线性代数学习笔记——n维向量
n维向量的概念及其线性运算
n维向量的概念
- 含有n个分量， 且只有一行或只有一列的矩阵称为n维向量
- n维实列(或行)向量全体所构成的集合记为 R n R^n Rn
n维向量的线性运算
- 对于列向量
α = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) , β = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) , \alpha= \left( \begin{matrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{matrix} \right), \beta= \left( \begin{matrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{matrix} \right), α=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2⋮an⎠⎟⎟⎟⎞,β=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞,
α , β \alpha,\beta α,β的和(差)为
( a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 ⋮ a n ± b n ) \left( \begin{matrix} a_1\pm b_1\\ a_2\pm b_2\\ \vdots\\ a_n\pm b_n \end{matrix} \right) ⎝⎜⎜⎜⎛a1±b1a2±b2⋮an±bn⎠⎟⎟⎟⎞
分别记作 α + β \alpha+\beta α+β。如果 k k k是数，则数 k k k与向量 α \alpha α的数乘为
( k a 1 k a 2 ⋮ k a n ) \left( \begin{matrix} ka_1\\ka_2\\\vdots\\ka_n \end{matrix} \right) ⎝⎜⎜⎜⎛ka1ka2⋮kan⎠⎟⎟⎟⎞
记为 k α k\alpha kα。加(减)法和数乘运算统称为n维向量的线性运算 - n维向量的线性运算性质
α + β = β + α \alpha+\beta=\beta+\alpha α+β=β+α
( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)
α + 0 = α \alpha+0=\alpha α+0=α
α + ( − α ) = 0 \alpha+(-\alpha)=0 α+(−α)=0
1 α = α 1\alpha=\alpha 1α=α
k ( l α ) = ( k l ) α k(l\alpha)=(kl)\alpha k(lα)=(kl)α
( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα
k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ
线性组合和线性表示
- 设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn都是n维向量， k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks是数，则称向量
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s k1α1+k2α2+⋯+ksαs是向量组 α 1 + α 2 + ⋯ + α s \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s α1+α2+⋯+αs的线性组合， k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks是这个线性组合的组合系数。如果n维向量 η \eta η可以写成 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的线性组合，则称 η \eta η可以由 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示 - 在n维向量的情形，一个向量是否可以由一个向量组线性表示取决于相应的线性方程组是否有解
- 如果向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt中每个向量都可以由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示，称向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt可以由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示。如果向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs与 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt可以互相线性表示，则称他们是等价的
- 向量组之间的等价关系具有反身性，对称性，传递性
向量组的线性相关性
线性相关和线性无关
- 设 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs都是 n n n维向量，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks，使得
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 , k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0, k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0,则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是线性相关的。否则，称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是线性无关的 - 常用结论:
①一个向量 α \alpha α是线性相关的当且仅当 α = 0 \alpha=0 α=0
②两个向量 α , β \alpha,\beta α,β是线性相关的当且仅当 α , β \alpha,\beta α,β的分量成比例
③如果向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的某个部分组线性相关，则 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性相关。特别的，含零向量的向量组线性相关
④当 s > n s>n s>n时，任意 s s s个 n n n维向量线性相关
⑤如果 n n n维向量
