牛客练习赛72 D - brz的函数 莫比乌斯反演

原题链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8282/D

题意

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mu (ij)$$

化简

$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mu (i)\mu (j)[gcd(i,j)=1]$$

$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mu (i)\mu (j)\sum _{t|i,t|j}\mu (t)$$

$$=\sum _{t=1}^n\mu (t)\sum _{i=1}^{n/t}\sum _{j=1}^{n/t}\mu (it)\mu (jt)$$

$$=\sum _{t=1}^n\mu (t)\sum _{i=1}^{n/t}\mu (it)\sum _{j=1}^{n/t}\mu (jt)$$

$$设F(n,t)=\sum _{i=1}^{n/t}\mu (it)$$

$$=\sum _{t=1}^n\mu (t)F(n,t{)}^2$$

到这里如果直接算是可以Tnlogn的，但考虑到有T组数据，所以预处理出所有答案，然后O(1)输出

换个角度，考虑每个F对答案的贡献，我们发现有些时候，n/t不同的n答案有时也是一样的，所以我们对于算出n的两端取值进行差分，O(nlogn)的复杂度

Code

#include 
using namespace std;
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 2e6 + 100, M = 5e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
ll prime[N], mu[N], k, ans[N];
bool is_prime[N];
inline void init(int n) {
    memset(is_prime, true, sizeof is_prime);
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        if (is_prime[i]) prime[++k] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; j <= k && i * prime[j] < n; ++j) {
            is_prime[i * prime[j]] = false;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            } else {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
    for (int t = 1; t < n; t++) {
        ll tmp = 0;
        for (int i = t; i < n; i += t) {
            tmp += mu[i];
            int l = i;
            int r = min(n, l + t - 1);
            ans[l] += mu[t] * tmp * tmp;
            ans[r + 1] -= mu[t] * tmp * tmp;
        }
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) ans[i] = ans[i-1] + ans[i];
}

void solve() {
    init(N);
    int T; cin >> T; while (T--) {
        int n; cin >> n;
        printf("%lld\n", ans[n]);
    }
}

signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#ifdef ACM_LOCAL
    freopen("input", "r", stdin);
    freopen("output", "w", stdout);
#endif
    solve();
}