粒子群优化算法及MATLAB实现

上一篇博客是关于蚁群优化算法的，有兴趣的可以看下
https://blog.csdn.net/HuangChen666/article/details/115913181
1. 粒子群优化算法概述
2. 粒子群优化算法求解
     2.1 连续解空间问题
     2.2 构成要素
     2.3 算法过程描述
     2.4 粒子速度更新公式
     2.5 速度更新参数分析
3. 粒子群优化算法小结
4. MATLAB代码

1. 粒子群优化算法概述

粒子群优化算法是一种基于 种群寻优的启发式搜索算法。在1995年由Kennedy和Eberhart首先提出来的。
它的主要启发来源于对 鸟群群体运动行为的研究。我们经常可以观察到鸟群表现出来的同步性，虽然每只鸟的运动行为都是互相 独立的，但是在整个鸟群的飞行过程中却表现出了高度一致性的复杂行为，并且可以自适应的调整飞行的状态和轨迹。
鸟群具有这样的复杂飞行行为的原因，可能是因为每只鸟在飞行过程中都遵循了一定的行为规则，并能够掌握邻域内其它鸟的飞行信息。
粒子群优化算法借鉴了这样的思想，每个粒子代表待求解问题搜索解空间中的一一个潜在解，它相当于一只飞行信息”包括粒子当前的 位置和速度两个状态量。
每个粒子都可以获得其邻域内其它个体的信息，对所经过的位置进行评价，井根据这些 信息和位置速度更新规则，改变自身的两个状态量，在“飞行”过程中传递信息和宣相学习，去更好地适应环境。随着这一过程的不断进行，粒子群最终能够找到问题的近似最优解。

2. 粒子群优化算法求解

粒子群优化算法一般适合解决连续解空间的问题，比如通过粒子群在解空间里进行搜索，找出极大值。

2.1 连续解空间问题

上图就是一个典型的粒子群优化算法求解极值的案例，可以看到初始时有四个粒子，求解过程可以理解为四个粒子不断向最大的粒子靠拢，在靠拢的过程中不断更新自身的最大值和整体的最大值，在自身最大值和整体最大值的影响下改变自身移动的速度，最终所有粒子均达到同一个极值的过程。

2.2 构成要素

1、粒子群

• 每个粒子对应所求解问题的一个可行解
  即每个粒子本身就是一个可行解

• 粒子通过其位置和速度表示
  在代码中的粒子用位置和速度表示，即横坐标表示粒子的位置，速度表示粒子接下来的运动趋势。
  $x_n^{(i)}$ 表示粒子 i 在第 n 轮的位置
  $v_n^{(i)}$ 表示粒子 i 在第 n 轮的速度

2、记录

• $p_{best}^{(i)}$ 表示粒子 i 的历史最好位置
• $g_{best}^{(i)}$ 表示全局历史最好位置

3、计算适应度的函数

• 适应度：$f(x)$ 即函数表达式

2.3 算法过程描述

1、初始化

• 初始化粒子群：每个粒子的位置和速度，位置即每个粒子的初始 $x$ 坐标，速度表示该粒子下一轮中 $x$ 坐标的变化值，可正可负，即$x_0^{(i)}$ 和 $v_0^{(i)}$
• 初始化粒子 i 的历史最好位置$p_{best}^{(i)}$ 和全局粒子历史最好位置 $g_{best}^{(i)}$ ，$p_{best}^{(i)}$的初始值使用随机数赋值， $g_{best}^{(i)}$设置为一个无穷小值（因为这里以求最大值为例）

2、循环执行如下三步直至满足结束条件

• 计算每个粒子的适应度（即函数值）：$f(x_n^{(i)})$
• 更新每个粒子历史最好适应度及其相应的位置，更新当前全局最好适应度及其相应的位置
• 更新每个粒子的速度和位置
  
