离散傅里叶变换(DFT)

接上文：傅里叶级数与傅里叶变换

二、“虚拟世界”中的傅里叶变换

真实世界是连续的，可是计算机永远只能描述离散的点，采集离散的信号

现在的你，已经完全理解了傅里叶变换：

（其中  为可变频率 ）

以及傅里叶变换的逆变换 

好了，你有一台电脑，你想要让电脑也理解傅里叶变换：当然了：电脑只能描述和采集离散的信息，就别说指数空间了，电脑对积分也是完全不懂的，也永远不可能懂

当然这也并不意味没有办法了，前面提到过，傅里叶的目的实际上是计算信号幅值在频域中的分布密度，也可以说是为了求得频谱密度函数，同时在描述傅里叶变换时：积分上下无限同时意味着要对所有时间上的值进行考虑，即时间间隔为  时，其极限是多少

那计算机不明白也没关系，因为只要想办法让计算机去得到/接近我们想要结果，过程其实可能没有那么重要

2.1 采样与冲激函数(Dirac δ 函数)

计算机解决积分的一个非常暴力的方式就是：将积分范围内所有可以取到的值，一个一个丢进去算出结果，最后再加在一起求个平均，只不过让我们取无数个数进去算结果必然是不可能的，因此我们可以每隔一段距离去算一个结果，以做到得到近似的答案

而这个计算过程就有采样的影子，用更通用的话来讲，采样就是在离散世界里描述连续的图像信息的手段，想想纹理采样的过程？是不是就是这个意思

采样的专业解释

想要用数学方法描述采样，需要先引入冲激函数：

当  时，，且满足 ，由于不是复杂的理学论文，你其实可以简单的把这个函数理解成只有当 x = 0 时存在值 1

根据他的定义，可以得到 ，即能够筛选出连续函数在  处的取值，起到采样的作用

不过事实上我们要的采样是每隔一段距离周期性的去取一个值，而非只取 处的函数结果，因此最后更应该是 

其中  为采样周期： 的图像更像是这样：是由一个个脉冲序列组成

好了，讲完了，这节用一句话说就是对于连续函数 ，计算机能计算的其实是 ，其中  为冲激函数(Dirac δ 函数)

2.2 时域与频域的离散化计算

Games101 里面对于采样也有个生动形象的例子，而前面讲述的内容正好对应着下图中左侧时域的离散采样，左下图 e 对应的 S(t) 对应上面公式中的 

然后就是把 ，代入到傅里叶变换中，有

很明显，只有当  时，右边的  才对积分结果有贡献，因此

不过到这采样的规则还没有定，也就是说还要敲定①采样间隔应该是多大，可以不可以量化这个间隔；②不可能进行无穷次采样，我们要有个采样范围，否则你计算得到的频域图像依然是连续的，而且你时域采样个无数次也不现实

这也很简单，一个采样思路是这样的：

1. 不管你是不是周期函数，我就限死一个范围，只在这个范围按照一定间隔采样
2. 对于范围外的函数图像，我们可以假设其为采样范围内图像的延拓（覆盖掉原先的图像），在这种假设下，原函数就会成为一个周期函数，可以为我们后面的求解提供很大的便利，并且同时可以解决频率连续的问题

例如上图，如果我们只对 [-3, 3] 范围内的函数进行采样，可以直接将原函数转成像右图那样的周期函数

这样假设我们采样间隔为 ，采样 N 次，采样周期 ，那么在一段频率内，离散信号的表达式就为：

 →

其傅里叶级数

和上面计算方式一样，可以交换积分次序：

然后只有当  时，右边的积分才对结果有贡献：

再根据 ，，代入进去得到：

当然因为是离散采样，用  描述最终的结果不是很准确，回到前面的那张图，我们是要采样 N，次，每次采样间隔 ，那么第想要得到第  次采样到第  次采样中间这段连续的结果，就同等于我们需求的是 ，同理，我们可以规定，这样就能得到最终的离散傅里叶形式：

，

这即是计算机求解傅里叶变换的标准方式

三、快速傅里叶变换(FFT)

3.1 预备性质与数学原理

很明显，计算其中一项的 ，复杂度为 O(N)，但是我们往往需要计算所有的 ，，复杂度就为 O(N²)，而快速傅里叶变换(FFT)能在 O(NlogN) 的时间复杂度内得出这堆结果

