PRML第二章读书笔记——Probability Distribution 两变量条件期望/方差、R-M序列算法、高斯分布参数辨识/后验推断/相关分布、指数族分布、无参数先验、无参数估计、kNN

2.2 Multinomial Variables

P74 两变量的条件期望与条件方差

由Exercise2.8：考虑两个变量$x$和$y$，联合概率分布为$p(x,y)$. 那么
$$\begin{gathered} \mathbb{E}[x]={\mathbb{E}}_y[{\mathbb{E}}_x[x|y]],\text{ 这条较为广知} \\ var[x]={\mathbb{E}}_y[va{r}_x[x|y]]+va{r}_y[{\mathbb{E}}_x[x|y]]. \end{gathered}$$
这里${\mathbb{E}}_x[x|y]$表示在条件分布$p(x|y)$下，$x$的期望。条件方差记号类似。
所以可知
$$\begin{gathered} {\mathbb{E}}_{\theta }[\theta ]={\mathbb{E}}_{\mathcal{D}}[{\mathbb{E}}_{\theta }[\theta |\mathcal{D}]] \\ va{r}_{\theta }[\theta ]={\mathbb{E}}_{\mathcal{D}}[va{r}_{\theta }[\theta |\mathcal{D}]]+va{r}_{\mathcal{D}}[{\mathbb{E}}_{\theta }[\theta |\mathcal{D}]] \end{gathered}$$
注意二式的右侧，第一项为$\theta$的后验分布方差的期望，第二项为后验分布期望的方差。
其中，$va{r}_{\mathcal{D}}[{\mathbb{E}}_{\theta }[\theta |\mathcal{D}]]>0$，所以$va{r}_{\theta }[\theta ]>{\mathbb{E}}_{\mathcal{D}}[va{r}_{\theta }[\theta |\mathcal{D}]]$。也就是说观测到数据后，$\theta$的不确定性会减小。不过这只对平均而言成立。可以构造特殊的数据集，并让$\theta$的后验分布的方差变大。
（疑问：这好像并不能证明$card[\mathcal{D}]$越大，不确定性越小。这里猜测可以用类似方法证明，写出两个数据集${\mathcal{D}}_1$和${\mathcal{D}}_2$，${\mathcal{D}}_1$放到两侧，${\mathcal{D}}_2$放到右边，构造一个类似上述的式子？有空试一波！）

2.3 The Gaussian Distribution

P86 高斯分布的参数辨识

高斯分布在给定形式后，如何看出参数$\mu$和方差$\Sigma$，直接关注指数表达式即可：
$$-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )=-\frac{1}{2}{x}^T{\Sigma }^{-1}x+x^T{\Sigma }^{-1}\mu +const$$
只要写成这样的形式，就能直接从二次项中读出$\frac{1}{2}{\Sigma }^{-1}$，从一次项读出${\Sigma }^{-1}\mu$.
用这样的方法，2.3.1节写出当全变量为高斯分布时的条件分布
2.3.2节给出了边缘分布
2.3.3节给出了线性高斯模型的边缘分布和条件分布，即
$$\begin{array}{rl}x& \sim \mathcal{N}(x|\mu ,{\Lambda }^{-1})\\ y|x& \sim \mathcal{N}(y|Ax+b,L^{-1})\end{array}$$其中$\Lambda ={\Sigma }^{-1}$被称为精度矩阵Precision Matrix）
线性高斯模型的结果$y$仍然是高斯分布
$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[y]& =A\mu +b\\ cov[y]& =L^{-1}+A{\Lambda }^{-1}{A}^T\end{array}$$

P94 序列估计

假定样本是一个一个序列观测的，记第$N$次观测后，均值估计为${\mu }_{ML}^{(N)}$，则易知
$${\mu }_{ML}^{(N)}=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{x}_n={\mu }_{ML}^{(N-1)}+\frac{1}{N}(x_N-{\mu }_{ML}^{(N-1)})$$
上式可看作是对$\mu$的不断修正。这里考虑一个一般化的序列学习算法：

