【机器学习】支持向量机【上】硬间隔

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在阅读本篇之前建议先学习：
【机器学习】拉格朗日对偶性
【机器学习】核函数

由于字数限制，分成两篇博客。
【机器学习】支持向量机【上】硬间隔
【机器学习】支持向量机【下】软间隔与核函数

支持向量机

支持向量机（support vector machines，SVM）是一种二分类模型。它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器，其决策方式与感知机一致，但是采用最大间隔的思想进行学习使它有别于感知机。支持向量机学习方法包含构建由简至繁的模型：线性可分支持向量机（linear support vector machine in linearly separable case）、线性支持向量机（linear support vector machine）以及非线性支持向量机（non-linear support vector machine）。当训练数据线性可分时，通过硬间隔最大化（hard margin maximization）学习一个线性的分类器，即线性可分支持向量机，又称为硬间隔支持向量机；当训练数据近似线性可分时，通过软间隔最大化（soft margin maximization），也学习一个线性的分类器，即线性支持向量机，又称为软间隔支持向量机；当训练数据线性不可分时，通过使用核技巧（kernel trick）及软间隔最大化，学习非线性支持向量机。

线性可分支持向量机

硬间隔最大化

给定数据集 $D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)\}$，$x_i\in {\mathbb{R}}^d$，$y_i\in \{-1,+1\}$，分类学习最基本的想法就是基于训练集 $D$ 在样本空间找到一个划分超平面，将不同类别的样本分开。在感知机算法中，参数初值的选取影响最终确定的划分超平面，这是因为能将训练样本分开的划分超平面可能很多，而支持向量机通过对感知机算法进一步限制，意在找到唯一“最佳”划分超平面。

图 1    存在多个划分超平面将两类训练样本分开

直观上看，应该去找位于两类训练样本“正中间”的划分超平面，也就是“最佳”划分超平面，即图 $1$ 中红色直线，因为该划分超平面对训练样本局部扰动的“容忍”性最好。比如，对于绿色划分超平面而言，紧邻这些超平面的样本仅仅是发生轻微变动，便会出现越过超平面的情况，此时划分超平面将不再能将训练集正确划分，而红色划分超平面距离两类样本都比较远，分类结果受轻微变动的影响最小。换言之，红色划分超平面所产生的分类结果是最鲁棒的，泛化能力最强。

在样本空间中，划分超平面可通过如下线性方程来描述：
$$w^{T}x+b=0$$
其中 $w={\left(\begin{array}{cccc}{w}_1& w_2& \dots & w_d\end{array}\right)}^T$ 为法向量，决定了超平面的方向；$b$ 为偏置项，（与 $w$ 共同）决定了超平面与原点之间的距离。划分超平面可以被法向量 $w$ 和偏置 $b$ 确定，将超平面记为 $(w,b)$。样本空间中任意点 $x$ 到超平面 $(w,b)$ 的距离可写为
$$r=\frac{|w^{T}x+b|}{||w||}$$
假设超平面 $(w,b)$ 能将训练样本正确分类，即对于 $(x_i,y_i)\in D$，若 $y_i=+1$，则有 $w^T{x}_i+b>0$；若 $y=-1$，则有 $w^T{x}_i+b<0$。令
$$\{\begin{array}{cc}{w}^T{x}_i+b\ge +1,& y_i=+1\\ w^T{x}_i+b\le -1,& y_i=-1\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

对式 $(1)$ 讲解。

由于训练集样本线性可分，所以无论两类样本有多么临近，总是可以找到一个划分超平面 $(w,b)$，将样本正确划分且无样本落在该超平面上。

同样地，也可以找到两个分别位于划分超平面两侧且与之平行的超平面，无论两类样本有多么临近，我们都能够通过让两个超平面不断靠近划分超平面，来保证两类样本同时满足位于两个超平面的两侧，或落在两个超平面上，此时两个超平面之间的空间不存在样本。

所谓的“让两个超平面不断靠近划分超平面”，相当于让两个超平面的距离尽可能小。假设两个超平面方程为 $w^{T}x+b=C$ 和 $w^{T}x+b=D$，其中 $C$ 和 $D$ 均为常数，且满足 $C\cdot D<0$，则超平面距离表示为 $|C-D|/||w||$。可见，只要控制 $w$ 尽可能大，就能够保证两个超平面距离无限小，即无限靠近。显然，$C$ 和 $D$ 的具体取值不会影响分类结果，即对于 $C$ 和 $D$ 任何符合条件的取值，总可以找到合适的 $w$，使两类样本分别位于两个超平面两侧或落在超平面上，此时两类样本也一定位于划分超平面两侧。当 $C$ 和 $D$ 分别取为 $+1$ 和 $-1$ 时得到式 $(1)$。

