散

   推论：如果级数不是在R上收敛，也不是仅仅在x=0处收敛，那么一定存在一个确定的正整数R

   ①当$|x|<R$时，幂级数绝对收敛

   ②当$|x|>R$时，幂级数发散

   ③当$|x|=R$时，幂级数可能收敛也可能发散

   第三点说明：在求级数的收敛域时，收敛半径处，即两个端点的值需要额外判断

3. 收敛半径的求法

   ①一般情况：有定理

   如果
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$$
   则收敛半径：
   KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 26: … \begin{array}{*̲*lr**} \frac{1}…

   ②如果缺项，比如缺少奇数项，或者缺少偶数项

   则直接使用比值审敛法

$$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\rho (x)$$

​

4. 收敛域的求法

   在求出收敛半径后，判断端点处，即$|x|=R$处的敛散性，最终确定收敛域

三、幂级数的运算

1. 加减乘除运算

   加减：$R=min\{R_1,R_2\}$

2. 逐项可积分

   ${\int }_0^{x}s(t)dt={\int }_0^x[\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n]dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^{n}dt$

3. 逐项求导

$$s^{\prime }(x)=[\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n{]}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n{t}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }[n{a}_n{t}^{n-1}]$$

4. 求和函数的步骤：

   ①求收敛半径

   ②求收敛域

   ③利用逐项求导或者逐项积分求和函数的值

   ④判断端点的函数值

四、函数展开成幂级数

1. 泰勒级数

   ①一般项系数：$a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$

   ②在$x_0$处的泰勒展开式
   $$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n,x\in U(x_0)$$
   ③$f(x)$能展开成泰勒级数的充要条件

   a.$f(x)$在$x_0$的某个邻域中具有各阶导数。-------------------------这样还不够，不一定收敛于$f(x)$

   b.$f(x)$的泰勒展开式中的余项$R_n(x)$当$n\to \infty$时的极限为零即
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0,x\in U(x_0)$$
   ④泰勒级数
   $$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+...+\frac{1}{n!}{f}^n(x_0)(x-x_0{)}^n+...$$

2. 麦克劳林级数

   a.麦克劳林级数
   $$f(0)+f^{\prime }(0)(x)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+...+\frac{1}{n!}{f}^n(0)x^n+...=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^n(0)x^n$$
   b.麦克劳林展开式

   若级数能在收敛域(-r,r)内展开，那么有
   $$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n,(|x|<r)$$
   上式称为麦克劳林展开式

3. 直接法求在$x_0$点展开为幂级数的步骤

   ①求出$f^{\prime }(x_0),f^{\prime \prime }(x_0),f^{\prime \prime \prime }(x_0),...,f^{(n)}(x_0)$

   ②写出幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n$，并求收敛半径R

   ③判别余项$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0,x\in U(x_0)$是否成立，即是否能够被展开。

4. 常用的幂级数的展开式：方便计算其他的幂级数，由于直接展开法计算量过大

   ①$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n$

   ②$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$

   ③$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},x\in (-\infty ,+\infty )$

   ④$sinx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},x\in (-\infty ,+\infty )$

5. 间接法求幂级数的展开式

   ①逐步积分

   ②逐步求导

   例：将函数$f(x)=cosx$展开为$x$的幂级数
   $$\begin{gathered} cosx=si{n}^{\prime }x=(\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}{)}^{\prime } \\ =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{gathered}$$

   ③带入转换

   例：将函数$f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}$展开为$(x-1)$的幂级数
   $$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}=\frac{1}{(x+3)(x+1)}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)} \\ =\frac{1}{4(1+\frac{x-1}{2})}+\frac{1}{8(1+\frac{x-1}{4})} \\ =\frac{1}{4}\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n[{\frac{x-1}{2}]}^n+\frac{1}{8}\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n[{\frac{x-1}{4}]}^n \\ =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n(\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{2n+3}})(x-1{)}^n \end{gathered}$$