Robbins-Monro 算法

对于一对随机变量$\theta$和$z$，并假定$f(\theta )=\mathbb{E}[z|\theta ]$. 希望通过序列数据找到根${\theta }^{\ast }$满足$f({\theta }^{\ast })=0$.
假定$z$的条件方差有限，即$\mathbb{E}[(z-f{)}^2|\theta ]<\infty$. 不失一般性，我们认为$\theta >{\theta }^{\ast }$时，$f(\theta )>0$；$\theta <{\theta }^{\ast }$时，$f(\theta )<0$. 则

其中$z({\theta }^N)$是给定${\theta }^N$下$z$的观测。
$\{{\alpha }_N\}$表示正数序列满足
$$\begin{gathered} \underset{N\to \infty }{\lim }{\alpha }_N=0 \\ \sum _{N=1}^{\infty }{\alpha }_N=\infty \\ \sum _{N=1}^{\infty }{\alpha }_N^2<\infty \end{gathered}$$
上式会以概率为1收敛到根。 第一项确保了修正项会收敛到一个有限值，第二项确保了不会对根欠收敛，第三项确保了累积噪声的方差有限，所以不会破坏收敛。（这个算法在强化学习的摇臂赌博机中也用到了）

考虑一般的最大似然问题，参数${\theta }_{ML}$是一个驻点，满足

当$N\to \infty$，上式即

注意这个形式，和Robbins-Monro的要求是一样的，可以得到

$z$可以看作是其中的$-\frac{\partial }{\partial {\theta }^{(N-1)}}\ln p(x_N|{\theta }^{(N-1)})$。
对于高斯分布的均值估计${\mu }_{ML}^{(N)}$，即$z=-\frac{1}{{\sigma }^2}(x-{\mu }_{ML})$，取${\alpha }_N=\frac{{\sigma }^2}{N}$，则得到一致的更新公式。

P99 高斯分布参数的贝叶斯估计

一般性序列估计

$$p(\mu |D)\propto \left[p(\mu )\prod _{n=1}^{N-1}p(x_n|\mu )\right]p(x_N|\mu )$$

上式括号中的项可以看作是读入到第$N-1$个数据之后，得到的参数分布，可以看作是第$N$次的先验分布。

一维高斯分布均值的后验推断

如果已知方差，不知道均值，假定$\mu \sim \mathcal{N}(\mu |{\mu }_0,{\sigma }_0^2)$，$x|\mu \sim \mathcal{N}(x|\mu ,\sigma )$，那么由
$$p(\mu |X)\propto p(X|\mu )p(\mu )$$

可得$p(\mu |X)=\mathcal{N}(\mu |{\mu }_N,{\sigma }_N^2)$，其中

$$\begin{array}{rl}{\mu }_N& =\frac{{\sigma }^2}{N{\sigma }_0^2+{\sigma }^2}{\mu }_0+\frac{N{\sigma }_0^2}{N{\sigma }_0^2+{\sigma }^2}{\mu }_{ML}\\ \frac{1}{{\sigma }_N^2}& =\frac{1}{{\sigma }_0^2}+\frac{N}{{\sigma }^2}\end{array}$$
$N$是$X$中样本数，${\mu }_{ML}=\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N{x}_n$.

这个式子很有趣

• 当$N=0$时，等同于先验分布
• 当$N=\infty$时，等同于极大似然
• 随着$N$增大时，方差越来越小，$\mu$越来越确定
• 当${\sigma }_0^2=\infty$时，等同于最大似然，方差很大意味着先验没有提供什么稳定的信息

一维高斯分布方差的后验推断 Gamma分布

如果已知均值，不知道方差，采用精确度$\lambda =\frac{1}{{\sigma }^2}$进行表示。高斯分布的方差后验为：

$$p(X|\lambda )=\prod _{n=1}^N\mathcal{N}(x_n|\mu ,{\lambda }^{-1})\propto {\lambda }^{N/2}exp\left\{-\frac{\lambda }{2}\sum _{n=1}^N(x_n-\mu {)}^2\right\}$$