如图 $2$ 所示，距离超平面最近的这几个训练样本点使式 $(1)$ 的等号成立，它们被称为“支持向量”（support vector），两个异类支持向量到超平面的距离之和为
$$\gamma =\frac{2}{||w||}$$
它被称为“间隔”（margin）。

在决定分离超平面时只有支持向量起作用，而其他样本点并不起作用。如果移动支持向量将改变所求的解；但是如果在间隔边界以外移动其他样本点，甚至去掉这些点，则解是不会改变的。由于支持向量在确定分离超平面中起着决定性作用，所以将这种分类模型称为支持向量机。支持向量的个数一般很少，所以支持向量机由很少的“重要的”训练样本确定。

图 2    支持向量与间隔

欲找到具有“最大间隔”（maximum margin）的划分超平面，也就是要找到能满足式 $(1)$ 中约束的参数 $w$ 和 $b$，使得 $\gamma$ 最大，即
$$\begin{gathered} \underset{w,b}{\max }\frac{2}{||w||} \\ s.t.y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,i=1,2,\dots ,n \end{gathered}$$
显然，为了最大化间隔，仅需最大化 $||w|{|}^{-1}$，这等价于最小化 $||w|{|}^2$。上式重写为
$$\begin{gathered} \underset{w,b}{\min }\frac{1}{2}||w|{|}^2 \\ s.t.y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,i=1,2,\dots ,n\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
如果求出了约束最优化问题式 $(2)$ 的最优解 $w^{\ast }$ 和 $b^{\ast }$，那么就可以得到最大间隔划分超平面 ${w^{\ast }}^{T}x+b^{\ast }=0$ 及分类决策函数 $f(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}({w^{\ast }}^{T}x+b^{\ast })$，即线性可分支持向量机模型。

对偶问题

注意到式 $(2)$ 本身是个凸优化问题，甚至是凸二次规划问题，能直接用现成的优化计算包求解，但是我们可以考虑其对偶问题，实现更高效的求解。将式 $(2)$ 作为原始最优化问题，应用拉格朗日对偶性，通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。这样做的优点，一是对偶问题往往更容易求解；二是自然引入核函数，进而推广到非线性分类问题。

构建广义拉格朗日函数

$$\begin{array}{rl}L(w,b,\alpha )& =\frac{1}{2}||w|{|}^2+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i(1-y_i(w^T{x}_i+b))\\ & =\frac{1}{2}||w|{|}^2-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i(w^T{x}_i+b)+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\end{array}$$

其中，$\alpha =\{{\alpha }_i\}$ 为拉格朗日乘子，且满足 ${\alpha }_i\ge 0$。

根据拉格朗日对偶性，原始问题的对偶问题为
$$\underset{\alpha }{\max }\underset{w,b}{\min }L(w,b,\alpha )$$
先求 $L(w,b,\alpha )$ 对 $w$ 和 $b$ 的极小。将拉格朗日函数 $L(w,b,\alpha )$ 分别对 $w,b$ 求偏导并令其等于零
$$\begin{gathered} {\nabla }_{w}L(w,b,\alpha )=w-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i=0 \\ {\nabla }_{b}L(w,b,\alpha )=-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0 \end{gathered}$$
得
$$w=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

将式 $(3)$ 代入拉格朗日函数，并利用式 $(4)$，得

$$\begin{array}{rl}L(w,b,\alpha )& =\frac{1}{2}{\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i\right)}^T\left(\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j\right)-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i\left((\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{y}_j{x}_j{)}^T{x}_i+b\right)+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i^T{x}_j)-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i^T{x}_j)-b\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\\ & =-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i^T{x}_j)+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\end{array}$$

即

$$\underset{w,b}{\min }L(w,b,\alpha )=-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i^T{x}_j)+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$$

再求 $\underset{w,b}{\min }L(w,b,\alpha )$ 对 $\alpha$ 的极大，即是对偶问题

$$\begin{gathered} \underset{\alpha }{\max }-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i^T{x}_j)+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i \\ s.t.\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0 \\ {\alpha }_i\ge 0,i=1,2,\dots ,n \end{gathered}$$