3.1.1 单位复 N 次方根

把 DFT 指数部分抽出来：，为了方便后续令 ， 在复数上的表示如下：

对于图像中的例子 N = 16，相邻两点的夹角 ，不用任何公式推导，就能发现只要 N 为偶数，那么图中的点就可以通过与轴心连线两两配对：即得到 

除此之外，我们对图中所有点的构成点集 ，全部做平方，得到的点集

  图像就如下：

也一样不用公式推导，就有两个性质跃然纸上：

1. 点集中后半部分的点会和前半部分的点完全重叠，也就是说新的点集中少了刚好一半的元素：，并且其等价于 
2. 新的点集大小如果还是2的倍数（也就是原先的点集大小 N 是4的倍数），那么依然满足前面提到的对称性 

如果原先的点集数量 N 满足 ，即2的指数幂，那么图像就可以一直递归下去，每次的分量都会少一半，在此算法时间复杂度中 O(nlogn) 的 "log" 也浮出水面

3.1.2 FFT 蝶形算法

还记得我们要求的东西嘛：，

为了能够用上前面的性质，我们可以假设 N 一定是二次幂，如果真实的 N 不是二次幂，那就强行补齐，并将后面要补的值 x[n] 全部当成0（关于这个方案是否是可行的当然也需要严谨证明，不过考虑到篇幅，并且文章面对的读者也不是理学研究生，这里就也做省略，有兴趣的可以参考这篇文档中关于 zero padding 的介绍部分）

然后把 DFT 根据 n 的奇偶分成两部分相加：其中 2r = n 表示偶数，2r + 1 = n + 1 表示奇数：

再根据前面 3.1.1 的结论①： 等价于 ，有

 ，上式可变为：

再令 ，

到此为止，一个采样 N 次的 DFT，就可以拆成两个采样 N/2 次的 DFT，分别为偶数点采样 G(k)，和奇数点采样 H(k)

但是还没有结束，前面 3.1.1 的结论②： 还没有用上，显然

同理： 也成立

这样最终结论就出来了：

对于 ，有

• ，

• ，

也就是说，我们只需要求出前一半的 G(k) 和 H(k)，就能得出全部的 X(k)，而对于 G(k) 和 H(k)，它们本质上也是 DFT，但是规模都只有 X(k) 的一半，因此可以继续递归，直到 N = 1 结束

---

你可能会感受到一阵眼花，这是参透新事物的重要一环

没事，还有例子，如果 N = 4，那么就有：

其中 G 和 H 就是两个点的 DFT，并且此时我们要求的就是 G(0)，G(1)，H(0)，H(1)

此时 G 和 H 对应的 N = 2，对于 G(0) 和 H(0) 可以直接带入前面的公式：

，，有

一样根据对称性：

搞定！

3.2 速解多项式乘法：从另一个角度看 FFT

对多项式 ，，定义其乘积 fg 为

，现在给你 n, m，以及 f 和 g 的每一项系数，要求你求解它们乘积的多项式的每一项系数，当然 n 和 m 都是 100000 级别，因此时间复杂度要控制在 nlogn 级别，请问该如何编写相应的程序？

对于视 FFT 为基本操作的 ACMer 而言，这种题目真的再简单不过了，当然对于刚了解 FFT 的初学者，可能还是很难发觉这题和 FFT 或是 DFT 有什么关系

3.2.1 何为卷积

在此之前，先介绍一种函数运算关系：卷积

不过由于我们不做信号分析，研究的内容更偏向于图像处理，因此我们主要关心的应该是卷积方程的离散形式：

网上一个经典的例子就是抛骰子：连续投掷两枚骰子，它们点数之和为4的概率是多少：

设 f(x) 为投掷第一枚骰子点数为 x 的概率，g(x) 为投掷第二枚骰子点数为 x 的概率，那么最后概率就是：

就这么简单：你甚至不必去分析这个公式，只需要把“卷积”理解为是一种特殊的计算方式就好了：即用一组函数进行一种特定的线性组合算法（加权叠加）得到一个新的目标函数

除此之外，卷积还有一个性质：时域的卷积可以转换为频域的乘积，反之亦然（因篇幅问题，关于这个定理的证明从略）：

好了，然后再看回前面的多项式问题：

首先是对于任意 n+1 次多项式 ，只需知道每一项的系数就可以唯一确定 ，故  可以被写作  的形式，即系数的有序排列，这就是多项式的系数表示法

其次对于多项式 ，的最终乘积结果 ，它的第 n 项  的系数就等于 ，也就是说，其实本质上计算多项式乘法，就是在计算多项式系数表示法对应的离散函数的卷积

3.2.2 nlogn 的卷积计算

回到题目上，先忘掉 FFT 相关的内容，考虑多项式本身的性质：对于 n 次多项式上 n+1 个不同的点能唯一确定这个多项式，也就是说  也可以被写作

 点值表示

如果再令 ，则有

这样的话，我们就可以大致得出解题的步骤了（为了简化问题，我们假设  和  的项数是相同的，都为 N，且 N 为一个二次幂数）：

1. 求出  和  的点值表示法（暴力算法复杂度 O(N²)）
2. 对于得到的每个点值，x 坐标不变，y 坐标相乘，这样就可以得到一个新的点值序列，这个新的序列正式我们要求的多项式乘积结果  的点值表示 （复杂度O(N)）
3. 再根据性质，我们可以根据 逆推出 ，得出答案（未知算法??）

