这是一个包含 t = 0 , 1 , 2 t=0, 1, 2 t=0,1,2 三个时刻的模型。模型中仅存在一种消费品,既可以用来消费,也可以用来投资。在 t = 0 t=0 t=0 的时刻,每位消费者均有 1 单位的消费品禀赋。在 t = 1 , 2 t=1, 2 t=1,2 时刻,消费者不再获得新的禀赋。在各个时刻之间,消费者的主观贴现因子均为 1。
两种资产
刻画流动性需求
为什么说这样能刻画流动性需求呢?
消费者最大化期望效用
E U = λ u ( c 1 ) + ( 1 − λ ) u ( c 2 ) EU = \lambda u(c_1) + (1-\lambda)u(c_2) EU=λu(c1)+(1−λ)u(c2)
在自给自足的情况下,消费者完全靠自己 0 时刻投资所产生的回报来支持其 1 时刻或 2时刻的消费。令 θ \theta θ 为消费者在 θ \theta θ 时刻投资在短期资产中的禀赋比例。
{ c 1 = θ c 2 = θ + ( 1 − θ ) R \begin{cases} c_1 = \theta \\ c_2 = \theta + (1-\theta)R \\ \end{cases} {c1=θc2=θ+(1−θ)R
注意
:上式只有其中一个会实现,在1期消费了,在2期就不会消费了;在一期没消费,那么就一定在2期消费;
求解消费者最优效用
max θ E U = λ u ( c 1 ) + ( 1 − λ ) u ( c 2 ) s . t . { c 1 = θ c 2 = θ + ( 1 − θ ) R F O C : λ u ′ ( c 1 ) + ( 1 − λ ) u ′ ( c 2 ) ( 1 − R ) = 0 ⇒ λ u ′ ( c 1 ) = ( 1 − λ ) ( R − 1 ) u ′ ( c 2 ) ⇒ 解出 θ A T K ⇒ E U A T K \max_{\theta} EU = \lambda u(c_1) + (1-\lambda)u(c_2)\\ s.t. \begin{cases} c_1 = \theta \\ c_2 = \theta + (1-\theta)R \\ \end{cases} \\ \begin{aligned} FOC: &\lambda u'(c_1) + (1-\lambda)u'(c_2)(1-R) = 0 \\ \Rightarrow& \lambda u'(c_1) = (1-\lambda)(R-1)u'(c_2) \\ \Rightarrow& 解出 \theta^{ATK} \Rightarrow EU^{ATK} \end{aligned} θmaxEU=λu(c1)+(1−λ)u(c2)s.t.{c1=θc2=θ+(1−θ)RFOC:⇒⇒λu′(c1)+(1−λ)u′(c2)(1−R)=0λu′(c1)=(1−λ)(R−1)u′(c2)解出θATK⇒EUATK
E U A T K EU^{ATK} EUATK视为消费者的保留效用,作为比较的基准(如果任何一种制度安排达不到该值,那么就会回到自给自足的状态下)
虽然在消费者的微观层面存在不确定性,但在许多消费者加总起来的宏观层面其实没有不确定性。大数定律告诉我们,不管单个消费者的类型是怎样的,总人口中总有 λ \lambda λ 比例的前期消费者,以及 1 − λ 1-λ 1−λ 比例的后期消费者。因此,如果让一个中央计划者(central planner)来配置资源,可以让每个消费者都达到最高的 0 时刻的期望效用。这将产生最佳的配置。我们假设经济中有总数量为 N 的消费者(N 足够大,以使得大数定律生效)。则经济中 0 时刻消费品总禀赋为 N。经济中前期消费者的数量为 λ N \lambda N λN,后期消费者数量为 ( 1 − λ ) N (1-\lambda)N (1−λ)N。
{ λ N c 1 = θ N ( 1 − λ ) N c 2 = ( 1 − θ ) N R ⇒ { λ c 1 = θ ( 1 − λ ) c 2 = ( 1 − θ ) R \begin{cases} \lambda Nc_1 = \theta N \\ (1-\lambda)Nc_2 = (1-\theta)NR \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \lambda c_1 = \theta \\ (1-\lambda)c_2 = (1-\theta)R \\ \end{cases} {λNc1=θN(1−λ)Nc2=(1−θ)NR⇒{λc1=θ(1−λ)c2=(1−θ)R
求解消费者最优效用