将目标函数转化为等价的求极小形式

$$\begin{gathered} \underset{\alpha }{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i^T{x}_j)-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i \\ s.t.\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0 \\ {\alpha }_i\ge 0,i=1,2,\dots ,n \end{gathered}$$

原始问题式 $(2)$ 为凸优化问题，且满足 Slater 条件，所以问题具有强对偶性，而且存在 $w^{\ast }$，$b^{\ast }$ 和 ${\alpha }^{\ast }$，使 $w^{\ast }$ 和 $b^{\ast }$ 是原始问题的解，${\alpha }^{\ast }$ 是对偶问题的解。

由于问题具有强对偶性，所以 KKT 条件成立，即得
$$\begin{gathered} y_i({w^{\ast }}^T{x}_i+b^{\ast })-1\ge 0,i=1,2,\dots ,n \\ {\nabla }_{w}L(w^{\ast },b^{\ast },{\alpha }^{\ast })=w^{\ast }-\sum _{i=1}^n{\alpha }^{\ast }{y}_i{x}_i=0 \\ {\nabla }_{b}L(w^{\ast },b^{\ast },{\alpha }^{\ast })=-\sum _{i=1}^n{\alpha }^{\ast }{y}_i=0 \\ {\alpha }_i^{\ast }\ge 0,i=1,2,\dots ,n \\ {\alpha }_i^{\ast }(y_i({w^{\ast }}^T{x}_i+b^{\ast })-1)=0,i=1,2,\dots ,n \end{gathered}$$
由此可得
$$w^{\ast }=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^{\ast }{y}_i{x}_i\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中至少有一个 ${\alpha }_j^{\ast }>0$（反证法：假设 ${\alpha }^{\ast }=0$，由式 $(5)$ 可知 $w^{\ast }=0$，而 $w^{\ast }=0$ 不是原始问题式 $(2)$ 的解，产生矛盾），对此 $j$ 有
$$y_j({w^{\ast }}^T{x}_j+b^{\ast })-1=0\text{\hspace{1em}(6)}$$

式 $(6)$ 中的样本 $x_j$ 为支持向量，对于支持向量而言，其对应的 ${\alpha }_j^{\ast }>0$，而其他样本对应的 ${\alpha }_i^{\ast }=0,i\ne j$。这也是 KKT 条件中的互补松弛条件的意义。

将式 $(5)$ 代入式 $(6)$，并注意到 $y_j^2=1$，即得
$$\begin{gathered} y_i(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i^T{x}_j)+b^{\ast })=1 \\ \sum _{i=1}^n{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i^T{x}_j)+b^{\ast }=y_j \end{gathered}$$
解得
$$b^{\ast }=y_j-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i^T{x}_j)\text{\hspace{1em}(7)}$$
划分超平面可以写为
$$\sum _{i=1}^n{\alpha }^{\ast }{y}_i(x_i^{T}x)+b^{\ast }=0$$
分类决策函数可以写为
$$f(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sum _{i=1}^n{\alpha }^{\ast }{y}_i(x_i^{T}x)+b^{\ast })\text{\hspace{1em}(8)}$$
可见，分类决策函数只依赖于输入$x$ 和训练样本输入的内积。式 $(8)$ 称为线性可分支持向量机的对偶形式。

综上所述，对于给定的线性可分训练数据集，可以首先求对偶问题的解 ${\alpha }^{\ast }$；再利用式 $(5)$ 和式 $(7)$ 求得原始问题的解 $w^{\ast }$ 和 $b^{\ast }$；从而得到分离超平面及分类决策函数。这种算法称为线性可分支持向量机的对偶学习算法，是线性可分支持向量机学习的基本算法。完整算法流程如下：

