Games101-课程16笔记

目录

蒙特卡罗积分

(Why)为什么要用蒙特卡罗积分?

(How)怎么使用蒙特卡罗积分?

示例: 均匀蒙特卡罗积分

蒙特卡罗积分公式

路径追踪

对于有光泽的材质，光线应该在哪里反射?

漫反射材质之间没有反射?

简单的蒙特卡罗方法:  用于直接光照

得到直接光照的正确着色算法

算法伪代码

全局光照(加入了间接光照)

目前为止的算法伪代码

一个问题: N(反射光线)过多计算量爆炸

        解决方法

        解决了N过多问题的路径追踪

但是由于N=1,导致噪声大

        解决方法

        生成射线伪代码

还有一个问题: 递归不会停止

        怎么解决? 引入(RR)俄罗斯轮盘赌

        通过加入RR得到的路径追踪

现在我们已经有了正确版本的路径追踪,  但这并不是很有效

        了解效率低下的原因 

        拆分成两部分的radiance(辐射度)的算法

如何知道灯上的样品光线是否没有被阻挡？

最终版本路径追踪

 ​以前的光线追踪vs现代的光线追踪

以前

现代（闫大神对Ray tracing的定义）

具体算法中遇到的问题(有兴趣自行查找答案)

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第十六节课:   蒙特卡罗路径追踪( Monte Carlo Path Tracing )

蒙特卡罗积分

(Why)为什么要用蒙特卡罗积分?

我们想求解一个积分，但解析不定积分求解可能太难了

(How)怎么使用蒙特卡罗积分?

通过平均函数值的随机采样来估计函数的积分 (类似黎曼积分 : 通过切割近似成矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差需要越来越小, 这样会越来越准确)

示例: 均匀蒙特卡罗积分

均匀随机变量

让我们为给定函数的定积分定义蒙特卡罗积分

定积分 : 

均匀随机变量 :

基本的蒙特卡罗积分 : 

蒙特卡罗积分公式

p(Xi) == 1/b-a

注意事项:

① 样本越多, 方差(误差)越小

② 在 x上采样, 则在 x 上积分

Path Tracing(路径追踪)

whitted 风格的光线追踪-总是执行镜面反射/折射

这些简化合理吗？

更深一层：让我们逐步改进 whitted 风格的光线追踪并引入我们的路径追踪算法！

对于有光泽的材质，光线应该在哪里反射?

光泽茶壶被光线射中, 不能按照光线追踪的计算得到结果, 因为它的表面比镜面材质要粗糙, 应该是在光线射中茶壶某个点时, 它的周围也会被这个点所反射到光照射到.

Mirror reflection: 镜面反射

Glossy reflection: 光泽反射

漫反射材质之间没有反射?

答:

① 两个图都使用Path tracing, 里面的盒子物体是漫反射材质

② 当光线从头顶光源发射到红色墙面时, 反射到带有漫反射材质的长方形面上, 物体某个点接受到反射光后均匀的反射到各个方向(那一面呈现出红色)

③ 人们称这种现象: color-bleed(颜色流出)

总结: 漫反射材质是有反射的. 显然Whitted-Style Ray Tracing不符合, 因为它只会反射和折射.

whitted 风格的光线追踪是错误的

渲染方程是正确的, 它涉及        ① 求解半球上的积分        ② 递归执行

1.如何以数值方式求解积分?

蒙特卡罗方法!

简单的蒙特卡罗方法:  假设我们只想在以下场景中渲染一个像素（点）以用于直接光照

假设只有直接光照(不考虑反射,自发光)

稍微滥用反射方程的概念

再次，我们假设所有方向都指向外面

上面的式子看起来很复杂, 其实就是各个方向的半球积分

所以，当然我们可以使用蒙特卡罗积分来解决它

我们要计算 p 点处朝向相机的辐射度

蒙特卡洛积分:  

f(x):

pdf (等于积分式子p(Xk)):   

(假设对半球进行均匀采样, 球面面积4Πr , 半球的x轴区间为0~2Π,整个pdf积分为1, 那么p(wi)自然等于1/2Π)

通过上述的假设推理, 代入f(x) 和 p(x) 得到:

 这意味着得到直接光照的正确着色算法.

