线性代数：矩阵运算常用公式
线性代数：矩阵运算常用公式
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1 转置 （Transpose）
( A + B ) T = A T + B T ( A B ) T = B T A T (\mathbf A + \mathbf B)^T = \mathbf A^T + \mathbf B^T \\ (\mathbf A \mathbf B)^T = \mathbf B^T \mathbf A^T (A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT
2 逆 (Inverse)
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (\mathbf A \mathbf B)^{-1} = \mathbf B^{-1} \mathbf A^{-1} \\ (\mathbf A^T)^{-1} = (\mathbf A^{-1})^T (AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T
注：一般矩阵为方阵且可逆时，才能做逆运算。
3 行列式 (Determinant)
A \mathbf A A为 n n n行 n n n列的方阵。
d e t ( A ) = λ 1 λ 2 ⋯ λ n , λ i 为 A 的 特 征 值 . d e t ( A T ) = d e t ( A ) d e t ( A − 1 ) = 1 d e t ( A ) d e t ( c A ) = c n d e t ( A ) d e t ( A n ) = d e t ( A ) n {\rm det} (\mathbf A) = \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n ,~~ \lambda_i为\mathbf A的特征值. \\ {\rm det} (\mathbf A ^T) = {\rm det} (\mathbf A) \\ {\rm det} (\mathbf A ^{-1}) = \frac1{{\rm det} (\mathbf A)} \\ {\rm det} (c \mathbf A) = c^n {\rm det} (\mathbf A) \\ {\rm det} (\mathbf A ^n) = {\rm det} (\mathbf A)^n det(A)=λ1λ2⋯λn, λi为A的特征值.det(AT)=det(A)det(A−1)=det(A)1det(cA)=cndet(A)det(An)=det(A)n
由第2条性质可知，若 A \mathbf A A是正交矩阵，即 A T A = I \mathbf A^T \mathbf A = \mathbf I ATA=I。有 d e t ( A T A ) = d e t ( A ) 2 = d e t ( I ) = 1 {\rm det} (\mathbf A ^T \mathbf A) = {\rm det} (\mathbf A)^2 = {\rm det} (\mathbf I) = 1 det(ATA)=det(A)2=det(I)=1，故正交矩阵的行列式一定为 d e t ( A ) = ± 1 {\rm det} (\mathbf A) = ±1 det(A)=±1。
4 迹 (Trace)
A \mathbf A A为 n n n行 n n n列的方阵 [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤。
矩阵的迹的定义式为主对角线元素之和。
t r ( A ) = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n {\rm tr} (\mathbf A) = a_{11}+ a_{22} +\cdots + a_{nn} tr(A)=a11+a22+⋯+ann
矩阵的迹还等于其特征值的和。
t r ( A ) = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n , λ i 为 A 的 特 征 值 . {\rm tr} (\mathbf A) = \lambda_1+\lambda_2 +\cdots +\lambda_n ,~~ \lambda_i为\mathbf A的特征值. tr(A)=λ1+λ2+⋯+λn, λi为A的特征值.
矩阵乘法运算的顺序不改变乘积的迹。
t r ( A B C ) = t r ( B C A ) = t r ( C A B ) {\rm tr} (\mathbf A \mathbf B \mathbf C) = {\rm tr} (\mathbf B \mathbf C \mathbf A) = {\rm tr} (\mathbf C \mathbf A \mathbf B) tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)
矩阵的和的迹等于迹的和。
t r ( A + B ) = t r ( A ) + t r ( B ) {\rm tr} (\mathbf A + \mathbf B) = {\rm tr} (\mathbf A) + {\rm tr} (\mathbf B) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
a \mathbf a a为 n n n行的列向量 [ a 1 a 2 ⋮ a n ] \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎤。
a T a = t r ( a a T ) = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 \mathbf a ^T \mathbf a = {\rm tr} (\mathbf a \mathbf a ^T) = a_{1}^2 + a_{2}^2 +\cdots + a_{n}^2 aTa=tr(aaT)=a12+a22+⋯+an2
参考资料
The Matrix Cookbook