高等数学：幂级数复习笔记
幂级数
一、函数项级数的概念
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概念
由一个区间 I I I上的函数列：
u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , u 3 ( x ) , . . . , u n ( x ) , . . . , u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),..., u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...,
构成的表达式：
u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+... u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...
称为 I I I上的函数项无穷级数 -
与常数项级数的关系
当确定了 x = x 0 ， x 0 ∈ I x=x_0，x_0∈I x=x0，x0∈I，函数项级数成为常数项级数
u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + . . . + u n ( x 0 ) + . . . — — — — — — （ 3 − 2 ） u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+...——————（3-2） u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+...+un(x0)+...——————（3−2）
(3-2)收敛： x 0 x_0 x0称为函数级数的收敛点，
收敛点的全体：收敛域
(3-2)发散： x 0 x_0 x0称为函数级数的发散点
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函数项级数的和函数
对于收敛域内的任意一个x,函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一个确定的和s
和函数： s ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+... s(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...,
把前n项的部分和记做 s n ( x ) s_n(x) sn(x),则在收敛域上有
lim n → ∞ s n ( x ) = s ( x ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_n(x)=s(x) n→∞limsn(x)=s(x) -
函数项级数的余项
前提：在收敛域上存在余项
r n ( x ) = s ( x ) − s n ( x ) lim n → ∞ r n ( x ) = 0 r_n(x)=s(x)-s_n(x)\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_n(x)=0 rn(x)=s(x)−sn(x)n→∞limrn(x)=0
二、幂级数及其收敛性
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幂级数的形式
∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + . . . + a n ( x − x 0 ) n + . . . \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n+... n=0∑∞anxn=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+...+an(x−x0)n+...
其中 a 0 , a 1 . . . a n a_0,a_1...a_n a0,a1...an为幂级数的系数
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阿尔贝定理及其推论
定理：如果级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn当 x = x 0 x=x_0 x=x0时收敛，那么适合不等式 ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ |x|<|x_0| ∣x∣<∣x0∣的一切x的级数绝对收敛
如果在 x = x 0 x=x_0 x=x0时发散，那么适合不等式的 ∣ x ∣ > ∣ x 0 ∣ |x|>|x_0| ∣x∣>∣x0∣的一切x使幂级数发散
推论：如果级数不是在R上收敛，也不是仅仅在x=0处收敛，那么一定存在一个确定的正整数R
①当 ∣ x ∣ < R |x|
∣x∣<R 时，幂级数绝对收敛②当 ∣ x ∣ > R |x|>R ∣x∣>R时，幂级数发散
③当 ∣ x ∣ = R |x|=R ∣x∣=R时，幂级数可能收敛也可能发散
第三点说明：在求级数的收敛域时，收敛半径处，即两个端点的值需要额外判断
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收敛半径的求法
①一般情况：有定理
如果
lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho n→∞lim∣anan+1∣=ρ
则收敛半径：
KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 26: … \begin{array}{*̲*lr**} \frac{1}…②如果缺项，比如缺少奇数项，或者缺少偶数项
则直接使用比值审敛法
lim n → ∞ ∣ u n + 1 ( x ) u n ( x ) ∣ = ρ ( x ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\rho(x) n→∞lim∣un(x)un+1(x)∣=ρ(x)
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收敛域的求法
在求出收敛半径后，判断端点处，即 ∣ x ∣ = R |x|=R ∣x∣=R处的敛散性，最终确定收敛域
三、幂级数的运算
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加减乘除运算
加减： R = m i n { R 1 , R 2 } R=min\{R_1,R_2\} R=min{R1,R2}
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逐项可积分
∫ 0 x s ( t ) d t = ∫ 0 x [ ∑ n = 0 ∞ a n t n ] d t = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x a n t n d t \int_0^xs(t)dt=\int_0^x[\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n]dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^ndt ∫0xs(t)dt=∫0x[n=0∑∞antn]dt=n=0∑∞∫0xantndt
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逐项求导
s ′ ( x ) = [ ∑ n = 0 ∞ a n t n ] ′ = ∑ n = 0 ∞ ( a n t n ) ′ = ∑ n = 0 ∞ [ n a n t n − 1 ] s'(x)=[\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n]'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_nt^n)'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}[na_nt^{n-1}] s′(x)=[n=0∑∞antn]′=n=0∑∞(antn)′=n=0∑∞[nantn−1]
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求和函数的步骤：
①求收敛半径
②求收敛域
③利用逐项求导或者逐项积分求和函数的值
④判断端点的函数值
四、函数展开成幂级数
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泰勒级数
①一般项系数： a n = 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0) an=n!1f(n)(x0)
②在 x 0 x_0 x0处的泰勒展开式