max θ E U = λ u ( c 1 ) + ( 1 − λ ) u ( c 2 ) s . t . { c 1 = θ λ c 2 = ( 1 − θ ) R 1 − λ F O C : λ u ′ ( c 1 ) 1 λ + ( 1 − λ ) u ′ ( c 2 ) ( 1 − R ) − R 1 − λ = 0 ⇒ u ′ ( c 1 ) = u ′ ( c 2 ) R ⇒ 解出 θ B S T ⇒ E U B S T \max_{\theta} EU = \lambda u(c_1) + (1-\lambda)u(c_2)\\ s.t. \begin{cases} c_1 = \frac{\theta}{\lambda} \\ c_2 = \frac{(1-\theta)R}{1-\lambda} \\ \end{cases} \\ \begin{aligned} FOC: &\lambda u'(c_1) \frac{1}{\lambda}+ (1-\lambda)u'(c_2)(1-R)\frac{-R}{1-\lambda} = 0 \\ \Rightarrow& u'(c_1) = u'(c_2)R \\ \Rightarrow& 解出 \theta^{BST} \Rightarrow EU^{BST} \end{aligned} θmaxEU=λu(c1)+(1−λ)u(c2)s.t.{c1=λθc2=1−λ(1−θ)RFOC:⇒⇒λu′(c1)λ1+(1−λ)u′(c2)(1−R)1−λ−R=0u′(c1)=u′(c2)R解出θBST⇒EUBST
由于 R > 1 R>1 R>1,所以肯定有 c 1 B S T < c 2 B S T c_1^{BST}
在自给自足的情况下,消费者在发现自己是前期型消费者时,总是会后悔自己投资了长期资产。而后期型消费者则总会后悔自己投资了短期资产。很容易想到,如果让两类消费者可以相互交易,她们的效用都能得到提升。
C-CAPM中证明了中央计划者与Arrow-Debreu市场的等价性,但是Arrow-Debreu在这个问题下似乎不存在,在这里的模型中,每个消费者的类型(前期、后期)是决定世界状态的因素。如果市场中有 N N N 个消费者,世界的状态就会有 2 N 2N 2N 个。而且,这 2 N 2N 2N 个 Arrow 证券在 0 时刻就需要交易完成。令问题变得更加棘手的是,消费者在 1 时刻的类型只是消费者自己的私人信息,别人都无法知道消费者的类型(后期消费者总是可以伪装成前期消费者)。由于有这样的障碍,在这个模型中不存在 Arrow-Debreu 市场。
至于后期消费者为什么要伪装成前期消费者?
所以在这个模型中真正可能实现的市场是在 1 时刻,当消费者获知了自己的类型之后,前期消费者和后期消费者在市场上交易其资产。前期消费者将自己手中的长期资产出售给后期消费者,换取后期消费者手中的短期资产。
如果以消费品为计价单位的长期资产的价格为 p p p(短期资产 1 时刻的价格显然为 1),则前期和后期消费者的人均消费分别为
{ c 1 = θ + ( 1 − θ ) p c 2 = ( 1 − θ + θ p ) R \begin{cases} c_1 = \theta + (1-\theta)p \\ c_2 = (1-\theta+\frac{\theta}{p})R \\ \end{cases} {c1=θ+(1−θ)pc2=(1−θ+pθ)R
下证: p = 1 p=1 p=1
反证:
所以
{ c 1 M K T = 1 c 2 M K T = R ⇒ E U M K T \begin{cases} c_1^{MKT} = 1 \\ c_2^{MKT} = R \\ \end{cases} \Rightarrow EU^{MKT} {c1MKT=1c2MKT=R⇒EUMKT
显然, E U M K T > E U A K T EU^{MKT} > EU^{AKT} EUMKT>EUAKT,因为下式不能同时取等号
{ c 1 A T K = θ ≤ 1 c 2 A T K = θ + ( 1 − θ ) R ≤ R \begin{cases} c_1^{ATK} = \theta \leq 1 \\ c_2^{ATK} = \theta + (1-\theta)R \leq R \\ \end{cases} {c1ATK=θ≤1c2ATK=θ+(1−θ)R≤R
但是, E U M K T EU^{MKT} EUMKT未必与 E U B S T EU^{BST} EUBST一样优(除非所有消费者的效用函数都是对数效用函数)
重要问题: p = 1 p=1 p=1?
