[矩阵论] Unit 1. 线性空间与线性变换 - 知识点整理
- 注: 以下内容均由个人整理, 不保证完全准确, 如有纰漏, 欢迎交流讨论
- 参考: 杨明, 刘先忠. 矩阵论(第二版)[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2005
1 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
线性空间
Def 1.1: 设 V V V 是一个非空集合( V ≠ ∅ V\neq \varnothing V=∅)， F F F 是一个数域．在其中定义两种运算, 加法与数乘(满足封闭性)： ∀ α , β ∈ V , α + β ∈ V ; \forall \alpha,\beta\in V,\alpha+\beta\in V; ∀α,β∈V,α+β∈V; ∀ α ∈ V , k ∈ F , k α ∈ V \forall\alpha\in V,k\in F,k\alpha\in V ∀α∈V,k∈F,kα∈V 并且满足下面 8 条运算性质:
5 条运算律:
- 加法交换律: α + β = β + α \alpha+\beta=\beta+\alpha α+β=β+α
- 加法结合律: ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)
- 数乘结合律: ( k l ) α = k ( l α ) (kl)\alpha=k(l\alpha) (kl)α=k(lα)
- 乘法分配律: ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ
3 个特殊元素:
- 零元(唯一): ∃ α 0 ∈ V , ∀ α ∈ V , α + α 0 = α \exists\alpha_0\in V,\forall\alpha\in V,\alpha+\alpha_0=\alpha ∃α0∈V,∀α∈V,α+α0=α, 记 α 0 = 0 ⃗ \alpha_0=\vec{0} α0=0
- 负元(唯一): ∀ α ∈ V , ∃ β ∈ V : α + β = 0 ⃗ \forall\alpha\in V,\exists\beta\in V:\alpha+\beta=\vec{0} ∀α∈V,∃β∈V:α+β=0, 记 β = − α \beta=-\alpha β=−α
- 数 1: ∃ 1 ∈ F , 1 ⋅ α = α \exists 1\in F,1\cdot\alpha=\alpha ∃1∈F,1⋅α=α
则称 V V V 是数域 F F F 上的线性空间, 记为 V ( F ) V(F) V(F).
注: 判断是否为线性空间时, 注意加法封闭性
线性空间的基
Def’ 1.2: ∃ α 1 , α 2 , . . . , α n ∈ V ( F ) : \exists\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\in V(F): ∃α1,α2,...,αn∈V(F): ∀ β ∈ V , β = ∑ i = 1 n x i α i = [ α 1 , . . . , α n ] [ x 1 , . . . , x n ] T \forall\beta\in V, \beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i=[\alpha_1,...,\alpha_n][x_1,...,x_n]^T ∀β∈V,β=∑i=1nxiαi=[α1,...,αn][x1,...,xn]T, 则称 { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\} {α1,α2,...,αn} 是 V ( F ) V(F) V(F) 的一组基.
- d i m V = n dim V=n dimV=n(即基向量的个数), V n ( F ) V_n(F) Vn(F)
坐标
Def’: V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 中, 基 { α i } \{\alpha_i\} {αi}, β = ∑ i = 1 n x i α i \beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i β=∑i=1nxiαi, 则 { x i } \{x_i\} {xi} 为 β \beta β 在基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 下的坐标, X = ( x 1 , . . . , x n ) T X=(x_1,...,x_n)^T X=(x1,...,xn)T 为对应坐标(向量).
- 注: 坐标是列向量
同构
V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 通过基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 与数域 F F F 同构.
过渡矩阵与基变换公式
基变换公式: { α i } \{\alpha_i\} {αi} 和 { β i } \{\beta_i\} {βi} 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 两组基:
( β 1 , . . . , β n ) = ( α 1 , . . . , α n ) C n × n (\beta_1,...,\beta_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)C_{n\times n} (β1,...,βn)=(α1,...,αn)Cn×n
基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 到基 { β i } \{\beta_i\} {βi} 的过渡矩阵: C n × n C_{n\times n} Cn×n:
- C C C 的第 k k k 列是 β k \beta_k βk 在基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 下的坐标
- C C C 是非奇异矩阵( ∣ C ∣ ≠ 0 |C|\neq 0 ∣C∣=0)
坐标变换公式
V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 中两组基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 和 { β i } \{\beta_i\} {βi}: ( β 1 , . . . , β n ) = ( α 1 , . . . , α n ) C n × n (\beta_1,...,\beta_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)C_{n\times n} (β1,...,βn)=(α1,...,αn)Cn×n
设向量 α ∈ V \alpha\in V α∈V: α = ( α 1 , . . . , α n ) X \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)X α=(α1,...,αn)X, α = ( β 1 , . . . , β n ) Y \alpha=(\beta_1,...,\beta_n)Y α=(β1,...,βn)Y, 则:
X = C Y X=CY X=CY 或 Y = C − 1 X Y=C^{-1}X Y=C−1X
C C C 为基坐标从 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 到 { β i } \{\beta_i\} {βi} 的过渡矩阵.
