匈牙利算法【匹配问题】

匈牙利算法：

匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法，除了二分图多重匹配外均可使用

匈牙利算法实际上就是一种网络流的思想，其核心就是寻找增广路。具体操作就是嗯。。拉郎配

 

匈牙利算法适用的场合：

1. 二分图匹配
2. 链上的匹配问题
3. 一般图匹配等其他点的个数较小的匹配问题

 

举个以前写的博客的例子

 

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

 

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

 

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

 

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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

 

(黄色表示这条边被临时拆掉)

 

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

 

 

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

 

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

 

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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

 

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

 

算法步骤（基于二分图）

1. 如果题目初始的时候给出的是一副一般图，我们可以利用拓扑染色（2-SAT、种类并查集等等）的方式来让他变成一个二分图。
2. 将二分图分成X部和Y部，我们现在的做法是通过X部去匹配Y部；
3. 我们从1～cnt_X的去枚举，如果没有被对面的Y给匹配过的，我们试着让他去匹配对应的有链接边的Y部，如果对面的Y部对应的点y是没有被匹配的，或者链接对应y的x是可以换一个没有被匹配过的点的，那么我们就让x去换，并且让我们现在枚举的1～cnt_X去链接对应的点
4. 在算法上的优化，我们不难发现，如果目前的1～cnt_Y中的某个y在这一回合的匹配中是被利用过了的，那么也就是说，后面的点都是已经被操作过（且为false的），说明我们不用再继续往下跑了，所以可以利用一个vis标记来进行优化。在枚举x的1～cnt_X的同时，我们进入“腾”这个操作的时候，就是需要去对1～cnt_Y进行vis清空操作。

 

算法步骤（基于链）

1. 链上的匈牙利算法的算法结构并不特殊，只是对于建边的时候需要慎重考虑。
2. 它是在一条链上的匹配，我们当去寻求匹配对象的时候，我们要尽可能的先把前面的link[x]覆盖，不然当我们匹配到后面的时候却已经被覆盖了，不是最优解。
3. 所以，我们的建边尽可能是要从后面的结点指向前面的结点，例如i -> j（i > j）。
4. 然后，我们1～N的枚举，当前的点一定是没有被匹配过的，因为操作3保证了。所以，我们直接去寻求匹配即可。

 

例题讲解（不按难度顺序排列）

 

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Oil Skimming

 HDU - 4185

  这道题的精髓在于，i点和j点是成对匹配的。也就是说，当我们匹配上j点的时候，事实上，i点同时被j点匹配，所以我们一次操作的时候是需要赋值两次。

            link[v] = u;
            link[u] = v;

也就是这样。

My Code

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Taxi Cab Scheme

 HDU - 1350

  这道题就是一道很模版的匈牙利算法在链上的操作了。

  有N个人，他们在特定的时间(hour : minute)要从地点(a, b)前往地点(c, d)，然后呢，我们如果说前一个人i的出租车可以开回来再接j这个人，那么他们就可以少叫一辆出租车了。现在，题目想知道最少的需求的出租车的个数。

图文讲解 + 代码

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过山车

 HDU - 2063

  匈牙利算法的模板题，这里给出主要的结构。理清楚，我们在哪个位置要清空X的内容，在哪个位置是要去清空Y部的内容，我这里并没有去用拆点或者使用memset()来逃避这两个问题。

bool match(int u)
{
    for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
    {
        v = edge[i].to;
        if(vis[v]) continue;
        vis[v] = true;
        if(!link[v] || match(link[v]))
        {
            link[v] = u;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
inline int Hungery()
{
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=M; i++) link[i] = 0;
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        for(int j=1; j<=M; j++) vis[j] = false;
        if(match(i)) ans++;
    }
    return ans;
}

这两行是主要的代码，要仔细看清哪里用的是X，哪里用的是Y。（N对应X，M对应Y）

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棋盘游戏

 HDU - 1281

  看着题意很复杂，但是我们可以简化一下。

  不能横竖给交叉了，实际上指的是每个对应的x坐标对应唯一的y坐标，我们基于这点去对于二维平面进行匈牙利算法即可。复杂度是，其中的源于匈牙利算法的复杂度。

  判断是否是重要结点，可以自己想想看。

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