图论知识整理（2） 拓扑排序、最短路、最小生成树

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发现以前图论学的很不好，什么都不会，现在开始整理图论知识了

作者就是个蒟蒻，ORZ各位大神们

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定义：对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph，简称DAG)进行拓扑排序，将图中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若 ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

说的好像很有道理，然而我并没有看懂它在讲什么。。

就比如说现在有一份工作，这份工作有5个部分，分别为v1,v2,v3,v4,v5

好了，那么要做v2首先得做v1、v3；要做v1首先得做v4、v5

那么一个拓扑排序的序列就是v4、v5、v1、v3、v2

其实就表示制约与被制约的关系（不知道描述的清不清楚）

有向图存在环就不鞥呢进行拓扑排序。

拓扑排序算法：

 

　　每次挑选入度为0的顶点输出(不计次序，所以答案不唯一)。

　　如果最后发现输出的顶点数小于n(或者写成|V|)，则表明有回路存在。

　　初始化:top=0 (栈顶指针)；

　　将初始状态所有入度为0的顶点压栈；

　　i=0 (计数器)；

　　While top>0 (栈非空) do

　　　　顶点v（栈顶元素）出栈并输出；

　　　　计数器i增加1；

　　　　For 与v邻接的顶点u do //用邻接表，每条边被访问1次，所以总的复杂度是O(|E|);而用邻接矩阵，则每次需要O(n)的复杂度;

　　　　　　dec(indgr[u]);

　　　　　　If indgr[u]=0 then 顶点u入栈；

　　if i<|V| then exit（有回路信息）。

 

　　最短路问题：

 

在带权图G =（V，E）中，若顶点 Vi,Vj是图G的两个顶点，从顶点Vi到Vj的路径长度定义为路径上各条边的权值之和。 从顶点Vi到Vj可能有多条路径，其中路径长度最小的一条路径称为顶点Vi到Vj的最短路径。 对于不带权的图，只要认为每条边权值是1，即可当作带权图一样处理了。

单源最短路径SSSP(Single-Source Shortest Path) 从某个顶点（源点）到其它顶点（终点）的最短路径

　　常用算法：

　　Dijkstra　　

　　Bellman-Ford（升级为SPFA）

多源最短路径APSP(All Pairs Shortest Paths) 求图中每一对顶点间的最短路径。

　　常用算法：

　　Floyd

 

1. SPFA

每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对边（u,v）进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点加入队列。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N/2次，则存在负环。平均来说O(kE)，k为较小的常数。

但是可以被网格图和负权环卡到O(VE)

——wyh聚聚

2. Dijkstra

初始化： dis[v]=w[s,v];

其中，w[s,v]=maxint表示s到v无直接边

dis[s]=0; S={s}; //S表示已经拓展的点集

For i:=1 to n-1 do 从V-S中取出一个顶点u进行拓展,

　　要求:dis[u]=min{dis[v]|v∈V-S} //此处也是算法的关键，s到u的最短路径d[u]已经不可能再小了。此处可以用堆优化。

　　S=S+{u}

　　For u连出的每一条边 do

　　　　Relax(u,v)

不加堆优化O(V^2) 建议稠密图使用

加堆优化O(ElogE) 建议稀疏图使用

3. Floyd：这个实在太简单了，就不讲了，利用动态规划的思想，复杂度O(V^3)，但是可以求所有点对之间的最短路径。

但是一般来说没有必要求那么多。

要求的话，一种用Floyd,O(V^3)，一种用SPFA或Dijkstra，乘上V，SPFA O(kVE) Dijkstra O(V^3), 堆优化O(VElogE)

（= =）貌似也讲太多了。。

最小生成树

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。 对于连通的带权图G，其生成树也是带权的。 生成树上各边权值的总和，称为该树的权。 权值最小的生成树，称为G的最小生成树(MST，Minimum Spanning Tree)。 解决最小生成树问题一般有两种算法Prim和Kruskal。

1. PRIM

Prim算法基于一种贪心策略： 每次选取离当前点集最近的点加入MST。 多用于稠密图。 初始时，MST是只包含一个点的集合，由于每个点最终都要被包含在MST内，所以Prim算法可以由图中的任意一点开始。与dji

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发现以前图论学的很不好，什么都不会，现在开始整理图论知识了