$$\begin{array}{ll}\text{输入:}& 线性可分训练集D=\{(x_1,y_1),\cdot \cdot \cdot ,(x_n,y_n)\},其中x_i\in {\mathbb{R}}^d,y_i\in \{+1,-1\},i=1,\dots ,n\\ \text{过程:}& \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}1:& 构造并求解约束最优化问题\\ & \\ & \begin{array}{ccc}& \underset{\alpha }{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i^T{x}_j)-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i& \\ & s.t.\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0& \\ & {\alpha }_i\ge 0,i=1,2,\dots ,n& \\ & & \end{array}\\ & 求得最优解{\alpha }^{\ast }=\{{\alpha }_i^{\ast }\},i=1,2,\dots ,n\\ 2:& 计算\\ & \\ & \begin{array}{ccc}& & w^{\ast }=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^{\ast }{y}_i{x}_i\end{array}\\ & \\ 3:& 选择{\alpha }_j^{\ast }>0,计算\\ & \\ & \begin{array}{ccc}& & b^{\ast }=y_j-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i^T{x}_j)\end{array}\\ & \\ 4:& 求得划分超平面\\ & \\ & \begin{array}{ccc}& & {w^{\ast }}^{T}x+b^{\ast }=0\end{array}\\ & \\ & 分类决策函数\\ & \\ & \begin{array}{ccc}& & f(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}({w^{\ast }}^{T}x+b^{\ast })\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{lcccccccccccccccccc}\text{输出:}划分超平面和分类决策函数& & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

算法 1    线性可分支持向量机学习算法

算法 $1$ 还遗留着一个问题，${\alpha }^{\ast }$ 如何求解。注意到约束最优化问题的约束条件 ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0$，其中 $y_i=\pm 1$，所以该等式约束条件可以很容易变形为一个 ${\alpha }_i$ 由多个其他的 ${\alpha }_j$ 表示的形式。将 ${\alpha }_i$ 的表达式代入目标函数，求偏导并令偏导等于零，便可计算出 ${\alpha }^{\ast }$。还应该注意到问题有另外一个不等式约束条件 ${\alpha }_i\ge 0$，所以令偏导为零计算出的 ${\alpha }^{\ast }$ 不一定满足不等式约束，但是这也就意味着最优解在不等式约束边界（即取等）取到。具体做法见下面的例题。

例题：训练数据正样本是 $x_1=(3,3{)}^T$，$x_2=(4,3{)}^T$，负样本是 $x_3=(1,1{)}^T$，试用算法 $1$ 求线性可分支持向量机。

根据所给数据，对偶问题为
$$\begin{array}{rl}\underset{\alpha }{\min }& \frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_u{y}_j(x_i^T{x}_j)-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\\ & =\frac{1}{2}(18{\alpha }_1^2+25{\alpha }_2^2+2{\alpha }_3^2+42{\alpha }_1{\alpha }_2-12{\alpha }_1{\alpha }_3-14{\alpha }_2{\alpha }_3)-{\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3\\ s.t.& {\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3=0\\ & {\alpha }_i\ge 0,i=1,2,3\end{array}$$
解这一最优化问题。将 ${\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2$ 代入目标函数并记为
$$s({\alpha }_1,{\alpha }_2)=4{\alpha }_1^2+\frac{13}{2}{\alpha }_2^2+10{\alpha }_1{\alpha }_2-2{\alpha }_1-2{\alpha }_2$$
对 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 求偏导数并令其为 $0$，易知 $s({\alpha }_1,{\alpha }_2)$ 在点 $\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2},-1\end{array}\right)$ 取极值，但该点不满足约束条件 ${\alpha }_2\ge 0$，所以最小值应在边界上达到。

当 ${\alpha }_1=0$ 时，最小值 $s(0,\frac{2}{13})=-\frac{2}{13}$；当 ${\alpha }_2=0$ 时，最小值 $s(\frac{1}{4},0)=-\frac{1}{4}$。于是 $s({\alpha }_1,{\alpha }_2)$ 在 ${\alpha }_1=\frac{1}{4}$，${\alpha }_2=0$ 达到最小。此时 ${\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2=\frac{1}{4}$。

这样，${\alpha }_1^{\ast }={\alpha }_3^{\ast }=\frac{1}{4}$ 对应的样本点 $x_1$ 和 $x_3$ 是支持向量。根据式 $(5)$ 和 $(7)$ 计算得
$$\begin{gathered} w_1^{\ast }=w_2^{\ast }=\frac{1}{2} \\ {b}^{\ast }=-2 \end{gathered}$$
划分超平面为
$$\frac{1}{2}{x}^{(1)}+\frac{1}{2}{x}^{(2)}-2=0$$
分类决策函数为
$$f(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\frac{1}{2}{x}^{(1)}+\frac{1}{2}{x}^{(2)}-2)$$