Python动态演示旋转矩阵的作用
文章目录
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- 先新建一组散点充当坐标轴
- 旋转矩阵与初步演示
- 转动次序对旋转的影响
- 动态演示旋转过程
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先新建一组散点充当坐标轴
为了比较直观地展示旋转过程，这里通过散点来新建三个坐标轴，通过对这三个坐标轴的转动，来直观地展现转动矩阵对坐标变换的影响。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def setAxis(N, axis=0):
xs = np.arange(N)
ys = np.zeros_like(xs)
zs = np.zeros_like(xs)
if axis==0 : return [xs, ys, zs]
elif axis==1 : return [ys, xs, zs]
else: return [ys, zs, xs]
def drawAxis(X,Y,Z):
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.scatter(*X, c='r')
ax.scatter(*Y, c='g')
ax.scatter(*Z, c='b')
plt.show()
X = setAxis(10, 0)
Y = setAxis(10, 1)
Z = setAxis(10, 2)
drawAxis(X, Y, Z)
效果为
旋转矩阵与初步演示
欧拉角是用来唯一地确定定点转动刚体位置的三个一组独立角参量，由章动角θ、进动角ψ和自转角φ组成，为L.欧拉首先提出，故得名。
为了尽快进入演示部分，故对原理的介绍从略，仅从二维平面上的旋转矩阵出发，做一个简单的推导，而三维旋转矩阵，至少在形式上与二维是雷同的。
假设坐标系中有一个向量 ( x , y ) (x,y) (x,y)，其模长为 r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r=x2+y2，角度为 θ 0 = arctan y x \theta_0=\arctan\frac{y}{x} θ0=arctanxy。若将其围绕坐标原点逆时针旋转 θ \theta θ，则其坐标变为
x ′ = r cos ( θ 0 + θ ) = r cos θ 0 cos θ − r sin θ 0 sin θ y ′ = r sin ( θ 0 + θ ) = r sin θ 0 cos θ + r cos θ 0 sin θ x' = r\cos(\theta_0+\theta)=r\cos\theta_0\cos\theta-r\sin\theta_0\sin\theta\\ y' = r\sin(\theta_0+\theta)=r\sin\theta_0\cos\theta+r\cos\theta_0\sin\theta x′=rcos(θ0+θ)=rcosθ0cosθ−rsinθ0sinθy′=rsin(θ0+θ)=rsinθ0cosθ+rcosθ0sinθ
由于 x = r cos θ 0 , y = r sin θ 0 x = r\cos\theta_0, y=r\sin\theta_0 x=rcosθ0,y=rsinθ0，则上式可以写为
x ′ = x cos θ − y sin θ y ′ = − x sin θ + y cos θ x'= x\cos\theta - y\sin\theta\\ y'= -x\sin\theta + y\cos\theta x′=xcosθ−ysinθy′=−xsinθ+ycosθ
写成矩阵形式即为
[ x ′ y ′ ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] \begin{bmatrix} x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} [x′y′]=[cosθsinθ−sinθcosθ][xy]
也就是说，在平面直角坐标系上，向量绕原点顺时针旋转 θ \theta θ，相当于左乘一个旋转矩阵。
推广到三维，为了限制 x y xy xy坐标平面上的旋转，要将其旋转中心从原点扩展为绕着 z z z轴旋转，从而三维旋转矩阵可推广为
[ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta &0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦ ⎤
同理可得到绕三个轴转动的旋转矩阵，为了书写方便，记 S θ = sin θ , C θ = cos θ S_\theta=\sin\theta, C_\theta=\cos\theta Sθ=sinθ,Cθ=cosθ，可列出下表。
| R x ( θ ) R_x(\theta) Rx(θ) | R x ( θ ) R_x(\theta) Rx(θ) | R x ( θ ) R_x(\theta) Rx(θ) |
|---|---|---|
| [ 1 0 0 0 C θ − S θ 0 S θ C θ ] \begin{bmatrix}1&0&0\\0&C_\theta&-S_\theta\\0&S_\theta&C_\theta\\\end{bmatrix} ⎣ ⎡1000CθSθ0−SθCθ⎦ ⎤ | [ C θ 0 S θ 0 1 0 − S θ 0 C θ ] \begin{bmatrix}C_\theta&0 &S_\theta\\0&1&0\\-S_\theta&0&C_\theta\\\end{bmatrix} ⎣ ⎡Cθ0−Sθ010Sθ0Cθ⎦ ⎤ | [ C θ S θ 0 − S θ C θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}C_\theta &S_\theta&0\\-S_\theta&C_\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix} ⎣ ⎡Cθ−Sθ0SθCθ0001⎦ ⎤ |
