[NOIP2003 普及组] 栈

[NOIP2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，$1,2,\dots ,n$（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 $n$，计算并输出由操作数序列 $1,2,\dots ,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$（$1\le n\le 18$）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

5

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

杂谈

这道题要是知道卡特兰数就真的非常简单，具体内容放在代码一栏

代码

记忆化搜索

#include
int search (int (*)[21],int ,int);
int main () {
	int ans[21][21]={0};
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d",search(ans,n,0));
	return 0;
}
 int search (int (*ans)[21],int i,int j) {//i未入栈元素,j已入栈元素
	if(ans[i][j]) return ans[i][j];//已知则输出,未知则查找
	if(i==0) return ans[i][j]=1;//如果未入栈元素为0，即元素全部在栈中，则只能全部出栈，只有一种情况
	else if(j==0) return ans[i][j]=search(ans,i-1,j+1);//如果栈中无元素，则只能进行入栈
	else return ans[i][j]=search(ans,i-1,j+1)+search(ans,i,j-1);//其它一般情况则有两种可能，进行出栈或者入栈
}

卡特兰数

令ans[n]表示n个不同数出栈入栈的输出序列情况数
	假设k为最后一个出栈的数
	k前面的所有数先完成出栈入栈
	然后k入栈，k之后的数完成出栈入栈
	k最后出栈
	且k可取1到n间（包括1和n的任何数）
	ans[n]=∑ans[k-1]*ans[n-k]
	就相当于从1到n中选择了一个k，以k为界，将数据分成了两半

#include
int main () {
	int n,i,k;
	int ans[21]={1,1};
	scanf("%d",&n);
    for (i=2;i<=n;i++) {
		for (k=1;k<=i;k++) {
			ans[i]+=ans[k-1]*ans[i-k];
		}
	}
	printf("%d",ans[n]);
	return 0;
}

更进一步的研究的话（查资料），就会发现对n个不同元素序列一个需要进行n次入栈，n次
出栈，不同的出入栈情况即对应不同的序列，又由于其只有两种选择，出栈入栈，所以我们
可以将入栈规定为1，出栈规定为0，那么一个输出序列对应一种出入栈情况也就对应一个有
2n位的二进制数，且入栈数必定大于等于出栈数，所以该2n位的二进制满足，从左向右扫
描，任意时刻0的累计个数不大于1的累计个数。
按照上文所述逻辑，我们首先构造一个含n个1，n个0的2n位2进制数
则总情况数为C(2n,n)
然后从中寻找不符合要求的情况，即从左向右扫描存在有0的累计个数大于1的累计个数的情
况。
首先构造一个2m+1位的二进制数（m

#include
using namespace std;
const int N=20;
int main () {
	int ans[N]={0,1};
	int n,i;
	scanf("%d",&n);
	for (i=2;i<=n;i++) {
		ans[i]=(int)(((long long)(4*i-2)*ans[i-1])/(i+1));//运算过程中会超过int但不超过long long
	}
	printf("%d",ans[n]);
	return 0;
}