相关参数详解如下:

wo: 观测方向          wi: 入射方向        p: 着色点(光照点)         n: 法线

算法伪代码如下:

shade(p,wo)

        从着色点发出不同方向光线, 选择其中的 N个, 命名wi , 按照某一种pdf

        初始化辐射度Lo

        对于任何一个入射方向wi

                从p(光照点)往wi方向发射一条光线

                如果光线碰到光源

 return Lo

到此为止, 只解决了直接光照的计算. 剩下间接光照

例如下图: Q也将光反射到P！

将它理解为, 从Q点直接光照到P点.

由此引出间接光, 得到全局光照.

全局光照

比直接光照算法多了一条Else If分支:

如果光碰到一个物体而不是一个光源, 则递归shade(所碰物体的P点, 从Q反射来的方向)

因为一开始假设光线都是着色点向外的方向.

目前为止,算法如下:

这样的算法做完了全局光照吗? NO!

随着#bounces(反弹次数)的增加,  #rays(总射线数量)过多, 导致计算量爆炸

#rays(总射线数量) = N(出射射线数量)的#bounces(反弹次数)次方

如果 N= ?  ,#rays 不会过多爆炸.

答案是等于1, 如果每次N(出射光线数量)为1.

N大的话, 噪声小;

N小的话, 噪声大, 但是结果是正确的, 噪声越大越不还原.

从现在开始，我们总是假设在每个着色点只追踪 1 条光线:

这就是路径追踪

仅供参考: 当N !=1, 叫做分布式光线追踪, 计算量爆炸.

但这会很吵

没问题，只需通过每个像素追踪更多路径并平均它们的辐射度

生成射线伪代码如下:  (非常类似于光线追踪中的光线投射)

ray_generation(摄像机位置, 像素)

        在像素里, 均匀地选择 N个样本位置

        初始化pixel_radiance(所求值)

        遍历在像素里的样本

                从摄像机位置往样本位置射向一条射线r

                如果射线r碰到场景中物体p

↑ (平均辐射度操作)

return pixel_radiance

解决了计算量爆炸问题

还有一个问题: 递归不会停止

困境：1.光确实不会停止弹跳

           2.切割能量

怎么解决? 引入Russian Roulette(RR)俄罗斯轮盘赌

俄罗斯轮盘赌就是概率

概率为 0

以前，我们总是在一个着色点上射一条射线，得到着色结果 Lo

假设现在我们手动设置一个概率 P(0

① 以概率 P，射出一条射线并返回(着色结果除以 P)：Lo/P

② 以 1-P 的概率，不射光线，你会得到 0

这样，你仍然可以期望得到 Lo：

通过加入RR得到的路径追踪

① 手动设定概率 P_RR

② 在均匀的 dist.in[0,1] 中随机选择 ksi

③ 如果（ksi > P_RR）返回 0.0

④ 最后只需要: (原有公式) / P_RR

现在我们已经有了正确版本的路径追踪,  但这并不是很有效

SPP(像素里的样本)

了解效率低下的原因 

左(5根光线就打到光源)中(500根打到光源)右(5w根才打到)

将有 1 条光线击中光源。因此，如果我们在着色点对半球进行均匀采样，则会“浪费”很多光线

这是因为我们之前使用的是半球的均匀采样方法. 所有我们要改变pdf

蒙特卡罗方法允许任何采样方法，因此我们可以对光源进行采样（因此不会“浪费”光线）

假设对光进行均匀采样：

pdf = 1/A（因为 ∫pdf dA=1）

但渲染方程整合

立体角上：Lo = ∫Li fr cos dw。

回忆蒙特卡洛积分：

在 x 上采样并在 x 上积分

所以我们在灯光上采样的地方，我们可以在灯光上积分吗?

