【强化学习论文解读 2】 Theory and application to reward shaping

1. 引言

本文介绍一篇1999年发表在ICML的文章：Policy invariance under reward transformations: Theory and application to reward shaping。论文的作者是大家非常熟悉的吴恩达（Andrew Ng）老师。

论文传送门：Policy invariance under reward transformations: Theory and application to reward shaping

论文的亮点是：给出了reward shaping（奖励塑造）的充分必要条件，即：对奖励做何种修改不会改变MDP（马尔科夫决策过程）的最优策略。

2. 论文解读

2.1 背景

在连续决策问题中，给定奖励函数和环境模型，那么最优策略是确定的。一个很自然的问题是：我们能够对奖励函数做怎样的修改能够保证最优策略是不变的呢？ 因为一个好的奖励函数能够加快策略收敛速度，所以我们想知道我们能对它修改的“自由”是多少？

在utility theory领域（主要研究单步决策）中，有学者给出了对于utility function的相应问题的答案，那就是：对于没有不确定性的单步决策，utilities上的任何单调变换都使最优决策保持不变；对于有不确定性的单步决策，只有正线性变换才能保持最优决策不变。

在改变reward function的情况下，对于连续决策问题的策略不变性还没有人研究。

这个问题是非常重要的，因为在强化学习问题中，我们常常为了加快收敛速度会设置一些“引导性”的奖励，如果这些奖励设置地不好，很可能会导致最优策略发生改变。

2.2 预备知识

在证明之前，我们需要些预备知识。首先来看符号定义。

Markov decision process (MDP) 记作 $M=(S,A,T,\gamma ,R)$

其中：$S$ 是有限状态集；$A=\left\{a_1,\dots ,a_k\right\}$ 是动作集（$k\ge 2$） ；$T=\left\{P_{sa}(\cdot )\mid s\in S,a\in A\right\}$ 是下一状态转移概率, $P_{sa}\left(s^{\prime }\right)$是在状态 $s$下采取动作 $a$得到状态$s^{\prime }$的概率； $\gamma \in (0,1]$是折扣因子; $R$ 代表奖励分布。

为了简化问题，作者将奖励$R$都假定为确定性的，即为有界实值函数。将奖励函数$R$写作：$R\left(s,a,s^{\prime }\right)$，即：映射关系为$S\times A\times S\mapsto \mathbb{R}$

在一个MDP问题$M$下，执行策略$\pi$得到的价值函数函数记为：$V_M^{\pi }$. $V_M^{\pi }(s)=\mathrm{E}[r_1+$ $\gamma r_2+{\gamma }^2{r}_3+\dots ;\pi ,s]$, 代表其在状态$s$下的价值。

Q函数（即动作价值函数）为：

对于MDP问题M而言，最优状态价值函数记作$V_M^{\ast }(s)={\sup }_{\pi }{V}_M^{\pi }(s)$，最优动作价值函数记作$Q_M^{\ast }(s,a)={\sup }_{\pi }{Q}_M^{\pi }(s,a).$ 最优策略为${\pi }_M^{\ast }(s)=\arg {\max }_{a\in A}{Q}_M^{\ast }(s,a).$ 当然，最优策略可能不唯一，只要所有的动作$a$满足$\arg {\max }_{a\in A}{Q}_M^{\ast }(s,a)$就是最优策略。后续为了推导公式的简便，可能会直接扔掉下标“M”

2.3 Reward shaping的充分必要条件

假设原MDP问题为：$M=(S,A,T,\gamma ,R)$，reward shaping后的MDP问题为：$M^{\prime }=\left(S,A,T,\gamma ,R^{\prime }\right)$，其中$R^{\prime }=R+F$，$F$和$R$一样，是个有界实值函数，称为shaping reward function，映射关系为$F:S\times A\times S\mapsto \mathbb{R}$（后面证明可以知道，其实$F$只是个关于状态$s$和状态$s^{\prime }$的函数）

$F\left(s,a,s^{\prime }\right)$是我们比较喜欢动手脚的地方，比如：如果为了鼓励agent接近一个目标，那么就设置当状态 $s^{\prime }$比状态$s$更靠近目标时，$F\left(s,a,s^{\prime }\right)$为一个正数，反之则为一个负数；再比如：如果为了鼓励agent在某个状态$S_0$下采取动作$a_1$，那么只要令$F\left(s,a,s^{\prime }\right)$在采取动作$a_1$时为一个正数，其他动作时为0即可。

首先，考虑一个环形状态转移情况，即：$s_1\to s_2\to \cdots \to s_n\to s_1\to \cdots$, 如果shaping reward $F$ 产生了净收益 $(F\left(s_1,a_1,s_2\right)+\cdots +$ $F\left(s_{n-1},a_{n-1},s_n\right)+F\left(s_n,a_n,s_1\right)>0)$，那么agent会被这个$F$奖励“分心”，可能导致不断地“转圈刷分”。

基于这点观察，大致可以猜到$F$应该要是个势能差的形式，即：$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=\Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$，其中$\Phi (s)$是状态$s$的函数（即类似于物理学中的势能含义），这样才能避免“转圈刷分”的情况出现。当然$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=\Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$只是针对折扣因子$\gamma =1$的情况；对于$\gamma <1$的情况，$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$，至于为什么是这个形式，就是通过理论推导得到的。

