【理论】车辆双轴振动模型（二）

编辑：CrazyRabbit
日期：2022年6月30日

本文介绍车辆双轴振动模型，双轴二自由度振动模型是我们分析整车平顺性自由度最少的模型，但能够得出很多重要的结论，对我们直观的理解车辆平顺性，设计、评价整车性能有很重要的指导性。

一、模型化简

在做车辆双轴二自由度模型时，即认同以下模型化简约定：

• 忽略车轮的质量和轮胎的刚度，或者将轮胎刚度与悬架刚度（Wheel Rate）串联为整体刚度（Ride Rate）
• 车轮左右输入完全一致
• 车辆左右完全对称
• 研究的是无阻尼运动，忽略车辆阻尼
• 车身质量按照三个集中质量分解，当质量分配系数为1时，$m_{2c}$为0

最终，模型示意图如上图所示。

二、振型分析

以上图为参考，建立微分方程做振型分析。
根据振动力学相关理论，$n$个自由度有$n$个广义坐标系，有$n$个模态和振型。广义坐标系可以任意选取，只要方便处理问题即可，这里我们用两种坐标系建立相应的微分方程，两种坐标系对于理解平顺性各有优点。

2.1 应用$z_f、z_r$坐标系

选取$z_f、z_r$为广义坐标系，根据图示，应用力学知识，对前后轴取力矩平衡，得以下微分方程：
$\{\begin{array}{rl}{m}_{2f}{\ddot{z}}_{2f}+m_{2c}b({\ddot{z}}_{2r}a+{\ddot{z}}_{2f}b)/L^2+K_f{z}_{2f}& =0\\ m_{2r}{\ddot{z}}_{2r}+m_{2c}a({\ddot{z}}_{2r}a+{\ddot{z}}_{2f}b)/L^2+K_r{z}_{2r}& =0\end{array}$
应用微分方程理论，求解上述方程，求解出两个模态频率：
${\Omega }_{1,2}^2=\frac{1}{2(1-{\beta }_1{\beta }_2)}[{\omega }_{0f}^2+{\omega }_{0r}^2\mp \sqrt{({\omega }_{0f}^2-{\omega }_{0r}^2{)}^2+4{\beta }_1{\beta }_2{\omega }_{0f}^2{\omega }_{0r}^2}]$
其中，${\omega }_{0f}$和${\omega }_{0r}$对应只有$z_{0f}$或$z_{0r}$运动时的固有频率：
${\beta }_1=\frac{(1-\epsilon )\frac{a}{L}}{\frac{b}{L}+\epsilon \frac{a}{L}}$
${\beta }_2=\frac{(1-\epsilon )\frac{b}{L}}{\frac{a}{L}+\epsilon \frac{b}{L}}$
${\omega }_{0f}^2=\frac{K_f{L}^2}{m_2({\rho }_y^2+b^2)}$
${\omega }_{0r}^2=\frac{K_r{L}^2}{m_2({\rho }_y^2+a^2)}$

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对应的两个主频率，有两个振型（如下图）：一个振型的振动中心在轴距内，称为角振动（Pitch-俯仰），其频率可以称为${\Omega }_{\phi }$；一个振型的振动中心在轴距之外，称为**垂直振动（Bounce-跳动），**其频率可以称为${\Omega }_z$。

人对水平方向的振动比垂直方向的振动更敏感，俯仰的角振动会产生水平方向较大的分量，所以车辆的平顺性设计和调校要尽量减少俯仰角振动。

在底盘调校初期（匹配弹簧刚度，调整减振器之前），调校工程师经常做的一件事是将减振器内的阀系拆除，或者倒掉大部分减振器油液，制作“无阻尼”减振器。驾驶这样的车辆行驶波形路面，来感受车辆的振动，特别是感受车辆是否有明显的角振动。其原理就在这里。

上述介绍了两个主频率的计算公式，但是没有振动中心距离的计算公式，我们可以直接选取$\phi 、z_c$作为广义坐标系，更方便推导振动中心的公式。

2.2 应用$\phi 、z_c$坐标系

如上所述，我们可以直接选取俯仰角$\phi$和质心$z_c$作为坐标系，用$z_c/\phi$可以方便的求出振动中心距离：$z_c/\phi$为正时，振动中心在质心前，距离$x=z_c/\phi$；同理，$z_c/\phi$为负时，振动中心在重心后，距离$x=z_c/\phi$。

