深度学习入门（2）神经网络
感知机：设定权重的工作由人工来进行确定。
神经网络：可以自动的从数据中学习到合适的权重参数。
从感知机到神经网络
0层：输入层
1层：中间层（隐藏层）
2层：输出层
该网络由3层神经元构成，但只有2层神经元有权重，因此称其为“2层网络”。（有的也称3层）
输入信号会被函数h(x)转换，转换后的值就是输出y
激活函数
h(x)函数会将输入信号的总和转换为输出信息，这种函数称之为激活函数。
激活函数的作用在于决定如何来激活输入信号的总和。
信号加权和为节点a,节点a被激活函数h()转换成节点y。
a与y称为节点（神经元）。h()为激活函数。
激活函数是连接感知机和神经网络的桥梁。
一般而言，“朴素感知机”是指单层网络，指的是激活函数使用了阶跃函数 A 的模型。
“多层感知机”是指神经网络，即使用sigmoid 函数（后述）等平滑的激活函数的多层网络。
阶跃函数
阶跃函数是指一旦输入超过阈值，就切换输出的函数。
阶跃函数图形：
代码：
sigmoid函数
e为自然常数（纳皮尔常数）2.7182……
代码：
sigmoid函数与阶跃函数对比
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|
Sigmoid函数 |
阶跃函数 |
| 范围 |
（0，1） |
0或1 |
| 平滑性 |
平滑 |
突变 |
| 共同特征 |
输入小时，输出接近0（为0）； |
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注意：激活函数必须使用非线性函数。
线性函数的问题在于，不管如何加深层数，总是存在与之等效的“无隐藏层的神经网络”。举例：我们考虑把线性函数 h(x) = cx 作为激活函数，把y(x) = h(h(h(x)))的运算对应3层神经网络 A。这个运算会进行y(x) = c × c × c × x的乘法运算，但是同样的处理可以由y(x) = ax（注意，a = c3）这一次乘法运算（即没有隐藏层的神经网络）来表示。如本例所示，使用线性函数时，无法发挥多层网络带来的优势。因此，为了发挥叠加层所带来的优势，激活函数必须使用非线性函数。
ReLU函数
ReLU（ Rectifed Linear Unit）函数：ReLU函数在输入大于0时，直接输出该值；在输入小于等于0时，输出0。
代码：
神经网络
神经网络的内积
3层神经网络的实现
权重的符号：
各层间信号的传递：
从第0层到第1层：
B的个数是由该层输出神经元的个数决定的。
各元素的形状：
X ---2
W----2X3
B----3
A ----3
从第1层到第2层：
从第2层到第3层：
输出层的激活函数用σ()表示，不同于隐藏层的激活函数h()（ σ读作sigma）。
用σ（）表示输出层的激活函数。h()表示隐藏层的激活函数。
代码实现：
identity_function()函数（也称为“恒等函数”），并将其作为输出层的激活函数。恒等函数会将输入按原样输出，因此，这个例子中没有必要特意定义 identity_function()。这里这样实现只是为了和之前的流程保持统一。
输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。
一般地，回归问题可以使用恒等函数，
二元分类问题可以使用 sigmoid 函数，
多元分类问题可以使用 softmax 函数。
输出层设计
回归问题：à恒等函数
分类问题：àsoftmax函数
恒等函数
softmax函数
exp(x)是表示ex的指数函数（e是纳皮尔常数2.7182 . . .）。假设输出层共有n个神经元，计算第k个神经元的输出yk。如上式所示，softmax函数的分子是输入信号ak的指数函数，分母是所有输入信号的指数函数的和。
注意：softmax函数的实现中要进行指数函数的运算，但是此时指数函数的值很容易变得非常大，会发生溢出。
将上式进行改进：
其中C’可以为任意值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。
改进后的softmax函数：
(a-c)是为了防止溢出。
softmax函数的特征
1，输出为0到1之间的实数，
2，输出值的总和为1.因此可以把softmax函数的输出解释为“概率”。
这里需要注意的是，即便使用了softmax函数，各个元素之间的大小关系也不会改变。这是因为指数函数（ y = exp(x)）是单调递增函数。实际上，上例中 a的各元素的大小关系和 y的各元素的大小关系并没有改变。比如， a的最大值是第2个元素， y的最大值也仍是第2个元素。
一般而言，神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果。并且，即便使用softmax函数，输出值最大的神经元的位置也不会变。因此，神经网络在进行分类时，输出层的softmax函数可以省略。在实际的问题中，由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的softmax函数一般会被省略。
手写体数字的识别
load_mnist函数以“ (训练图像,训练标签)，(测试图像，测试标签)”的形式返回读入的MNIST数据。
load_mnist(normalize=True,flatten=True, one_hot_label=False)设 置 3 个 参 数。
第 1 个 参 数normalize设置是否将输入图像正规化为0.0～1.0的值。如果将该参数设置
为 False，则输入图像的像素会保持原来的0～255。
第2个参数 flatten设置是否展开输入图像（变成一维数组）。如果将该参数设置为 False，则输入图像为1 × 28 × 28的三维数组；若设置为 True，则输入图像会保存为由784个元素构成的一维数组。
第3个参数 one_hot_label设置是否将标签保存为onehot表示（ one-hot representation）。 one-hot表示是仅正确解标签为1，其余皆为0的数组，就像 [0,0,1,0,0,0,0,0,0,0]这样。当 one_hot_label为 False时，只是像 7、 2这样简单保存正确解标签；当 one_hot_label为 True时，标签则保存为one-hot表示。
显示某张图片和它对应的标签
神经网络的预测
在这个例子中， load_mnist函数的参数 normalize设置成了True。
将 normalize设置成 True后，函数内部会进行转换，将图像的各个像素值除以255，使得数据的值在0.0～1.0的范围内。像这样把数据限定到某个范围内的处理称为正规化（ normalization）。此外，对神经网络的输入数据进行某种既定的转换称为预处理（ pre-processing）。这里，作为对输入图像的一种预处理，我们进行了正规化。
预处理方法：利用数据整体的均值或标准差，移动数据，使数据整体以 0 为中心分布，或者进行正规化，把数据的延展控制在一定范围内。除此之外，还有将数据整体的分布形状均匀化的方法，即数据白化（whitening）等。
批处理
从整体的处理流程来看，输入一个由784个元素（原本是一个28 × 28的二维数组）构成的一维数组后，输出一个有10个元素的一维数组。
现在我们来考虑打包输入多张图像的情形。比如，我们想用 predict()函数一次性打包处理100张图像。为此，可以把x的形状改为100 × 784，将100张图像打包作为输入数据。
输入数据的形状为 100 × 784，输出数据的形状为100 × 10。这表示输入的100张图像的结果被一次性输出了。比如， x[0]和y[0]中保存了第0张图像及其推理结果， x[1]和 y[1]中保存了第1张图像及其推理结果，等等。
axis=1，指的是沿着第1维方向,100 X 10à100 X 1。（axis指的哪个维度，哪个维度就会消失）
axis=0，指的是第0个维度。
矩阵的第0维是列方向，第1维是行方向。
二维数据拥有两个轴：第0轴沿着行的垂直往下，第1轴沿着列的方向水平延伸。
总结
1. 神经网络中的激活函数使用平滑变化的sigmoid函数或ReLU函数。
2.机器学习的问题大体上可以分为回归问题和分类问题。
3.关于输出层的激活函数，回归问题中一般用恒等函数，分类问题中一般用softmax函数。
4.分类问题中，输出层的神经元的数量设置为要分类的类别数。
5.输入数据的集合称为批。通过以批为单位进行推理处理，能够实现
高速的运算。
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