作者就是个蒟蒻，ORZ各位大神们

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定义：对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph，简称DAG)进行拓扑排序，将图中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若 ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

说的好像很有道理，然而我并没有看懂它在讲什么。。

就比如说现在有一份工作，这份工作有5个部分，分别为v1,v2,v3,v4,v5

好了，那么要做v2首先得做v1、v3；要做v1首先得做v4、v5

那么一个拓扑排序的序列就是v4、v5、v1、v3、v2

其实就表示制约与被制约的关系（不知道描述的清不清楚）

有向图存在环就不鞥呢进行拓扑排序。

拓扑排序算法：

 

　　每次挑选入度为0的顶点输出(不计次序，所以答案不唯一)。

　　如果最后发现输出的顶点数小于n(或者写成|V|)，则表明有回路存在。

　　初始化:top=0 (栈顶指针)；

　　将初始状态所有入度为0的顶点压栈；

　　i=0 (计数器)；

　　While top>0 (栈非空) do

　　　　顶点v（栈顶元素）出栈并输出；

　　　　计数器i增加1；

　　　　For 与v邻接的顶点u do //用邻接表，每条边被访问1次，所以总的复杂度是O(|E|);而用邻接矩阵，则每次需要O(n)的复杂度;

　　　　　　dec(indgr[u]);

　　　　　　If indgr[u]=0 then 顶点u入栈；

　　if i<|V| then exit（有回路信息）。

 

　　最短路问题：

 

在带权图G =（V，E）中，若顶点 Vi,Vj是图G的两个顶点，从顶点Vi到Vj的路径长度定义为路径上各条边的权值之和。 从顶点Vi到Vj可能有多条路径，其中路径长度最小的一条路径称为顶点Vi到Vj的最短路径。 对于不带权的图，只要认为每条边权值是1，即可当作带权图一样处理了。

单源最短路径SSSP(Single-Source Shortest Path) 从某个顶点（源点）到其它顶点（终点）的最短路径

　　常用算法：

　　Dijkstra　　

　　Bellman-Ford（升级为SPFA）

多源最短路径APSP(All Pairs Shortest Paths) 求图中每一对顶点间的最短路径。

　　常用算法：

　　Floyd

 

1. SPFA

每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对边（u,v）进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点加入队列。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N/2次，则存在负环。平均来说O(kE)，k为较小的常数。

但是可以被网格图和负权环卡到O(VE)

——wyh聚聚

2. Dijkstra

初始化： dis[v]=w[s,v];

其中，w[s,v]=maxint表示s到v无直接边

dis[s]=0; S={s}; //S表示已经拓展的点集

For i:=1 to n-1 do 从V-S中取出一个顶点u进行拓展,

　　要求:dis[u]=min{dis[v]|v∈V-S} //此处也是算法的关键，s到u的最短路径d[u]已经不可能再小了。此处可以用堆优化。

　　S=S+{u}

　　For u连出的每一条边 do

　　　　Relax(u,v)

不加堆优化O(V^2) 建议稠密图使用

加堆优化O(ElogE) 建议稀疏图使用

3. Floyd：这个实在太简单了，就不讲了，利用动态规划的思想，复杂度O(V^3)，但是可以求所有点对之间的最短路径。

但是一般来说没有必要求那么多。

要求的话，一种用Floyd,O(V^3)，一种用SPFA或Dijkstra，乘上V，SPFA O(kVE) Dijkstra O(V^3), 堆优化O(VElogE)

（= =）貌似也讲太多了。。

最小生成树

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。 对于连通的带权图G，其生成树也是带权的。 生成树上各边权值的总和，称为该树的权。 权值最小的生成树，称为G的最小生成树(MST，Minimum Spanning Tree)。 解决最小生成树问题一般有两种算法Prim和Kruskal。

1. PRIM

Prim算法基于一种贪心策略： 每次选取离当前点集最近的点加入MST。 多用于稠密图。 初始时，MST是只包含一个点的集合，由于每个点最终都要被包含在MST内，所以Prim算法可以由图中的任意一点开始。与djikstra很相似，具体在后面会详细更新。

2. KRUSKAL

同样，在以后的文章中也会详细介绍，敬请期待。。

转载于:https://www.cnblogs.com/TonyNeal/p/graph2.html