P NP NP-Complete NP-Hard问题的定义和区别

基础知识

1. 多项式时间复杂度可解：如果一个问题可以在$O(n^k)$时间复杂度内得到解决，称该问题在多项式时间复杂度内可解，其中，n是实例的长度，k是固定常数。
2. 规约：对于两个问题$L_1和L_2$，若存在多项式时间复杂度的函数$f$，将L1中的实例对应到L2中，则称$L_2$可规约到$L_1$，记作$L_1{\subseteq }_P{L}_2$.

P(polynomial)问题

对一个问题，若存在算法，可在多项式时间复杂度内求解该问题，称该问题为P问题。

NP(non-deterministic polynomial)问题

对于一个问题，若存在算法，能在多项式时间复杂度内验证一个解是否成立，则该问题称为NP问题。

NP-Complete问题

若一个$L$问题满足一下两个条件：

1. 该问题是NP问题；
2. 对于任意的NP问题$L^{’}$，都有$L^{’}{\subseteq }_{P}L$，即所有NP问题复杂度都小于L问题。
   则称该问题为NP完全问题。

NP-hard问题

若一个问题L只满足NP完全问题条件中的第2条，称该问题为NP-hard问题。

各问题难易程度

P $\subseteq$ NP $\subseteq$ NP-C $\subseteq$ NP-H