同理建立微分方程，建立过程略，得出以下公式：
$\{\begin{array}{rl}\ddot{z_c}+\alpha z_c+\beta \phi & =0\\ \ddot{\phi }+\beta z_c/{\rho }_y^2+\gamma \phi & =0\end{array}$
式中，
$\begin{array}{rl}\alpha & =(K_f+K_r)/m_2\\ \beta & =(K_{r}b-K_{f}a)/m_2\\ \gamma & =(K_f{a}^2+K_r{b}^2)/m_2{\rho }_y^2\\ {\rho }_y& =\sqrt{I_y/m_2}\end{array}$
应用微分方程理论，求解上述方程，求解出两个模态频率：
${\Omega }_{1,2}=\sqrt{\frac{\alpha +\gamma }{2}\pm \sqrt{(\alpha -\gamma {)}^2/4+{\beta }^2/{\rho }_y^2}}$
同时，求出振动中心距离的公式：
$x=z_c/\phi =\frac{-\beta }{\alpha -{\Omega }^2}=\frac{-{\rho }_y^2(\gamma -{\Omega }^2)}{\beta }$

如果你看赵六奇翻译的Gillespie的《车辆动力学基础》，你会发现上述公式书中有误，把除号漏掉了。

三、悬架偏频及其设定

而在通常设计过程中，工程师一般以偏频作为设计、测试的参考指标，偏频的计算要比上述的模态频率计算简单的多，且差异很小，所以用起来比较方便。
偏频指的是前后悬架单独跳动时的固有频率，公式如下：
$$\begin{gathered} f_f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{K_f}{m_{2f}}} \\ {f}_r=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{K_r}{m_{2r}}} \end{gathered}$$
将运动中心的位置和前后偏频的比作图如下：

可以看出

• 当两个频率相等时，一个中心在重心位置，另一个在无穷远处；相等的频率对应垂直和俯仰模态解耦，从而产生纯跳动与俯仰运动
• 对于较高的前悬架偏频，其运动是由前轴前面跳动（Bounce）中心和接近后轴俯仰（Pitch）中心的耦合振动
• 对于较低的前悬架偏频，使得跳动（Bounce）中心移至后轴滞后，并将俯仰（Pitch）中心前移至前轴附近

20世纪30年代的Maurice-Olley发现，后一种情况是乘坐舒适性较好的设计。

Maurice-Olley是现代车辆动力学创始人之一。

四、Olley准则

Maurice-Olley在20世纪30年代通过改装能调整俯仰惯性矩的汽车（“k2”试验车）得到一系列的平顺性设计准则，用于指导平顺性设计，称之为“欧雷准则”：

• 前悬架的刚度应比后悬架的低30%，或弹性中心应在重心后6.5%
• 俯仰与跳动频率应彼此接近：跳动频率应比俯仰频率低1.2倍，比率较高时，由于两种运动重叠可能产生“干扰冲击”
• 前后频率均不应超过1.3Hz
• 侧倾频率应大致与俯仰及跳动频率相等

个人认为，以上的Olley准则的方向性指导意义还是有的，但是具体的数值对于现代的设计已经不是很合适了。距离Olley提出这些准则，汽车已经发展100年了，特别是现代汽车的质量分布与当年有了很大的变化。

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对于偏频设计中的“偏频比大于1”（即Olley准则的第一条），可以有以下直观解释。

首先人体对于纵向的加速度要更敏感，所以对于车辆的跳动要比俯仰运动更容易接受。
当前轮通过一个凸起后开始振动，后轮需要一定时间（时间=轴距/车速）才能振动，设置较高的后悬架频率会使得后悬架的振动波形“追上”前悬架的振动波形，更容易产生跳动运动。
如下图所示：

参考资料

【1】Fundamentals of Vehicle Dynamics——Thomas D. Gillespie
【2】汽车理论——余志生