α 1 = ( a 11 ⋮ a m 1 a m + 1 , 1 ⋮ a n 1 ) , α 2 = ( a 12 ⋮ a m 2 a m + 1 , 2 ⋮ a n 2 ) , ⋯ , α s = ( a 1 s ⋮ a m s a m + 1 , s ⋮ a n s ) \alpha_1=\left(\begin{matrix} a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\\a_{m+1,1}\\\vdots\\a_{n1} \end{matrix}\right), \alpha_2=\left(\begin{matrix} a_{12}\\\vdots\\a_{m2}\\a_{m+1,2}\\\vdots\\a_{n2} \end{matrix}\right), \cdots, \alpha_s=\left(\begin{matrix} a_{1s}\\\vdots\\a_{ms}\\a_{m+1,s}\\\vdots\\a_{ns} \end{matrix}\right) α1=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a11⋮am1am+1,1⋮an1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞,α2=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a12⋮am2am+1,2⋮an2⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞,⋯,αs=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1s⋮amsam+1,s⋮ans⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞线性相关，则m维向量
β 1 = ( a 11 ⋮ a m 1 ) , β 2 = ( a 12 ⋮ a m 2 ) , ⋯ , β s = ( a 1 s ⋮ a m s ) \beta_1=\left(\begin{matrix} a_{11}\\\vdots\\a_{m1} \end{matrix}\right), \beta_2=\left(\begin{matrix} a_{12}\\\vdots\\a_{m2} \end{matrix}\right), \cdots, \beta_s=\left(\begin{matrix} a_{1s}\\\vdots\\a_{ms} \end{matrix}\right) β1=⎝⎜⎛a11⋮am1⎠⎟⎞,β2=⎝⎜⎛a12⋮am2⎠⎟⎞,⋯,βs=⎝⎜⎛a1s⋮ams⎠⎟⎞也线性相关
向量组的极大无关组和秩
- 若向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的部分组 α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} αi1,αi2,⋯,αir满足下述条件：
① α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} αi1,αi2,⋯,αir线性无关
② α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs中每个向量均可由 α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} αi1,αi2,⋯,αir线性表示
则称 α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} αi1,αi2,⋯,αir为向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的极大线性无关组，简称为极大无关组 - 向量组的任意两个极大无关组均含有相同个数的向量
- 全部由零向量组成的向量组没有最大无关组，规定这样的向量组的秩为零
- 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的极大无关组中向量的个数称为这个向量组的秩，记为秩 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} {α1,α2,⋯,αs}或 r { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } r\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} r{α1,α2,⋯,αs}
- 如果向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt可以由 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示，则
r { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } ≤ r { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } r\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\}\le r\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} r{β1,β2,⋯,βt}≤r{α1,α2,⋯,αs} - 若向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β t \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t β1,β2,⋯,βt与 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs等价，则
r { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } = r { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } r\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\}= r\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} r{β1,β2,⋯,βt}=r{α1,α2,⋯,αs}
向量组的秩与矩阵的秩
- 任意矩阵A的行向量组的秩与其列向量组的秩相等，都等于矩阵A的秩
线性方程组的解的结构
解的存在性与唯一性
- 线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b有解的充分必要条件是方程组的系数矩阵 A A A与增广矩阵 ( A , b ) (A,b) (A,b)的秩相等。并且，若 r ( A , b ) = r ( A ) = r r(A,b)=r(A)=r r(A,b)=r(A)=r，则 A x = b Ax=b Ax=b有唯一解当且仅当 r = n r=n r=n
齐次线性方程组的基础解系
- 如果齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解 η 1 , η 2 , ⋯ , η t \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t η1,η2,⋯,ηt满足下列条件:
① η 1 , η 2 , ⋯ , η t \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t η1,η2,⋯,ηt线性无关
② A x = 0 Ax=0 Ax=0的任意解向量都可以由 η 1 , η 2 , ⋯ , η t \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t η1,η2,⋯,ηt线性表示
则称 η 1 , η 2 , ⋯ , η t \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t η1,η2,⋯,ηt是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系
易见，如果 η 1 , η 2 , ⋯ , η t \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t η1,η2,⋯,ηt是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系，则 A x = 0 Ax=0 Ax=0的通解可以表示成 k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k t η t , k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_t\eta_t, k1η1+k2η2+⋯+ktηt,其中 k 1 , k 2 , ⋯ , k t k_1,k_2,\cdots,k_t k1,k2,⋯,kt是任意常数。称这种形式的通解为 A x = 0 Ax=0 Ax=0的一般解 - 对于 s × n s \times n s×n矩阵 A A A，当 r ( A ) < n r(A)
r(A)<n 时，齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系中含 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)个解向量
非齐次线性方程组的一般解
- 称齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0为非齐次线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b的导出组
- 如果 γ 1 , γ 2 都 是 A x = b \gamma_1,\gamma_2都是Ax=b γ1,γ2都是Ax=b的解，则 γ 1 − γ 2 \gamma_1-\gamma_2 γ1−γ2是其导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解
- 如果 γ \gamma γ是 A x = b Ax=b Ax=b的解， η \eta η是其导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解，则 γ + η \gamma+\eta γ+η是 A x = b Ax=b Ax=b的解
- 设 s × n s \times n s×n矩阵 A A A的秩为 r r r。如果 γ 0 \gamma_0 γ0是非齐次线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b的任意特定的解， η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r} η1,η2,⋯,ηn−r是导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系，则 A x = b Ax=b Ax=b的通解可以表示为 γ = γ 0 + k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n − r η n − r \gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r} γ=γ0+k1η1+k2η2+⋯+kn−rηn−r其中 k 1 , k 2 , ⋯ , k n − r k_1,k_2,\cdots,k_{n-r} k1,k2,⋯,kn−r是任意常数。称上式是线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b的一般解
在解析几何中的应用
略
向量空间
Rn的子空间
- 设 S S S是 R n R^n Rn的非空子集。如果 S S S满足下列两个条件:
①对任意 α , β ∈ S , α + β ∈ S \alpha,\beta\in S,\alpha+\beta\in S α,β∈S,α+β∈S(关于加法是封闭的)
②对任意 α ∈ S , k ∈ R , k α ∈ S \alpha\in S,k\in R,k\alpha\in S α∈S,k∈R,kα∈S(关于数乘是封闭的)
则称 S S S是向量空间，或 R n R^n Rn的子空间 - 设 A A A是 s × n s\times n s×n矩阵，与A有关的两个重要向量空间:
① A A A的核空间 K ( A ) K(A) K(A)。根据齐次线性方程组解的结构性质， A x = 0 Ax=0 Ax=0的解的全体所构成的集合 S = { x ∈ R n ∣ A x = 0 } S=\{x\in R^n|Ax=0\} S={x∈Rn∣Ax=0}是 R n R^n Rn的子空间，称其为齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解空间。有时也称为矩阵 A A A的核空间(或零空间)，记为 K ( A ) K(A) K(A)
② A A A的值域(或列空间) R ( A ) R(A) R(A): T = { η ∈ R s ∣ ∃ x ∈ R n , η = A x } . T=\{\eta \in R^s|\exist x\in R^n,\eta=Ax\}. T={η∈Rs∣∃x∈Rn,η=Ax}. - 设 α 1 , α 2 , ⋯ , α s ∈ R n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \in R^n α1,α2,⋯,αs∈Rn，集合 { k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s ∣ k 1 , k 2 , ⋯ , k s ∈ R } \{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s|k_1,k_2,\cdots,k_s\in R\} {k1α1+k2α2+⋯+ksαs∣k1,k2,⋯,ks∈R}是 R n R^n Rn的子空间。称之为由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs生成的向量空间，记为 L { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } L\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} L{α1,α2,⋯,αs}。称 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs为这个向量空间的生成元