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n , x ∈ U ( x 0 ) f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x∈U(x_0) f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n,x∈U(x0)
③ f ( x ) f(x) f(x)能展开成泰勒级数的充要条件a. f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0的某个邻域中具有各阶导数。-------------------------这样还不够，不一定收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
b. f ( x ) f(x) f(x)的泰勒展开式中的余项 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)当 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞时的极限为零即
lim n → ∞ R n ( x ) = 0 , x ∈ U ( x 0 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0,x∈U(x_0) n→∞limRn(x)=0,x∈U(x0)
④泰勒级数
f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + . . . + 1 n ! f n ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + . . . f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{n}(x_0)(x-x_0)^n+... f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!1f′′(x0)(x−x0)2+...+n!1fn(x0)(x−x0)n+... -
麦克劳林级数
a.麦克劳林级数
f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x ) + 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 + . . . + 1 n ! f n ( 0 ) x n + . . . = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f n ( 0 ) x n f(0)+f'(0)(x)+\frac{1}{2!}f''(0)x^2+...+\frac{1}{n!}f^{n}(0)x^n+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{n}(0)x^n f(0)+f′(0)(x)+2!1f′′(0)x2+...+n!1fn(0)xn+...=n=0∑∞n!1fn(0)xn
b.麦克劳林展开式若级数能在收敛域(-r,r)内展开，那么有
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n , ( ∣ x ∣ < r ) f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n,(|x|
上式称为麦克劳林展开式 -
直接法求在 x 0 x_0 x0点展开为幂级数的步骤
①求出 f ′ ( x 0 ) , f ′ ′ ( x 0 ) , f ′ ′ ′ ( x 0 ) , . . . , f ( n ) ( x 0 ) f'(x_0),f''(x_0),f'''(x_0),...,f^{(n)}(x_0) f′(x0),f′′(x0),f′′′(x0),...,f(n)(x0)
②写出幂级数 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n} n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n，并求收敛半径R
③判别余项 lim n → ∞ R n ( x ) = 0 , x ∈ U ( x 0 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0,x∈U(x_0) n→∞limRn(x)=0,x∈U(x0)是否成立，即是否能够被展开。
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常用的幂级数的展开式：方便计算其他的幂级数，由于直接展开法计算量过大
① 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n \frac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n 1+x1=n=0∑∞(−1)nxn
② 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n 1−x1=n=0∑∞xn
③ e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},x∈(-\infty,+\infty) ex=n=0∑∞n!xn,x∈(−∞,+∞)
④ s i n x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},x∈(-\infty,+\infty) sinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1,x∈(−∞,+∞)
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间接法求幂级数的展开式
①逐步积分
②逐步求导
例：将函数 f ( x ) = c o s x f(x)=cosx f(x)=cosx展开为 x x x的幂级数
c o s x = s i n ′ x = ( ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ) ′ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! cosx=sin'x=(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})'\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=sin′x=(n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1)′=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n③带入转换
例：将函数 f ( x ) = 1 x 2 + 4 x + 3 f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3} f(x)=x2+4x+31展开为 ( x − 1 ) (x-1) (x−1)的幂级数
f ( x ) = 1 x 2 + 4 x + 3 = 1 ( x + 3 ) ( x + 1 ) = 1 2 ( x + 1 ) − 1 2 ( x + 3 ) = 1 4 ( 1 + x − 1 2 ) + 1 8 ( 1 + x − 1 4 ) = 1 4 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n [ x − 1 2 ] n + 1 8 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n [ x − 1 4 ] n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 1 2 n + 2 − 1 2 2 n + 3 ) ( x − 1 ) n f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}=\frac{1}{(x+3)(x+1)}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}\\ =\frac{1}{4(1+\frac{x-1}{2})}+\frac{1}{8(1+\frac{x-1}{4})}\\ =\frac{1}{4}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n[{\frac{x-1}{2}]}^n+\frac{1}{8}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n[{\frac{x-1}{4}]}^n\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{2n+3}})(x-1)^n f(x)=x2+4x+31=(x+3)(x+1)1=2(x+1)1−2(x+3)1=4(1+2x−1)1+8(1+4x−1)1=41n=0∑∞(−1)n[2x−1]n+81n=0∑∞(−1)n[4x−1]n=n=0∑∞(−1)n(2n+21−22n+31)(x−1)n