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然后就是设计步骤①和步骤③的算法

在这里再推荐一个视频：【官方双语】奥数级别的数数问题，虽然内容和 FFT 无关，但是也能给你带来不少启发，感受到数学之美

不过在此之前，还是留意一下步骤②，不知道你发现了什么？步骤②是个乘积算法，而前面我们提到过：计算多项式乘法，就是在计算多项式系数表示法对应的离散函数的卷积，而这正印证了前面的定理：时域的卷积可以转换为频域的乘积……

没错对了，不可能这么巧合，我们是不是就可以说：

• 多项式系数表示法  对应着时域
• 而多项式点值表示法  正是前者的频域表示

这样目标就很明确了，求出点值表示法的每一项 

还等什么，直接对  上 DFT  啊

令 ，DFT 转换成矩阵形式就是：

这就相当于我们把  代进原  以求得其点值表示法

好了，别忘了这个过程是可以 FFT 加速的，也就是说我们能够能在 nlogn 的时间复杂度内求得上述步骤①对应的两个函数的点值表示

因此，最终的解体步骤应如下：

1. 对于  和 的系数表示法，经 DFT 可得到其点值表示法（FFT 复杂度 O(NlogN)）
2. 对于得到的每个点值，x 坐标不变，y 坐标相乘，这样就可以得到一个新的点值序列，这个新的序列正式我们要求的多项式乘积结果  的点值表示 ​​​​​​​（复杂度O(N)）
3. 将最终的结果  进行 IDFT 逆离散傅里叶变换，即可求得最终的 ，得出答案（FFT 复杂度 O(NlogN)）

对于步骤③，IDFT 的矩阵可以由 DFT 的矩阵求逆得出，也可以直接套公式：

搞定！其实这个思考解题流程，是有要求对傅里叶变换及其意义有一定了解的，你也可以看出来，我们在解题的过程中有些先入为主。如果你之前没有了解过傅里叶变换，但是却又急切的要解出这道题，那么可以直接从另一个角度思考，在此继续推荐视频：快速傅里叶变换(FFT)——有史以来最巧妙的算法？

3.3 FFT 的程序实现

https://www.luogu.com.cn/problem/P3803

#include
#include
#include
using namespace std;
complex a[1 << 22], b[1 << 22];

//长度为 n 的 DFT
void FFT(complex* a, int n, int inv)
{
    if (n == 1)
        return;
    int mid = n / 2;
    complex *A1, *A2;
    A1 = new complex[mid];
    A2 = new complex[mid];
    //采样 N 次的 DFT，可以拆成两个采样 N/2 次的 DFT，分别为偶数点采样 A1(k)，和奇数点采样 A2(k)
    for (int i = 0; i < n; i += 2)
    {
        A1[i / 2] = a[i];
        A2[i / 2] = a[i + 1];
    }
    FFT(A1, mid, inv);
    FFT(A2, mid, inv);
    complex w(1, 0), w1(cos(2 * acos(-1.0) / n), inv * sin(2 * acos(-1.0) / n));
    for (int i = 0; i < mid; i++)
    {
        a[i] = A1[i] + w * A2[i];
        a[i + n / 2] = A1[i] - w * A2[i];
        w *= w1;
    }
    delete []A1;
    delete []A2;
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        double x;
        scanf("%lf", &x);
        a[i].real(x);
    }
    for (int i = 0; i <= m; i++)
    {
        double x;
        scanf("%lf", &x);
        b[i].real(x);
    }
    int len = 1 << max((int)ceil(log2(n + m)), 1);
    FFT(a, len, 1);         //DFT
    FFT(b, len, 1);
    for (int i = 0; i <= len; ++i)
        a[i] = a[i] * b[i];
    FFT(a, len, -1);        //DTFT
    for (int i = 0; i <= n + m; ++i)
        printf("%.0f ", a[i].real() / len + 0.000001f); 
    return 0;
}