注意，这种写法下，对应的先验共轭分布其实是Gamma分布！
$$Gam(\lambda |a,b)=\frac{1}{\Gamma (a)}{b}^a{\lambda }^{a-1}exp(-b\lambda )$$

如果记先验为$Gam(\lambda |a_0,b_0)$，则对应的后验为
$$p(\lambda |X)\propto {\lambda }^{a_0-1}{\lambda }^{N/2}exp\left\{-b_0\lambda -\frac{\lambda }{2}\sum _{n=1}^N(x_n-\mu {)}^2\right\}$$

从中可以辨识出分布为$Gam(\lambda |a_N,b_N)$
$$\begin{array}{rl}{a}_N& =a_0+\frac{N}{2}\\ b_N& =b_0+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N(x_n-\mu {)}^2=b_0+\frac{N}{2}{\sigma }_{ML}^2\end{array}$$

• 当$N$增大时，$a_N$增大，实际上，可以把$a_0$解释成是已经有了的$2a_0$个先验伪观测，$b_0$解释成是这$2a_0$个先验观测具有方差$\frac{b_0}{a_0}$
• 如果直接估计${\sigma }^2$，而不是$\lambda$，那么得到对应先验分布是Inverse Gamma 分布。

一维高斯分布均值和方差联合的后验推断 Gaussian-gamma分布

如果方差和均值都不知道，那么$p(X|\mu ,\lambda )$的连乘可以写成如下形式：
$$p(\mu |\lambda )p(\lambda )\propto \mathcal{N}(\mu |{\mu }_0,(\beta \lambda {)}^{-1})Gam(\lambda |a,b)$$
这也即共轭先验的形式，该分布叫做normal-gamma或Gaussian-gamma分布

高维高斯分布均值的后验推断

如果已知方差，不知道均值，这种情况下，均值仍然是高斯分布。

高维高斯分布方差的后验推断 Wishart分布

如果已知均值，不知道方差，如果记精确度矩阵$\Lambda ={\Sigma }^{-1}$，那么共轭先验分布为Wishart分布，这种分布可以看作是Gamma分布的高维推广，就类似于Beta分布和Dirichlet分布的关系。表达式为
$$\mathcal{W}(\Lambda |W,\nu )=B|\Lambda {|}^{(\nu -D-1)/2}exp\left\{-\frac{1}{2}Tr(W^{-1}\Lambda )\right\}$$
其中$\nu$是自由度，$B$为归一化因子
$$B(W,\nu )=|W{|}^{-\nu /2}{\left(2^{\nu D/2}{\pi }^{D(D-1)/4}\prod _{i=1}^D\Gamma (\frac{\nu +1-i}{2})\right)}^{-1}$$

如果直接对$\Sigma$估计，而不是$\Lambda$，则得到对应的共轭先验为Inverse Wishart分布

高维高斯分布均值和方差联合的后验推断 Gaussian-Wishart分布

如果方差和均值都不知道，那么共轭先验的形式为：
$$p(\mu ,\Lambda |{\mu }_0,\beta ,W,\nu )=\mathcal{N}(\mu |{\mu }_0,(\beta \Lambda {)}^{-1})\mathcal{W}(\Lambda |W,\nu )$$

称之为Normal-Wishart或Gaussian-Wishart分布。

P103 学生t分布

如果一维高斯分布精确度先验为Gamma分布，均值已知，则$x$的边缘分布为
$$\begin{array}{rl}p(x|\mu ,a,b)& ={\int }_0^{\infty }\mathcal{N}(x|\mu ,{\tau }^{-1})Gam(\tau |a,b)d\tau \\ & =\frac{b^a}{\Gamma (a)}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{1/2}{\left[b+\frac{(x-\mu {)}^2}{2}\right]}^{-a-1/2}\Gamma (a+1/2)\end{array}$$

如果记$\nu =2a,\lambda =a/b$，则上式化学生t分布
$$St(x|\mu ,\lambda ,\nu )=\frac{\Gamma (\nu /2+1/2)}{\Gamma (\nu /2)}{\left(\frac{\lambda }{\pi \nu }\right)}^{1/2}{\left[1+\frac{\lambda (x-\mu {)}^2}{\nu }\right]}^{-\nu /2-1/2}$$
$\lambda$有时称为t分布的precision，$\nu$称为自由度。$\nu =1$时，退化为Cauchy distribution; $\nu \to \infty$时，成为高斯分布$\mathcal{N}(x|\mu ,{\lambda }^{-1})$.

