【矩阵论20220926------基变换与坐标变换、线性子空间】

基变换与坐标变换

(1)线性空间内,同一向量在不同基下的坐标是不同的;
(2)过渡矩阵C;
**(3)**与过渡矩阵相关定理:(求坐标变换
【矩阵论20220926------基变换与坐标变换、线性子空间】_第1张图片

(4)自然基:线性无关 + 单位向量

线性子空间

(1)线性子空间概念:非空子集 + 运算封闭。—子空间的证明
在这里插入图片描述
引出:零子空间(V中单个零向量构成的子集)、平凡子空间(线性空间V本身)。

(2)在这里插入图片描述
(3)生成子空间、子空间生成元的概念
【矩阵论20220926------基变换与坐标变换、线性子空间】_第2张图片
子空间的生成元不一定是该线性空间的基,除非该生成元满足线性无关。

(4)**定理:**线性空间V 的任何一个子空间W的基都可以扩充成V的一组基。(小变大)

子空间的交与和

(1)定义
【矩阵论20220926------基变换与坐标变换、线性子空间】_第3张图片
(2)子空间交与和后,仍然是V的子空间
在这里插入图片描述
(3)维数定理
在这里插入图片描述

(4)证明两个线性空间相等
方法1 : 线性空间V1 包含 V2,V2包含V1。
方法2 : (dim V1 == dim V2 )且 (V1包含V2 或V2包含V1)。

(5)例题:
【矩阵论20220926------基变换与坐标变换、线性子空间】_第4张图片

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