子空间
Def’: W ⊆ V n ( F ) , W ≠ ∅ W\subseteq V_n(F),W\neq\varnothing W⊆Vn(F),W=∅, 若 W W W 的元素关于 V V V 中加法与数乘向量法运算也构成线性空间, 则称 W W W 是 V V V 的一个子空间．
判别: W W W 的线性运算(加法和数乘)封闭, W W W 中有零元 0 ⃗ ∈ W \vec{0}\in W 0∈W
由向量组 { α i } ⊆ V n ( F ) \{\alpha_i\}\subseteq V_n(F) {αi}⊆Vn(F) 生成的子空间: L { α 1 , . . . , α n } = { ∑ i = 1 n k i α i ∣ k i ∈ F } L\{\alpha_1,...,\alpha_n\}=\{\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i|k_i\in F\} L{α1,...,αn}={∑i=1nkiαi∣ki∈F}
矩阵的零空间 列空间
矩阵 A ∈ F m × n A\in F^{m\times n} A∈Fm×n 的零空间:
N ( A ) = { X ∈ F n : A X = 0 } = { [ A 1 , . . . , A n ] [ x 1 , . . . , x n ] T } = { ∑ i = 1 n A i x i } ⊆ F n N(A)=\{X\in F^n:AX=0\}=\{[A_1,...,A_n][x_1,...,x_n]^T\}=\{\sum_{i=1}^nA_ix_i\}\subseteq F^n N(A)={X∈Fn:AX=0}={[A1,...,An][x1,...,xn]T}={∑i=1nAixi}⊆Fn
矩阵 A ∈ F m × n A\in F^{m\times n} A∈Fm×n 的列空间(值空间):
R ( A ) = L { A 1 , . . . , A n } = { y : ∃ x ∈ F n , y = A x } ⊆ F m R(A)=L\{A_1,...,A_n\}=\{y:\exists x\in F^n,y=Ax\}\subseteq F^m R(A)=L{A1,...,An}={y:∃x∈Fn,y=Ax}⊆Fm, A i A_i Ai 为矩阵 A A A 的第 i i i 列
交空间 和空间
交空间: W 1 ∩ W 2 = { α ∣ α ∈ W 1 ∧ α ∈ W 2 } W_1\cap W_2=\{\alpha|\alpha\in W_1\wedge\alpha\in W_2\} W1∩W2={α∣α∈W1∧α∈W2}
和空间: W 1 + W 2 = { α = α 1 + α 2 ∣ α 1 ∈ W 1 , α 2 ∈ W 2 } W_1+W_2=\{\alpha=\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in W_1,\alpha_2\in W_2\} W1+W2={α=α1+α2∣α1∈W1,α2∈W2}
求法:
交空间: 满足子空间 W 1 , W 2 W_1, W_2 W1,W2 基构成的矩阵 ( A ∣ B ) = 0 (A|B)=0 (A∣B)=0
和空间: 合并两个子空间的基.
