[曲线积分笔记]第二类曲线积分

对于坐标的曲线积分

这个要对比这来看，第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，并且这是没有方向的（就是说你对弧AB从A到B和从B到A积分的结果是一样的）

对坐标的曲线积分最显著的特点就是有方向，实际应用比如说求某一个力，在某一个方向（如x轴）上所做的功。
$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

对于这样一个式子，$P(x,y)$表示这一个力在运动过程中力的大小在x轴方向是如何变化的，类似地$Q(x,y)$表示这一个力在运动过程中力的大小在y轴方向是如何变化的

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第一类曲线积分(被积函数是标量函数)
$${\int }_{L}f(x,y)ds$$
第二类曲线积分
$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
由于$dy=f^{\prime }(x)dx$，上式亦可以写为
$${\int }_a^b[F_y(x,y)\ast f^{\prime }(x)+F_x(x,y)]dx$$
由于可以参数化表示，即$x=x(t),y=y(t)$则有
$${\int }_{\alpha }^{\beta }[F_y(x,y)\ast y^{\prime }(t)dt+F_x(x,y)\ast x^{\prime }(t)dt]$$

物理意义上的推导

分割：将有向弧AB分为若干微元，从A标这端记为$M_0$，B那段记为$M_n$，一共有n段。记第i段是${\Delta }_i$
近似：每一小段上的做功为
$$\Delta W_i=F({\xi }_i,{\eta }_i)\cdot {\Delta }_i$$

注意这里是向量的点乘，这意味着可以转化为
$$\Delta W_i=[P({\xi }_i,{\eta }_i),Q({\xi }_i,{\eta }_i)]\cdot [\Delta x_i,\Delta y_i]$$
进一步地变为下式（三维空间同理）
$$\Delta W_i=P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$$
求和：
$$W\approx \sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$$
最终经过取极限变为
$$W={\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
这称之为$P(x,y),Q(x,y)$分别对坐标x,y的曲线积分

进一步地将 ${\int }_{L}P(x,y)dx$称为$P(x,y)$在有向弧L上对x的曲线积分

计算方法

转化成定积分处理

$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{x_0}^{x_1}P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x)$$

由于$dy(x)=y^{\prime }(x)dx$则有
$${\int }_{x_0}^{x_1}[P(x,y(x))+Q(x,y(x))\cdot y^{\prime }(x)]dx$$
从而将之转化为常见的定积分进行处理

同理地也可以转化为对y轴的定积分如下式
$${\int }_{y_0}^{y_1}[P(x(y),y)x^{\prime }(y)+Q(x(y),y)]dy$$

请注意，将所有$y$换成$x$意味着$dy$也要换成$dx$。类似地$y$换成$x^2$则意味着$dy$也要换成$d{x}^2$,。对所有$x$换成$y$亦然。

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另外对于积分区域$L$是一条直线例如$y=a$的情况，此时$dy=0$

$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{L}P(x,a)dx$$
同理对于积分区域$L$是直线$x=a$的情况，此时$dx=0$
$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{L}Q(a,y)dy$$

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对于参数方程下的第二类曲线积分
$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}x& =& x(t)\\ y& =& y(t)\end{array}t:t_1\to t_2$$
也可以这样处理为
$${\int }_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q((x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt$$

例题

例题1

例题2

$${\int }_{L}2xydx+x^{2}dy$$

在$L_1$情况下，由于$y=x^2$代入原式等于
$${\int }_0^{1}2x\cdot x^{2}dx+x^{2}d{x}^2$$
然后就是说对于$x^{2}d{x}^2=x^2\cdot 2xdx$，这是为什么呢，原因在于这是$\frac{d{x}^2}{dx}=2x$的移项，进一步地将之带入上式。
$${\int }_0^1(2x^3+2x^3)dx=4{\int }_0^1{x}^{3}dx=1$$

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在$L_2$情况下，由于$y=\sqrt{x}$代入原式等于
$${\int }_0^{1}2x\cdot \sqrt{x}dx+x^{2}d\sqrt{x}={\int }_0^1[2x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{2}}]dx=\frac{5}{2}{\int }_0^1{x}^{\frac{3}{2}}dx=1$$

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在$L_3$的情况下

这仨结果都一样，这说明啥？说明做功跟起点和终点的位置有关，跟走的路径无关。

$${\int }_0^{1}2x\cdot x^{2}dx+x^{2}d{x}^2$$因为对上式的两部分求偏导，不论是$2xy$还是$x^2$其结果都是$2x$。详见格林公式。

例3（空间曲线）

计算$${\int }_{\tau }{x}^{3}dx+3z{y}^{2}dy-x^{2}ydz$$其中$\tau$如下图

从$A(3,2,1)$到$B(0,0,0)$的两种路径

1. 沿直线$AB$
2. 沿折线$ACDB$，其中$C(3,2,0),D(3,0,0)$

对于第一种情况，先转换出参数方程。可由下式移项得
$$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}=t$$
然后就把$x=3t,y=2t,z=t$带入所求的积分式中
$${\int }_1^0(3t{)}^{3}d3t+3\cdot t\cdot (2t{)}^{2}d2t-(3t{)}^2\cdot 2tdt$$
其中在$x=3$时$t=1$，$x=0$时$t=0$，这也是积分的范围

进一步地
$$-{\int }_0^{1}87t^{3}dt=-\frac{87}{4}$$

对于第二种情况则有

参考

https://www.bilibili.com/video/BV11b411W7et
https://zhuanlan.zhihu.com/p/56393995
https://zhuanlan.zhihu.com/p/154247928
https://blog.csdn.net/libozhen9011/article/details/121958349