  粒子位置的更新即对每个粒子所在x轴的横坐标进行更新（其实每个粒子就是一个横坐标上的数），下一轮的位置等于上一轮的位置加上速度的变化乘以一个单位时间，所以这里的乘以1没有写出来。

2.4 粒子速度更新公式解读

从公式可以看出粒子下一轮的速度 = 粒子上一轮的速度 + 回到自己历史最好位置的倾向 + 去向全局最好位置的倾向，即惯性项+记忆项+社会项。
一般情况下确定了一个变量和其他变量的关系，下面就是参数的设置了，这里有两对参数$c_k和r_k$，$c_k$ 是权重参数，一般取值为2，实际上它影响了优化的速度，$r_k$ 是随机参数，即0和1之间的随机数。

2.5 速度更新参数分析

权重参数主要是影响了粒子飞行的速度，在今后的使用中一般设置$c_1和c_2$相等的情况较多。

3. 粒子群优化算法改进

随着粒子群算法的广泛使用，人们发现如果加入一个惯性权重的话，优化的效果更好。

引入了一个 $w$ 参数，控制先前粒子速度对下一轮粒子速度的影响，以适应不同场景。

4. MATLAB代码

求f= xsin(x)cos(2x) - 2xsin(3x)在[0,20]上的最大值

因为这里是多峰，所以设置权重参数c2>c1效果会更好。
代码借鉴 https://www.pianshen.com/article/2364328713/

clc;clear;
%% 初始化参数
f= @(x)x .* sin(x) .* cos(2 * x) - 2 * x .* sin(3 * x);
pnum=50;            %粒子个数
iter=100;           %迭代次数
w=0.8;              %惯性权重
c1=0.8;             %权重参数c1
c2=1.2;             %权重参数c2
xlimit=[0,20];      %位置限制
vlimit=[-1,1];      %速度限制
figure(1);ezplot(f,[xlimit(1),0.01,xlimit(2)]);
Px=((xlimit(2)-xlimit(1))*rand(pnum,1))+xlimit(1);      %随机产生粒子的初始位置
Pbest=Px;                       %粒子i历史上的最好位置
Gbest=[-inf,-inf];              %全局历史上的最好位置
Pymax=ones(pnum,1)/-eps;        %粒子i历史上的最大值
Pymin=ones(pnum,1)/eps;         %粒子i历史上的最小值
Pv=zeros(pnum,1);               %初始化粒子速度
Py=f(Px);                      %计算粒子适应度
hold on;
plot(Px, Py, 'ro');title('初始状态图');
figure(2);
max_record=zeros(pnum,1);
%% 迭代求解
for i=1:iter
    Py=f(Px);          %计算粒子适应度
    %更新Pbest和Gbest,粒子位置
    for j=1:pnum
        if Py(j)>Pymax(j)
           Pymax(j)=Py(j);
           Pbest(j)=Px(j);
        end
    end
     % 全局最好的位置
    if Gbest(1)<max(Pymax)
        [Gbest(1),max_index]=max(Pymax);
        Gbest(2)=Pbest(max_index);
    end
    max_record(i)=Gbest(1);
    % 更新速度和位置
    Pv=Pv*w+c1*rand*(Pbest-Px)+c2*rand*(repmat(Gbest(2),pnum,1)-Px);
    Pv(Pv>vlimit(2))=vlimit(2);
    Pv(Pv<vlimit(1))=vlimit(1);
    Px=Px+Pv;
    Px(Px>xlimit(2))=xlimit(2);
    Px(Px<xlimit(1))=xlimit(1);
    x0 =xlimit(1):0.01:xlimit(2);
    plot(x0, f(x0), 'b-', Px, f(Px), 'ro');title('状态位置变化')
    pause(0.1);
end

%% 得出结果
figure(3);plot(max_record);title('收敛过程');
disp(['最大值：',num2str(Gbest(1))]);
disp(['最大位置：',num2str(Gbest(2))]);