包含关系:
W 1 ∩ W 2 ⊆ W 1 , W 2 ⊂ W 1 + W 2 ⊆ V n ( F ) W_1\cap W_2\subseteq W_1, W_2\subset W_1+W_2\subseteq V_n(F) W1∩W2⊆W1,W2⊂W1+W2⊆Vn(F)
d i m ( W 1 ∩ W 2 ) ≤ d i m W i ≤ d i m ( W 1 + W 2 ) ≤ d i m V n ( F ) dim(W_1\cap W_2)\leq dimW_i\leq dim(W_1+W_2)\leq dimV_n(F) dim(W1∩W2)≤dimWi≤dim(W1+W2)≤dimVn(F)
Th 1.7 维数定理: d i m W 1 + d i m W 2 = d i m ( W 1 + W 2 ) + d i m ( W 1 ∩ W 2 ) dimW_1+dimW_2=dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2) dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)
子空间的直和
Def 1.6: 设 W 1 W_1 W1 和 W 2 W_2 W2 是线性空间 V V V 的子空间, W ＝ W 1 + W 2 W＝W_1+W_2 W＝W1+W2, 如果 W 1 ∩ W 2 ＝ { 0 ⃗ } W_1\cap W_2＝\{\vec{0}\} W1∩W2＝{0}, 则称 W W W 是 W 1 W_1 W1 与 W 2 W_2 W2 的直和子空间. 记为 W ＝ W 1 ⊕ W 2 W＝W_1\oplus W_2 W＝W1⊕W2．
直和子空间等价条件:
- W ＝ W 1 ⊕ W 2 W＝W_1\oplus W_2 W＝W1⊕W2
- ∀ X ∈ W , X = X 1 + X 2 , X 1 ∈ W 1 , X 2 ∈ W 2 \forall X\in W, X=X_1+X_2, X_1\in W_1, X_2\in W_2 ∀X∈W,X=X1+X2,X1∈W1,X2∈W2, X X X 表示唯一
- W W W 中零向量表示唯一: 0 ⃗ = X 1 + X 2 , X 1 ∈ W 1 , X 2 ∈ W 2 \vec{0}=X_1+X_2, X_1\in W_1, X_2\in W_2 0=X1+X2,X1∈W1,X2∈W2 ⇒ X 1 = 0 ⃗ , X 2 = 0 ⃗ X_1=\vec{0},X_2=\vec{0} X1=0,X2=0
- d i m W = d i m W 1 + d i m W 2 dimW=dimW_1+dimW_2 dimW=dimW1+dimW2
直和补子空间 U U U: V n = W ⊕ U V_n=W\oplus U Vn=W⊕U
1.2 内积空间
Def 1.7 内积 ( α , β ) : V n ( F ) → F (\alpha,\beta): V_n(F)\rightarrow F (α,β):Vn(F)→F: 满足
- 对称性: ( α , β ) = ( β , α ) (\alpha,\beta)=(\beta,\alpha) (α,β)=(β,α)
- 线性性: ( k α , β ) = k ( α , β ) (k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta) (kα,β)=k(α,β) ( α + β , γ ) = ( α , β ) + ( α , γ ) (\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma) (α+β,γ)=(α,β)+(α,γ)
- 正定性: ( α , α ) ≥ 0 (\alpha,\alpha)\geq 0 (α,α)≥0 ( α , α ) = 0 ⟺ α = 0 ⃗ (\alpha,\alpha)=0\iff\alpha=\vec{0} (α,α)=0⟺α=0
内积空间: [ V n ( F ) ; ( α , β ) ] [V_n(F);(\alpha,\beta)] [Vn(F);(α,β)]
欧式空间: F = R F=R F=R
酉空间: F = C F=C F=C
[ R n ; ( α , β ) = α T β = β T α ] [R^n;(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha] [Rn;(α,β)=αTβ=βTα] 标准正交基: 自然基 { e i } \{e_i\} {ei}
[ C n ; ( α , β ) = β H α ] [C^n;(\alpha,\beta)=\beta^H\alpha] [Cn;(α,β)=βHα], β H \beta^H βH 为 β \beta β 共轭转置 标准正交基: 自然基 { e i } \{e_i\} {ei}
[ R m × n ; ( A , B ) = t r ( B T A ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n b j i a i j ] [R^{m\times n};(A,B)=tr(B^TA)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nb_{ji}a_{ij}] [Rm×n;(A,B)=tr(BTA)=∑i=1m∑j=1nbjiaij] 标准正交基: 自然基 { E i } \{E_i\} {Ei}
[ C m × n ; ( A , B ) = t r ( B H A ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n b j i ‾ a i j ] [C^{m\times n};(A,B)=tr(B^HA)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\overline{b_{ji}}a_{ij}] [Cm×n;(A,B)=tr(BHA)=∑i=1m∑j=1nbjiaij] 标准正交基: 自然基 { E i } \{E_i\} {Ei}
向量长度
向量长度: ∣ ∣ α ∣ ∣ = ( α , α ) ||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} ∣∣α∣∣=(α,α), ∣ ∣ α ∣ ∣ = ∣ k ∣ ∥ α ∥ ||\alpha||=|k|\Vert\alpha\Vert ∣∣α∣∣=∣k∣∥α∥