答案是可以的!

① 需要将渲染方程作为 dA 的积分

② 需要dw和dA的关系(dw转换为dA)

回忆一下立体角的替代定义：单位球面上的投影面积

 

 然后我们可以将渲染方程重写为

现在在光源上采样！

蒙特卡洛积分：

“f(x)”：里面的一切样本 pdf: 1/A

以前，我们假设光线是由均匀半球采样“意外”入摄像机的

现在我们考虑来自两部分的radiance(辐射度)：

1.光源（直接，无需RR）

2.其他反射光（间接，RR）

拆分成两部分的radiance(辐射度)的算法:

① 注意: 在什么领域采样, 就要在什么领域积分

例如: L_dir(直接光照)使用的是转换后dw->dA在光源采样的渲染方程, 而L_indir(间接光照)使用的是在均匀半球采样且积分的渲染方程

② 只有间接光照需要RR(俄罗斯轮盘转), 因为是区分直接光照部分.所以那部分不考虑反射, 考虑反射都在间接光照部分.

shade(p,wo) 伪代码如下:

#来自光源直接光照的贡献

在 x'(pdf_light = 1/A) 处均匀采样光

#来自其他反射光的贡献

初始化总(其它反射光的贡献) L_indir=0.0

用概率 P_RR 测试俄罗斯轮盘赌

将半球均匀地采样到方向 wi (pdf_hemi = 1/2pi)

追踪射线 r (p, wi) 点p往wi方向

如果射线 r 在 q 处击中一个非发射物体

 

最后一件事：

我们如何知道灯上的样品光线是否没有被阻挡？

#来自光源的贡献

初始化L_dir = 0.0

在 x'(pdf_light = 1/A) 处均匀采样光

从 p 射出一条射线到 x'

如果光线没有被中间挡住

        L_dir=...

被遮挡的都不加进L_dir

现在路径追踪终于完成了

最终版本路径追踪

#来自光源的贡献

{

        初始化L_dir = 0.0

        在 x'(pdf_light = 1/A) 处均匀采样光

        从 p 射出一条射线到 x'

        If光线没有被中间挡住:

        ps:( : 入射光与物体法线的夹角;  :  p 射出一条射线到 x'与光源的夹角)

        被遮挡的都不加进L_dir

}

#来自其他反射光的贡献

{

        初始化总其它反射光的贡献

        用概率 P_RR 测试俄罗斯轮盘赌

        将半球均匀地采样到方向 wi (pdf_hemi = 1/2pi)

        追踪射线 r (p, wi) 点p往wi方向

        If射线 r 在 q 处击中一个非发射物体

}

Path Tracing 几乎百分百还原照片既视感

 

以前的:

现代（闫大神对Ray tracing的定义）

光传输的一般解决方案，包括

① (单向和双向)路径跟踪 (path tracing)

② 光子映射(photon mapping)

③ metropolis light transport(MLT)

④ VCM/UPBP

具体算法中遇到的问题(有兴趣自行查找答案)

1.均匀采样半球

-如何做？ 一般来说，问题是如何对任何函数进行采样？

2.蒙特卡罗积分允许任意 pdf

什么是最好的选择？（重要性抽样）

3.随机数重要吗？

-是的！（低差异序列）

我们没有涵盖/不会涵盖的东西

我可以采样半球和光源

我可以把它们结合起来吗？是的！（多个 imp.sampling）

像素的辐射度是通过它的所有路径的辐射度平均值

-为什么？（pixel reconstruction filter）

像素的辐射度是像素的颜色吗？

- 否（还需要gamma correction, curves, color space）

再问，path tracing还“入门”吗

-这一次，是的，敬畏科学

(闫大神在这节课说: 他什么都不会!!!!!!)