• 相比于高斯分布，学生t分布的一个优点抗离群点robust，学生t分布的尾巴比较厚，没有高斯分布那么敏感。另外，如果一组数据，高斯分布拟合得好，学生t分也能拟合好，因为高斯分布是学生t分布的一个特例。如图所示

如果再另$\eta =\tau b/a$，则学生t分布又可写为
$$St(x|\mu ,\lambda ,\nu )={\int }_0^{\infty }\mathcal{N}(x|\mu ,(\eta \lambda {)}^{-1})Gam(\eta |\nu /2,\nu /2)d\eta$$
通过该形式，可以扩展出高维学生t分布
$$\begin{array}{rl}St(x|\mu ,\Lambda ,\nu )& ={\int }_0^{\infty }\mathcal{N}(x|\mu ,(\eta \Lambda {)}^{-1})Gam(\eta |\nu /2,\nu /2)d\eta \\ & =\frac{\Gamma (\nu /2+D/2)}{\Gamma (\nu /2)}\frac{|\Lambda {|}^{1/2}}{(\pi \nu {)}^{D/2}}{\left[1+\frac{{\Delta }^2}{\nu }\right]}^{-\nu /2-D/2}\end{array}$$

其中$D$是维度， ${\Delta }^2=(x-\mu {)}^T\Lambda (x-\mu )$

P107 von Mises 分布

一个二维高斯分布，关注其在以原点为圆心的单位圆下的条件概率分布，角度的分布为von Mises分布（循环正态分布）
$$p(\theta |{\theta }_0,m)=\frac{1}{2\pi I_0(m)}exp\{mcos(\theta -{\theta }_0)\}$$
其中$m=r_0/{\sigma }^2,r_0={\Vert \mu \Vert }_2,{\theta }_0=ta{n}^{-1}({\mu }_y/{\mu }_x)$，而
$$I_0(m)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }exp\{mcos\theta \}d\theta$$
是归一化因子。

• 当$m$变大时，von Mises分布近似高斯分布

2.4 The Exponential Family

P113 一般形式

$$p(x|\eta )=h(x)g(\eta )exp\{{\eta }^{T}u(x)\}$$

其中$x$可以是一维或多维，也可以是离散或连续。$g(\eta )$叫做natural parameters，可看作归一化因子
实际上，本章中上述讨论过的概率分布都是指数族分布的特例。

P115 参数估计与充分统计量

考虑一般参数$\eta$估计问题，最大似然得到
$$p(X|\eta )\propto g(\eta {)}^{N}exp\left\{{\eta }^T\sum _{n=1}^{N}u(x_n)\right\}$$

对数求导后得到
$$-\nabla \ln g({\eta }_{ML})=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}u(x_n)$$

• 注意这里${\sum }_{n}u(x_n)$足够计算$\eta$，所以被称为充分统计量。例如对于Bernoulli分布，仅需要保存$\{x_n\}$的和，对于高斯分布，需要保存$\{x_n\},\{x_n^2\}$各自的和。
• 当$N\to \infty$时，右侧变为${\mathbb{E}}_x[u(x)]$.

P117 共轭先验

$$p(\mathbf{\eta }|\mathbf{\chi },\nu )=f(\mathbf{\chi },\nu )g(\mathbf{\eta }{)}^{\nu }exp\{\nu {\mathbf{\eta }}^T\mathbf{\chi }\}$$
其中$f$是一个归一化因子，$g$和$p(X|\eta )$中形式一样。易得后验
$$p(\eta |\mathbf{X},\chi ,\nu )\propto \mathbf{g}(\eta {)}^{\nu +\mathbf{N}}\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{p}\left\{{\eta }^{\mathbf{T}}\left(\sum _{\mathbf{n}=1}^{\mathbf{N}}\mathbf{u}({\mathbf{x}}_{\mathbf{n}})+\nu \chi \right)\right\}$$
其中$\nu$被看作是先验伪观测数，每一次观测的统计量$u(x)$为$\chi$