Cauchy 不等式: ∣ ( α , β ) ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ β ∣ ∣ |(\alpha,\beta)|\leq||\alpha||\ ||\beta|| ∣(α,β)∣≤∣∣α∣∣ ∣∣β∣∣
三角不等式: ∣ ∣ α + β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha+\beta||\leq ||\alpha||+||\beta|| ∣∣α+β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣, ∣ ∣ α − β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha-\beta||\leq||\alpha||+||\beta|| ∣∣α−β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣
向量夹角 θ \theta θ: cos θ = ( α , β ) ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ β ∣ ∣ \cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{||\alpha||\ ||\beta||} cosθ=∣∣α∣∣ ∣∣β∣∣(α,β), α ≠ 0 ⃗ , β ≠ 0 ⃗ \alpha\neq\vec{0},\beta\neq\vec{0} α=0,β=0
线性空间内积的矩阵表示
设 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 一组基 { α i } \{\alpha_i\} {αi}, α , β ∈ V n ( F ) \alpha,\beta\in V_n(F) α,β∈Vn(F)
α , β \alpha,\beta α,β 坐标分别为 X , Y X,Y X,Y: α = ( α 1 , . . . , α n ) X \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)X α=(α1,...,αn)X, β = ( α 1 , . . . , α n ) Y \beta=(\alpha_1,...,\alpha_n)Y β=(α1,...,αn)Y, 则
( α , β ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i y j ‾ ( α i , α j ) = Y H A X = [ y 1 ‾ , . . . , y n ‾ ] T A [ x 1 , . . . , x n ] (\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_i\overline{y_j}(\alpha_i,\alpha_j)=\pmb{Y^HAX}=[\overline{y_1},...,\overline{y_n}]^T\ A\ [x_1,...,x_n] (α,β)=i=1∑nj=1∑nxiyj(αi,αj)=YHAXYHAXYHAX=[y1,...,yn]T A [x1,...,xn]
A A A 为度量矩阵: A H = A A^H=A AH=A 且 x H A x ≥ 0 x^HAx\geq 0 xHAx≥0
- 注: 度量矩阵与选择的基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 是对应的.
标准正交基
正交向量组 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} ⟺ ( α i , α j ) = 0 ⃗ , ∀ i ≠ j (\alpha_i,\alpha_j)=\vec{0},\forall i\neq j (αi,αj)=0,∀i=j (正交向量组线性无关)
标准正交基 { ϵ 1 , . . . ϵ n } \{\epsilon_1,...\epsilon_n\} {ϵ1,...ϵn} ⟺ ( ϵ i , ϵ j ) = { 1 i = j 0 i ≠ j (\epsilon_i,\epsilon_j)=\begin{cases}1\ &i=j\\0\ &i\neq j\end{cases} (ϵi,ϵj)={1 0 i=ji=j
标准正交基的度量矩阵是单位矩阵 A = I A = I A=I: ( α , β ) = Y H X (\alpha,\beta) ={Y^HX} (α,β)=YHX
求标准正交基的步骤
将 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 标准化为 { ϵ 1 , . . . ϵ n } \{\epsilon_1,...\epsilon_n\} {ϵ1,...ϵn}
- Schmidt 正交化并同时标准化
β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1 β1=α1 ➔ ϵ 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ \epsilon_1=\frac{\beta_1}{||\beta_1||} ϵ1=∣∣β1∣∣β1
β 2 = α 2 − ( a 2 , ϵ 1 ) ϵ 1 \beta_2=\alpha_2-(a_2,\epsilon_1)\epsilon_1 β2=α2−(a2,ϵ1)ϵ1 ➔ ϵ 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ \epsilon_2=\frac{\beta_2}{||\beta_2||} ϵ2=∣∣β2∣∣β2
β 3 = α 3 − ( a 3 , ϵ 1 ) ϵ 1 − ( a 3 , ϵ 2 ) ϵ 2 \beta_3=\alpha_3-(a_3,\epsilon_1)\epsilon_1-(a_3,\epsilon_2)\epsilon_2 β3=α3−(a3,ϵ1)ϵ1−(a3,ϵ2)ϵ2 ➔ ϵ 3 = β 3 ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ \epsilon_3=\frac{\beta_3}{||\beta_3||} ϵ3=∣∣β3∣∣β3
…