以下定理给出了shaping reward function $F$ 在不改变最优策略情况下的充分必要条件（红框部分是定理的充分性和必要性的转述），其中$s_0$表示吸收态，也就是强化学习中的终态：

充分性说明了，如果在给奖励函数$R$添加了一个基于势能的函数$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$，那么最优策略保持不变；必要性说明了，如果在没有状态转移$T$和奖励$R$的先验知识，那么想要不改变最优策略，我们只能选择基于势能的函数$F$。（如果我们有非常丰富的状态转移$T$和奖励$R$的先验知识，那么可以选择其它种类的shaping function，不一定要是基于势能的形式）

此定理重要的是：$\Phi (s)$可以作为人类专家知识的入口，只要$\Phi (s)$选得好，那么能大幅加快强化学习的训练。

下面对充分性和必要性的证明做一个简单的论述，有一些细枝末节的地方没有展开，严谨论证请直接参考原论文。

充分性证明：

我们已知最优Q函数满足bellman方程：

通过简单的加减变换操作，得到：

不妨定义：

再把$F$的定义式$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$代入变换后的方程，得到：

而此方程就是reward shaping后的MDP问题$M^{\prime }$的bellman方程。$M^{\prime }$的最优Q函数就是$Q_{M^{\prime }}^{\ast }(s,a)={\hat{Q}}_{M^{\prime }}(s,a)=Q_M^{\ast }(s,a)-\Phi (s)$

那么$M^{\prime }$的最优策略${\pi }_{M^{\prime }}^{\ast }(s)$为：

可以看到，由于$\Phi (s)$仅是状态$s$的函数，与动作无关，故$M^{\prime }$的最优策略与$M$的最优策略完全一致，充分性证毕。

必要性证明：

首先看一个引理：如果说reward shaping函数$F(s,a,s^{\prime })$的值与动作有关，那么一定存在转移函数$T$和奖励函数$R$，使得在$M$中的最优策略放在$M^{\prime }$中不是最优。（这里只要举一个例子即可）

证明过程如下：

接着下面进一步地证明$F(s,a,s^{\prime })$不仅与动作无关，而且$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$。如果$F(s,a,s^{\prime })$不是这样，那么最优策略就会改变。（这部分证明，我感觉按照作者的证明思路，$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=k(\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s))$同样满足证明过程，$k$可以是任意实数，也许是作者想要强制保证$\Phi (s)$前的系数为-1，这样把$k$吸收到$\Phi (\cdot )$中，就得到了作者的式子）

证明的主要思路就是构造一个例子，即$F\left(s,s^{\prime }\right)\ne \gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$时，必会存在在$M$中的最优策略放在$M^{\prime }$中不是最优。

证明过程如下：

2.4 相关推论

根据定理1的充分性证明过程，可得推论：

推论说的是，如果奖励塑造的过程中，使用的是$F\left(s,a,s^{\prime }\right)=\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$的形式，去加在奖励函数上，那么是不会改变最优动作价值函数$Q_{M^{\prime }}^{\ast }(s,a)$和最优状态价值函数$V_{M^{\prime }}^{\ast }(s)$。最优动作价值函数不改变是通过充分性的证明过程得到的，而最优状态价值函数不改变是因为有等式：$V^{\ast }(s)=$ ${\max }_{a\in A}{Q}^{\ast }(s,a)$。

对于此推论，作者做了两个备注。

备注一：鲁棒性。即：不仅仅是对最优策略，对任意策略$\pi$，推论2中的恒等式都是成立的。如果一个策略$\pi$，在$M^{\prime }$中接近最优了，那么此策略在$M$中也会接近最优，这也就意味着基于势能的reward shaping还具备鲁棒性。

原文表述如下：

备注二：若奖励函数设为势能差，那么所有策略均最优。即：如果我们把奖励函数$R$设为势能差的形式：$R\left(s,a,s^{\prime }\right)=\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$，那么显然这个奖励函数没有任何实质性的对动作的偏向，这就会导致不管什么策略，算出来都会是最优策略。

原文表述如下：

作者还说道：对于半马尔可夫决策过程（动作需要不同的时间去执行），可以令$F\left(s,a,s^{\prime },\tau \right)=$ $e^{-\beta \tau }\Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$，其中$\tau$是动作完成的时间，$\beta$是折扣率。

3. 总结

对于我们没有状态转移$T$和奖励$R$的先验知识的情况（这是我们model-free方法经常遇到的情况），那么想要通过改变奖励函数$R(s,a,s^{\prime })$来加快强化学习收敛，只能令新的奖励函数为$R^{\prime }(s,a,s^{\prime })=R(s,a,s^{\prime })+F(s,s^{\prime })$，其中$F(s,s^{\prime })=\gamma \Phi \left(s^{\prime }\right)-\Phi (s)$，而$\Phi (s)$是与状态有关的函数即可，这样才不会改变最优策略。

对于$\Phi (s)$的构造，推荐使用基于距离的启发式（a distance-based heuristic），或者基于子目标的启发式（a subgoal-based heuristic）。

注：虽然原文写的是$F(s,a,s^{\prime })$，但是写成$F(s,s^{\prime })$也是一样的，因为和动作$a$无关。