线性代数复习二——矩阵运算

矩阵的加法运算就不多说了，对应元素相加，来说说矩阵的乘法

矩阵乘法的一种观点
若A是矩阵，B是矩阵，，

则

例如，，写，计算

，，

，因此我们知道的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权，虽然我们一般都这么算：的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。
强调一下，矩阵相乘是不能改变左右顺序的！同时，我们也应该记住，每个矩阵，它都代表一种变换!

注意：
一般情况下，，因为的列是A的各列的线性组合，的列是B的各列的线性组合
若，一般情况下，并不成立，如，只要A中有线性相关的列，那么我们可以改变分量的值得到同样的向量。

若是零矩阵，一般不能断定或，如，同样的，只要A中有线性相关的列，那么我们可以改变分量的值都得到零向量。

矩阵的转置
需要注意的是，r为任意数

转置的意义是将矩阵变换的方向关于直线y=x做对称，得到的新的变换矩阵即为该矩阵的转置。

矩阵的乘法与方程组的一些联系
设，则方程只有平凡解，A的列数不可以多于行数
设，则对任意中的b，方程有解，A的行数不可以多于列数

矩阵乘法的意义
对于矩阵A和B，我们可以这么理解AB：
以B的对应元素为权，对A的列进行线性组合
对A的列进行B矩阵对应的线性变换（组合）
以A的对应元素为权，对B的行进行线性组合
对B的行进行A矩阵对应的线性变换（组合）

这一块就到这里，我们下一次再见~