基于以上三点,其实银行与中央计划者就没有什么区别了; 当N很大时,不确定的 c 1 c_1 c1与 c 2 c_2 c2也会被确定(约束相等),因为银行的完全竞争,最优化函数与中央计划者相同,选择的投资组合,所以效用也相等;
{ c 1 B N K , c 2 B N K = c 1 B S T , c 2 B S T max θ E U B N K = max θ E U B S T θ B N K = θ B S T ⇒ E U B N K = E U B S T \begin{cases} c_1^{BNK},c_2^{BNK} = c_1^{BST},c_2^{BST} \\ \max_{\theta} EU^{BNK} = \max_{\theta} EU^{BST} \\ \theta^{BNK}=\theta^{BST} \\ \end{cases} \Rightarrow EU^{BNK} = EU^{BST} ⎩ ⎨ ⎧c1BNK,c2BNK=c1BST,c2BSTmaxθEUBNK=maxθEUBSTθBNK=θBST⇒EUBNK=EUBST
那么也会有 c 1 B N K < c 2 B N K c_1^{BNK}
现在,我们假设长期资产在时刻 1 清算,可以带来 r( 0 < r ≤ 1 0
r ( 1 − θ B N K ) + θ B N K ≤ 1 r(1-\theta^{BNK}) + \theta^{BNK} \leq 1 r(1−θBNK)+θBNK≤1
如果 r 较小,使得
r ( 1 − θ B N K ) + θ B N K ≤ C 1 B N K r(1-\theta^{BNK}) + \theta^{BNK} \leq C_1^{BNK} r(1−θBNK)+θBNK≤C1BNK
则银行在 1 时刻就资不抵债,只能支付承诺数量的一部分。更加严重的是,银行的所有资产将在时刻 1 就耗尽,等到时刻 2 再提款的储户将什么也得不到。。因此,如果一个后期消费者认为其他所有人都会在时刻 1 提款,那么他的最优选择就是在时刻 1也到银行提款。
所以伪装成前期消费者这种看似不理性的行为,在这种情况下就变成投资者最优的选择;
总结银行制度的两个纳什均衡:
而决定这两个均衡哪个会实现的,并不是某个消费者的私利,也不是什么外生冲击;而是后期消费者的信念(belief)。无论是“没有挤兑”的信念,还是“有挤兑”的信念,都会自我实现(self-fulfilling),即信念会将信念自己所预期的结果给生成出来。
解决方案:
银行为什么要起那么高的大厦,银行为什么要建在最繁荣的地方,银行门口为什么要放两个大石狮子,为什么进入银行需要高门槛,为什么银行总把专业放在嘴边?
曾几何时,我也是P2P的支持者,认为这样的制度设计难道不正是互联网技术发展给我们贫苦百姓带来的福音吗? 银行家不过是为了守住自己私利而不愿承认罢了; 正所谓:“吾尝终日而思矣,不如须臾之所学也。“
正值诺贝尔经济学奖颁奖之际,2022的诺贝尔经济学奖颁给了这篇文章的两位作者;谨以此篇,重温经典,向两位金融学者表示祝贺!