P117 无信息先验

无信息先验这个东西稍微抽象，偏贝叶斯思维。解决的问题是在无先验时如何选择先验，选择的思想是先验要对后验的影响最小。
如果没有什么信息，我们假定先验是均匀分布，这么做存在两个困难：

• 在无限连续数域上发散。称之为反常先验分布。但如果后验分布是正常的，那么可以使用这样的分布（称之为广义先验分布）。例如高斯分布，如果假定均值先验是均匀分布，只要观测到一个数据点，那么后验就正常。
• 如果另一个参数是该参数的非线性变换，那么将不再是均匀分布

（可以参考下这篇博客：感觉写得很好！https://blog.csdn.net/weixin_41929524/article/details/80674219）

尺度参数的无信息先验分布

如果一个分布形式为
$$p(x|\sigma )=\frac{1}{\sigma }f(\frac{x}{\sigma })$$
其中$\sigma >0$，$f(x)$已经归一化。
考虑$y=cx,\eta =c\sigma$其中$c>0$. 那么
$$p(y|\eta )=\frac{1}{\eta }f(\frac{y}{\eta })$$
$x$和$y$的函数形式相同，所以$\eta$和$\sigma$应该有相同的先验分布，如果$\sigma$的先验分布为${\pi }_{\sigma }(\sigma )$，那么
$$\begin{array}{rl}{\pi }_{\eta }(\eta )& ={\pi }_{\sigma }(\sigma )\left|\frac{d\sigma }{d\eta }\right|=\frac{1}{c}{\pi }_{\sigma }(\frac{\eta }{c})\\ {\pi }_{\eta }& ={\pi }_{\sigma }\end{array}$$
取$\eta =c$，解得${\pi }_{\eta }(\eta )=\frac{{\pi }_{\eta }(1)}{\eta }$，取${\pi }_{\eta }(1)=1$，则先验分布为$1/\eta$.
这样的一个例子是高斯分布中的标准差
$$p(x|\sigma )={\sigma }^{-1}exp\left\{-{\left(\frac{x}{\sigma }\right)}^2\right\}$$
还有一种位置参数的无信息先验分布，可以看原书，推导出的结果是均匀分布。

2.5 无参数概率密度估计

P122 核密度估计和近邻方法

这种估计方法不明确给出概率分布的表达式，而是通过数据进行感知。柱状图其实就是一种无参数的概率密度估计方法。

另外一种常用的$p(x)$估计方法是观察$x$的小邻域。记$N$为总样本数，$K$为小邻域内样本数，如果小邻域足够小，认为小邻域内概率不变，则有
$$p(x)=\frac{K}{NV}$$

这里如果固定$V$，则该方法为核密度估计；如果固定$N$，则为近邻估计，即找以$x$为中心包含$K$个点的最小超球，当作$V$.

P125 kNN算法的一种无参解释

在近邻方法当中，如果有多个类，则对于第${\mathcal{C}}_k$类，记样本数为$N_k$，小邻域内有样本数$K_k$，则
$$\begin{array}{rl}& \\ p(x|{\mathcal{C}}_k)& =\frac{K_k}{N_{k}V}\\ p(x)& =\frac{K}{NV}\\ p({\mathcal{C}}_k)& =\frac{N_k}{N}\end{array}$$
则后验为
$$p({\mathcal{C}}_k|x)=\frac{p(x|{\mathcal{C}}_k)p(C_k)}{p(x)}=\frac{K_k}{K}$$
这样，kNN分类就可以解释为是近邻方法中，后验概率最大的类别。

• 1-NN分类器有一个很有趣的性质：当$N\to \infty$时，分类错误率不会超过贝叶斯最优分类器错误率的两倍
  • 最优分类器可以理解为是看到了真实后验分布
  • （我记得这个性质是要求概率连续的）
  • 可以参考西瓜书P226

参考文献：
[1] Christopher M. Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning. 2006