- 两个向量组生成的 R n R^n Rn的子空间相等，当且仅当两个向量组等价
基和维数
- 设 V V V是 R n R^n Rn的子空间。如果 V V V中向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs满足条件:
① α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性无关
② V V V中任意向量都可以由 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs线性表示
则称 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是 V V V的一组基。 V V V的基中元素的个数 s s s为 V V V的维数，记为 d i m V dimV dimV - 零空间没有基，零空间的维数定义为0
- 设 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs都是 n n n维向量， V = L { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } V=L\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} V=L{α1,α2,⋯,αs}，则向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs的极大无关组是 V V V的基，因此， d i m V = r { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } dimV=r\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\} dimV=r{α1,α2,⋯,αs}
坐标和坐标变换公式
- 若 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是向量空间 V V V的一组基。则 V V V中每个向量都可以由它们线性表示。设 η ∈ V \eta \in V η∈V且 η = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x s α s \eta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s η=x1α1+x2α2+⋯+xsαs，称列向量 x = ( x 1 x 2 ⋮ x s ) x=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_s\end{matrix}\right) x=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xs⎠⎟⎟⎟⎞是向量 η \eta η在 V V V的基 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs下的坐标列向量，简称为坐标
- 若 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs和 β 1 , β 2 , ⋯ , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s β1,β2,⋯,βs都是子空间 V V V的基，设 A = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) , B = ( β 1 , β 2 , ⋯ , β s ) A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s),B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s) A=(α1,α2,⋯,αs),B=(β1,β2,⋯,βs)
( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) = ( e 1 , e 2 , ⋯ , e s ) A ( e 1 , e 2 , ⋯ , e s ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) A − 1 ( β 1 , β 2 , ⋯ , β s ) = ( e 1 , e 2 , ⋯ , e s ) B = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) A − 1 B (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=(e_1,e_2,\cdots,e_s)A\\ (e_1,e_2,\cdots,e_s)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A^{-1}\\ (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)=(e_1,e_2,\cdots,e_s)B=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A^{-1}B (α1,α2,⋯,αs)=(e1,e2,⋯,es)A(e1,e2,⋯,es)=(α1,α2,⋯,αs)A−1(β1,β2,⋯,βs)=(e1,e2,⋯,es)B=(α1,α2,⋯,αs)A−1B基变换公式 ( β 1 , β 2 , ⋯ , β s ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) P (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)P (β1,β2,⋯,βs)=(α1,α2,⋯,αs)P，系数矩阵 P = A − 1 B P=A^{-1}B P=A−1B
称为从基 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs到基 β 1 , β 2 , ⋯ , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s β1,β2,⋯,βs的过渡矩阵 - 设 V V V的从基 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs到基 β 1 , β 2 , ⋯ , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s β1,β2,⋯,βs的过渡矩阵是 P P P,向量 η ∈ V \eta \in V η∈V在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs下的坐标是 x x x,在基 β 1 , β 2 , ⋯ , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s β1,β2,⋯,βs下的坐标是 y y y，则 x = P y 或 y = P − 1 x x=Py~~或~~y=P^{-1}x x=Py 或 y=P−1x上述公式称为坐标变换公式
