PolyLoss: A Polynomial Expansion Perspective of Classification Loss Functions

摘要

在分类问题中，常使用Cross-entropy loss和Focal loss。通过泰勒展开来逼近函数，作者提出了一个简单的框架，称为PolyLoss，将损失函数设计为多项式函数的线性组合。PolyLoss可以让Polynomial bases（多项式基）根据目标任务和数据集进行调整，同时也可以将上述Cross-entropy loss和Focal loss作为PolyLoss的特殊情况。PolyLoss在二维图像分类、实例分割、目标检测和三维目标检测任务上都明显优于Cross-entropy loss和Focal loss。

主要贡献

本文主要是提出了一个新的框架来理解和设计损失函数。
思路为常用的分类损失函数，如Cross-entropy loss和Focal loss，分解为一系列加权多项式基，多项式系数为标类标签的预测概率。每个多项式基由相应的多项式系数进行加权。
Cross-entropy loss和Focal loss是PolyLoss的两种常用情况。
在不同的任务和数据集需要调整多项式系数，只需调整单多项式系数，即可实现比Cross-entropy loss和Focal loss的更好的性能。

公式

Cross-entropy loss和Focal loss的泰勒展开式如下，式中为模型对目标类的预测概率。

在PolyLoss框架中，使用梯度下降法来优化交叉熵损失需要对Pt进行梯度求导，系数$1/j$可与指数$j$抵消。
可得公式3。

因此Cross-entropy loss的梯度变成了多项式的和。
在PolyLoss框架中，Focal loss通过调制因子γ简单地将移动。这相当于水平移动所有的多项式系数的γ。
Focal loss梯度如下。

对于正的γ，Focal loss的梯度降低了Cross-entropy loss中恒定的梯度项1。
通过将所有多项式项的幂移动γ，第1项就变成$(1-P_t{)}^{\gamma }$，被γ抑制，以避免过拟合到(即接近1)多数类。
一般来说，PolyLoss是[0,1]上的单调递减函数，可以表示为
${\sum }_{j=1}^{\infty }{\alpha }_i(1-P_t{)}^j$,
并提供了一个灵活的框架来调整每个系数。
PolyLoss可以推广到非整数j，但为简单起见，只关注整数幂。

多项式系数的影响

探索了3种分配多项式系数的不同策略:

• 去掉高阶项
• 调整多个靠前多项式系数
• 调整第1个多项式系数

结果如图1。

图1

作者发现，调整第1个多项式系数(Poly-1)便可以最大的增益，而且仅仅需要很小的代码更改和超参数调整。

高阶多项式项的删除

已有研究表明，降低高阶多项式和调整前置多项式可以提高模型的鲁棒性和性能。作者采用相同的损失公式，并在ImageNet-1K上比较它们与基线Cross-entropy loss的性能。

图2

图2a所示，需要求和超过600个多项式项才能匹配Cross-entropy loss的精度。值得注意的是，去除高阶多项式不能简单地解释为调整学习率。为了验证这一点，图2b比较了在不同的截止条件下不同学习率下的性能:无论从初始值0.1增加或减少学习率，准确率都会变差。
在PolyLoss框架中，丢弃高阶多项式等价于将所有高阶(j>N+1)多项式系数垂直推到0。

扰动重要的多项式系数

一般来说，有无穷多个多项式系数需要调节。因此，对最一般损失进行优化是不可行的。
如果将方程中的无限和截断到前几百项，那么对这么多多项式的调优系数会带来一个非常大的搜索空间。此外，综合调整许多系数也不会优于Cross-entropy loss。
为了解决这一问题，作者提出扰动交叉熵损失中的重要的多项式系数（前N项），同时保持其余部分不变。将所提出的损失公式表示为，其中N表示将被调整的重要系数（前N项）的数量。

这里用$1/j+{\epsilon }_j$替代$1/j$,${\epsilon }_j\in [-1/j,\infty ]$是扰动项。
这使得可以精确地定位第1个N个多项式，而不需要担心无限多个高阶(j>N+1)系数。
图3表示PolyLoss性能优于Cross-entropy loss。

图3

简化

作者发现调整第1个多项式项会带来最显著的增益。在本节中，进一步简化了Poly-N公式，并重点计算了Poly-1，其中只修改了Cross-entropy loss中的第1个多项式系数。

作者还研究了不同第1项缩放对精度的影响，并观察到增加第1个多项式系数可以提高ResNet-50的精度，如图4a所示。

图4

实验

图像分类上。

目标检测上。

3D目标检测上。