β k = α k − ∑ i = 1 k − 1 ( α k , ϵ i ) ϵ i \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}(\alpha_k,\epsilon_i)\epsilon_i βk=αk−∑i=1k−1(αk,ϵi)ϵi ➔ ϵ k = β k ∣ ∣ β k ∣ ∣ , k ≥ 2 \epsilon_k=\frac{\beta_k}{||\beta_k||},k\geq2 ϵk=∣∣βk∣∣βk,k≥2 - 矩阵表示
( α 1 , α 2 , . . . , α n ) = ( ϵ 1 , ϵ 2 . . . , ϵ n ) [ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ ( α 2 , ϵ 1 ) ⋯ ( α n , ϵ 1 ) ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ ⋯ ( α n , ϵ 2 ) ⋱ ⋮ ∣ ∣ β n ∣ ∣ ] (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2...,\epsilon_n)\begin{bmatrix} ||\beta_1||&(\alpha_2,\epsilon_1)&\cdots&(\alpha_n,\epsilon_1)\\ &||\beta_2||&\cdots&(\alpha_n,\epsilon_2)\\ & &\ddots&\vdots\\ & & &||\beta_n|| \end{bmatrix} (α1,α2,...,αn)=(ϵ1,ϵ2...,ϵn)⎣⎢⎢⎢⎡∣∣β1∣∣(α2,ϵ1)∣∣β2∣∣⋯⋯⋱(αn,ϵ1)(αn,ϵ2)⋮∣∣βn∣∣⎦⎥⎥⎥⎤
正交补子空间
正交补子空间 U ⊥ = { α ∈ V n ( F ) : ∀ β ∈ U , ( α , β ) = 0 } U^\perp=\{\alpha\in V_n(F):\forall\beta\in U,(\alpha,\beta)=0\} U⊥={α∈Vn(F):∀β∈U,(α,β)=0}: U U U 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 子空间, 则 U ⊥ U^\perp U⊥ 也是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 子空间.
V n ( F ) = U ⊕ U ⊥ V_n(F)=U\oplus U^\perp Vn(F)=U⊕U⊥
("正交"体现在 U U U 和 U ⊥ U^\perp U⊥ 中向量内积为 0, "补"体现在 U U U 和 U ⊥ U^\perp U⊥ 直和为 V n ( F ) V_n(F) Vn(F))
1.3 线性变换
线性变换
Def 1.11: T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上的变换: T : V n ( F ) → V n ( F ) T: V_n(F)\rightarrow V_n(F) T:Vn(F)→Vn(F) 即 ∀ α ∈ V n ( F ) , α ′ = T ( α ) ∈ V n ( F ) \forall\alpha\in V_n(F),\alpha'=T(\alpha)\in V_n(F) ∀α∈Vn(F),α′=T(α)∈Vn(F) ( α \alpha α 为原像, T ( α ) T(\alpha) T(α) 为像)
T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上的线性变换: T T T 是变换且满足线性性: T ( k 1 α + k 2 β ) = k 1 T ( α ) + k 2 T ( β ) T(k_1\alpha+k_2\beta)=k_1T(\alpha)+k_2T(\beta) T(k1α+k2β)=k1T(α)+k2T(β)
相似变换: T λ ( α ) = λ α T_\lambda(\alpha)=\lambda\alpha Tλ(α)=λα (恒等变换 T 1 ( α ) = α T_1(\alpha)=\alpha T1(α)=α, 零变换 T 0 ( α ) = 0 ⃗ T_0(\alpha)=\vec{0} T0(α)=0)
线性变换性质:
- T ( 0 ⃗ ) = 0 ⃗ T(\vec{0})=\vec{0} T(0)=0
- T ( − α ) = − T ( α ) T(-\alpha)=-T(\alpha) T(−α)=−T(α)
- T ( ∑ i = 1 m k i α i ) = ∑ i = 1 m k i T ( α i ) T(\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i)=\sum_{i=1}^mk_iT(\alpha_i) T(∑i=1mkiαi)=∑i=1mkiT(αi)
- { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 线性相关 ⇒ { T ( α 1 ) , . . . , T ( α n ) } \{T(\alpha_1),...,T(\alpha_n)\} {T(α1),...,T(αn)} 线性相关 (线性无关 ⇏ 线性无关, eg: 零变换)
像空间 零空间
Th 1.12: T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上的线性变换, 像空间和零空间均为 V n V_n Vn 子空间
像空间: R ( T ) = { β : ∃ α ∈ V n ( F ) , β = T ( α ) } R(T)=\{\beta:\exists\alpha\in V_n(F),\beta=T(\alpha)\} R(T)={β:∃α∈Vn(F),β=T(α)} (变换后的所有像组成的空间)
零空间: N ( T ) = { α : α ∈ V n ( F ) , T ( α ) = 0 ⃗ } N(T)=\{\alpha:\alpha\in V_n(F),T(\alpha)=\vec{0}\} N(T)={α:α∈Vn(F),T(α)=0} (转换后为零向量的原像组成的空间)
线性变换 T T T 的秩 d i m R ( T ) dimR(T) dimR(T), T T T 的零度 d i m N ( T ) dimN(T) dimN(T)
线性变换的运算
设 T , T 1 , T 2 T,T_1,T_2 T,T1,T2 为 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换, 以下运算也为 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换:
- 加法 T 1 + T 2 T_1+T_2 T1+T2: ∀ α ∈ V n ( F ) , ( T 1 + T 2 ) ( α ) = T 1 ( α ) + T 2 ( α ) \forall\alpha\in V_n(F),(T_1+T_2)(\alpha)=T_1(\alpha)+T_2(\alpha) ∀α∈Vn(F),(T1+T2)(α)=T1(α)+T2(α)
- 乘法 T 1 T 2 T_1T_2 T1T2: ∀ α ∈ V n ( F ) , ( T 1 T 2 ) ( α ) = T 1 ( T 2 ( α ) ) \forall\alpha\in V_n(F),(T_1T_2)(\alpha)=T_1(T_2(\alpha)) ∀α∈Vn(F),(T1T2)(α)=T1(T2(α))
- 数乘 k T kT kT: ∀ α ∈ V n ( F ) , ( k T ) ( α ) = k ( T ( α ) ) \forall\alpha\in V_n(F),(kT)(\alpha)=k(T(\alpha)) ∀α∈Vn(F),(kT)(α)=k(T(α))
- 可逆变换 T − 1 T^{-1} T−1: ∃ T 2 : T 1 T 2 = T 2 T 1 = I \exists T_2: T_1T_2=T_2T_1=I ∃T2:T1T2=T2T1=I, 记 T 2 = T − 1 T_2=T^{-1} T2=T−1 有 T − 1 ( β ) = α ⇔ T ( α ) = β T^{-1}(\beta)=\alpha\Leftrightarrow T(\alpha)=\beta T−1(β)=α⇔T(α)=β
- 注: 变换乘法一般不具有结合律(同矩阵乘法)
线性变换的矩阵
在基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 下的变换矩阵 A A A: T ( α 1 , . . . , α n ) = ( α 1 , . . . , α n ) A n × n T(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)A^{n\times n} T(α1,...,αn)=(α1,...,αn)An×n
注: 变换矩阵 A A A 的第 i i i 列 A i A_i Ai 是基中一向量 α i \alpha_i αi 的像 T ( α i ) T(\alpha_i) T(αi) 在基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 下的坐标.
变换的坐标式: α = ( α 1 , . . . , α n ) X \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)X α=(α1,...,αn)X, T ( α ) = ( α 1 , . . . , α n ) Y T(\alpha)=(\alpha_1,...,\alpha_n)Y T(α)=(α1,...,αn)Y, 则
Y = A X \pmb{Y=AX} Y=AXY=AXY=AX
- Y Y Y: α \alpha α 的像 T ( α ) T(\alpha) T(α) 坐标
- A A A: 基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 下 T T T 的变换矩阵
- X X X: α \alpha α 的原像坐标
常见变换矩阵:
- 相似变换 T λ T_\lambda Tλ: λ I \lambda I λI
- 线性变换 T A T_A TA 在自然基 { e i } \{e_i\} {ei} 下: A A A
- P n [ x ] P_n[x] Pn[x] 中微分变换在自然基 1 , x , x 2 , . . . , x n − 1 {1,x,x^2,...,x^{n-1}} 1,x,x2,...,xn−1
[ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 2 ⋯ ⋮ 0 0 0 ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ n − 1 0 0 0 ⋯ 0 ] \begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&\vdots\\ 0&0&0&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&n-1\\ 0&0&0&\cdots&0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡000⋮0100⋮0020⋮0⋯⋯⋱⋯⋯0⋮0n−10⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
不同基下的变换矩阵
Th 1.14: V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 的基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 到基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的过渡矩阵为 C C C:
B = C − 1 A C \pmb{B=C^{-1}AC} B=C−1ACB=C−1ACB=C−1AC
- A A A: 线性变换 T T T 在基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 的变换矩阵 T ( α 1 , . . . , α n ) T(\alpha_1,...,\alpha_n) T(α1,...,αn)
- B B B: 线性变换 T T T 在基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的变换矩阵 T ( β 1 , . . . , β n ) T(\beta_1,...,\beta_n) T(β1,...,βn)
- C C C: 基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 到基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的过渡矩阵
线性变换 T T T 在不同基下的变换矩阵是相似的.