向量的内积
内积和正交性
- 向量 α , β \alpha,\beta α,β的对应分量的乘积之和称为 α , β \alpha,\beta α,β的内积，记为< α , β \alpha,\beta α,β>
- 如果 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ都是 n n n维向量， k , l k,l k,l是数，则
① < α , β > = < β , α > <\alpha,\beta>=<\beta,\alpha> <α,β>=<β,α>
② < k α + l β , γ > = k < α , γ > + l < β , γ >
③ < α , α > ≥ 0 <\alpha,\alpha>\ge0 <α,α>≥0，并且 < α , α > = 0 <\alpha,\alpha>=0 <α,α>=0当且仅当 α = 0 \alpha=0 α=0
④三角不等式 ∥ α + β ∥ ≤ ∥ α ∥ + ∥ β ∥ \|\alpha+\beta\|\le\|\alpha\|+\|\beta\| ∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥
⑤勾股定理：若 α ⊥ β \alpha\perp\beta α⊥β，则 ∥ α + β ∥ 2 = ∥ α ∥ 2 + ∥ β ∥ 2 \|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2 ∥α+β∥2=∥α∥2+∥β∥2 - 对 n n n维向量 α \alpha α，称 < α , α > \sqrt{<\alpha,\alpha>} <α,α>为向量 α \alpha α的长度或模，记为 ∥ α ∥ \|\alpha\| ∥α∥。如果 ∥ α ∥ = 1 \|\alpha\|=1 ∥α∥=1，则称 α \alpha α是单位向量
- 柯西—施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式
∣ < α , β > ∣ 2 ≤ ∥ α ∥ 2 ∥ β ∥ 2 |<\alpha,\beta>|^2\le\|\alpha\|^2\|\beta\|^2 ∣<α,β>∣2≤∥α∥2∥β∥2当且仅当 α \alpha α与 β \beta β是线性相关时，等号成立 - 对 n n n维向量 α , β \alpha,\beta α,β，如果 < α , β > = 0 <\alpha,\beta>=0 <α,β>=0，则称 α \alpha α与 β \beta β是正交的，记为 α ⊥ β \alpha\perp\beta α⊥β。如果向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs中的每个向量都是非零向量，且相互之间两两正交，则称 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs为正交向量组。如果正交向量组中的每个向量都是单位向量，则称此向量组为标准正交向量组
- 正交向量组是线性无关的
标准正交基和Schmidt正交化方法
- 向量空间 V V V的基 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是一个标准正交向量组，则称 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs是 V V V的标准正交基
- 每个非零的向量空间 V V V都有标准正交基
- Schmidt正交化方法
β 1 = α 1 ; β 2 = α 2 − < α 2 , β 1 > < β 1 , β 1 > β 1 ; β 3 = α 3 − < α 3 , β 2 > < β 2 , β 2 > β 2 − < α 3 , β 1 > < β 1 , β 1 > β 1 ; ⋯ ⋯ β s = α s − < α s , β s − 1 > < β s − 1 , β s − 1 > β s − 1 − ⋯ − < α s , β 1 > < β 1 , β 1 > β 1 . \left. \begin{aligned} &\beta_1=\alpha_1;\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac{<\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1;\\ &\beta_3=\alpha_3-\frac{<\alpha_3,\beta_2>}{<\beta_2,\beta_2>}\beta_2-\frac{<\alpha_3,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1;\\ &\cdots\cdots\\ &\beta_s=\alpha_s-\frac{<\alpha_s,\beta_{s-1}>}{<\beta_{s-1},\beta_{s-1}>}\beta_{s-1}-\cdots-\frac{<\alpha_s,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1. \end{aligned} \right. β1=α1;β2=α2−<β1,β1><α2,β1>β1;β3=α3−<β2,β2><α3,β2>β2−<β1,β1><α3,β1>β1;⋯⋯βs=αs−<βs−1,βs−1><αs,βs−1>βs−1−⋯−<β1,β1><αs,β1>β1.这样得到的向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s β1,β2,⋯,βs是一个正交向量组，且与 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs等价。若要得到与 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs等价的标准正交向量组，只要将 β 1 , β 2 , ⋯ , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s β1,β2,⋯,βs单位化即可。
正交矩阵
- 如果实矩阵 A A A满足 A T A = E A^TA=E ATA=E，则称 A A A为正交矩阵，简称正交阵
- n n n阶实矩阵 A A A是正交矩阵当且仅当 A A A的列向量组是 R n R^n Rn的标准正交基
- 正交矩阵性质:
①若 A A A是正交矩阵，则 ∣ A ∣ = ± 1 |A|=\pm1 ∣A∣=±1
②若 A A A是正交矩阵，则 A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1也是正交矩阵
③若 A , B A,B A,B是正交矩阵，则 A B AB AB也是正交矩阵
正交变换
- 若P为正交矩阵，则线性变换 y = P x y=Px y=Px称为正交变换。
设 y = P x y=Px y=Px为正交变换，则有
∥ y ∥ = < y , y > = y T y = x T P T P x = x T x = < x , x > = ∥ x ∥ \|y\|=\sqrt{