LeetCode 1015. 可被 K 整除的最小整数--数学证明+取模运算

1015. 可被 K 整除的最小整数

给定正整数 K，你需要找出可以被 K 整除的、仅包含数字 1 的最小正整数 N。

返回 N 的长度。如果不存在这样的 N，就返回 -1。

示例 1：

输入：1
输出：1
解释：最小的答案是 N = 1，其长度为 1。

示例 2：

输入：2
输出：-1
解释：不存在可被 2 整除的正整数 N 。

示例 3：

输入：3
输出：3
解释：最小的答案是 N = 111，其长度为 3。

提示：

1 <= K <= 10^5

题解：
先处理一个问题，题目是要求找111…类型的数字，使得能被K整除，返回长度，于是有

int ans=1,len=1;
while(ans%K!=0)
{
	ans*=10;
	ans+=1;
	len++;
}
return len;

但是这样ans就轻易超出int范围，于是我们可以这样取模运算。

int ans=1,len=1;
while(ans%K!=0)
{
	ans%=K;
	ans*=10;
	ans+=1;
	len++;
}
return len;

这样可以处理超内存问题，但是这样会不会陷入死循环？于是我们利用数学进行一定证明，假设A=1111…，B=111…，A>B。
如果出现死循环，必然会存在这样的A和B，使得
A%K==B%K，并且结果不为0，也就是出现循环节，但是中间没有0的结果，于是陷入无限死循环，继续证明有
A = B + x * K；
A-B = x * K;
K = ( A - B ) / x;
我们的x为整数，A-B也为整数，而且K也为整数，那么来考虑下K存在哪些结果，这些结果就是会陷入死循环，A=1111…，B=111…，A>B，那么A-B=1…00000的类型，比如A=1111，B=11，A-B=1100，因为A>B，所以A-B可以看成A-B=C * （10 ^ p），其中C=111…的形式，p为10的指数，表示末尾0的数目，那么就是K=C * (10^p)/x；于是K有比较小的几种结果为10/x的整数结果，有1，2，5，10，其中1不存在，因为A!=B，有2，5，剩下的10和其他所有的整数结果都是2和5的整数倍，于是我们可以证明知道，但凡K为2或5的倍数，一定会死循环，所以做特判，剩下的进行反复取模运算处理。

AC代码

class Solution {
public:
    int smallestRepunitDivByK(int K) {
        if(K%2==0||K%5==0)return -1;
        int ans=1,len=1;
        while(ans%K!=0)
        {
            ans%=K;
            ans*=10;
            ans+=1;
            len++;
        }
        return len;
    }
};