下面用lambda表达式来实现，用以描述单个轴的旋转过程。
import numpy as np
# 将角度转弧度后再求余弦
cos = lambda th : np.cos(np.deg2rad(th))
sin = lambda th : np.sin(np.deg2rad(th))
# 即 Rx(th) => Matrix
Rx = lambda th : np.array([
[1, 0, 0],
[0, cos(th), -sin(th)],
[0, sin(th), cos(th)]])
Ry = lambda th : np.array([
[cos(th), 0, sin(th)],
[0 , 1, 0],
[-sin(th), 0, cos(th)]
])
Rz = lambda th : np.array([
[cos(th) , sin(th), 0],
[-sin(th), cos(th), 0],
[0 , 0, 1]])
有了旋转矩阵，就可以旋转，接下来让坐标轴沿着三个轴分别旋转30°，其效果如下
代码如下
def drawAxis(X, Y, Z, fig, i):
ax = fig.add_subplot(1,3,i,projection='3d')
ax.plot(*X, c='r')
ax.plot(*Y, c='g')
ax.plot(*Z, c='b')
Xx, Yx, Zx = Rx(30) @ X, Rx(30) @ Y, Rx(30) @ Z
Xy, Yy, Zy = Ry(30) @ X, Ry(30) @ Y, Ry(30) @ Z
Xz, Yz, Zz = Rz(30) @ X, Rz(30) @ Y, Rz(30) @ Z
fig = plt.figure("rotate")
drawAxis(Xx, Yx, Zx, fig, 1)
drawAxis(Xy, Yy, Zy, fig, 2)
drawAxis(Xz, Yz, Zz, fig, 3)
plt.show()
转动次序对旋转的影响
由于旋转被建模成了矩阵，而众所周知矩阵乘法是不可交换的，也就是说，就算绕着三个坐标轴旋转相同的角度，也会因为转动次序不同而引发不同的结果。
XYZ = [X, Y, Z]
R_xyz = [Rz(30) @ Ry(30) @ Rx(30) @ R for R in XYZ]
R_zyx = [Rx(30) @ Ry(30) @ Rz(30) @ R for R in XYZ]
R_yxz = [Rz(30) @ Rx(30) @ Ry(30) @ R for R in XYZ]
fig = plt.figure("rotate")
drawAxis(*R_xyz, fig, 1)
drawAxis(*R_zyx, fig, 2)
drawAxis(*R_yxz, fig, 3)
plt.show()
得到下图
动态演示旋转过程
30°的转动之后，坐标轴变得面目全非，接下来要做的就是动态绘制这三个坐标轴的旋转过程
from numpy.random import rand
from matplotlib import animation
Rot = [Rx, Ry, Rz]
# 根据指定坐标轴顺序来以指定角度旋转向量
def rotVec(vec, axis, degs):
for i in range(len(axis)):
vec = Rot[axis[i]](degs[i]) @ vec
return vec
# 若x在[a,b]区间，则对a取模，若小于a置0，大于b为b-a
def truncMod(x, a, b):
if x < a : return 0
elif x >= b : return b-a
else : return x%(b-a)
# 三个坐标轴
XYZ = [setAxis(10,i) for i in range(3)]
fig = plt.figure(figsize=(5,5))
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.grid()
lines = [ax.plot([],[],[], '-', lw=0.5, c=c)[0]
for c in 'rgb']
def animate(n):
# 按照xyz顺序旋转
axis = [2,1,0]
degs = [truncMod(n, st, st + 30) for st in [0,30,60]]
newXYZ = [rotVec(x, axis, degs) for x in XYZ]
for i in range(3):
lines[i].set_data(newXYZ[i][0],newXYZ[i][1])
lines[i].set_3d_properties(newXYZ[i][2])
return lines
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate,
range(90), interval=50, blit=True)
#plt.show()
ani.save("zyx.gif")
效果如下
| x-y-z | z-y-x |
|---|---|
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