不变子空间
Def’ 1.14: 设 T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换, W W W 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 子空间. 满足 ∀ α ∈ W , T ( α ) ∈ W \forall\alpha\in W, T(\alpha)\in W ∀α∈W,T(α)∈W. 则 W = { T ( α ) ∣ α ∈ W } W=\{T(\alpha)|\alpha\in W\} W={T(α)∣α∈W} 是 T T T 的不变子空间. (不变子空间与变换相对应, 与子空间的基的选取无关)
不变子空间判别:
- 定义: ∀ α ∈ W , T ( α ) ∈ W \forall\alpha\in W, T(\alpha)\in W ∀α∈W,T(α)∈W (原像和像都在一个子空间 W W W)
- T ( W ) ⊆ W T(W)\subseteq W T(W)⊆W
- 特别地, W = L { α 1 , . . . , α n } W=L\{\alpha_1,...,\alpha_n\} W=L{α1,...,αn} 则需 T ( α i ) ∈ W , i = 1 , . . . , n T(\alpha_i)\in W, i=1,...,n T(αi)∈W,i=1,...,n (只需要基向量的像在同一子空间)
若 W = L { α 1 , . . . , α r } , U = L { α r + 1 , . . . , α n } W=L\{\alpha_1,...,\alpha_r\},U=L\{\alpha_{r+1},...,\alpha_n\} W=L{α1,...,αr},U=L{αr+1,...,αn} 是 T T T 的不变子空间, 其中 U U U 是 W W W 直和补子空间. 变换 T T T 分别在 W , U W,U W,U 的基下对应变换矩阵 A 1 , A 2 A_1, A_2 A1,A2. 有 V n ( F ) = W ⊕ U V_n(F)=W\oplus U Vn(F)=W⊕U. T T T 在基 { α 1 , . . . α r , . . . , α n } \{\alpha_1,...\alpha_r,...,\alpha_n\} {α1,...αr,...,αn} 的变换矩阵为 [ A 1 0 0 A 2 ] \begin{bmatrix}A_1&0\\0&A_2\end{bmatrix} [A100A2].
正交变换和酉变换
分别在欧式空间和酉空间内不改变内积的变换.
Th 1.15: T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换, 以下条件等价:
- T T T 是正交(酉)变换
- T T T 保持向量长度不变
- T T T 把空间 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 的标准正交基变换为标准正交基
- T T T 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵(酉矩阵)
Th 1.16 正交矩阵 C C C 和酉矩阵 U U U 性质:
- C T C = I C^TC=I CTC=I U H U = I U^HU=I UHU=I
- ∣ det ( C ) ∣ = 1 |\det(C)|=1 ∣det(C)∣=1 ∣ det ( U ) ∣ = 1 |\det(U)|=1 ∣det(U)∣=1
- C − 1 = C T C^{-1}=C^T C−1=CT U − 1 = U H U^{-1}=U^H U−1=UH
- 正交(酉)矩阵的逆矩阵与乘积仍然是正交(酉)矩阵
- n 阶正交(酉)矩阵的列和行向量组是欧氏(酉)空间 R n R_n Rn( C n C_n Cn) 中的标准正交基
常见基本正交变换
- 镜像变换: S ( x ) = x − 2 ( x , u ) u S(x)=x-2(x,u)u S(x)=x−2(x,u)u, u u u 为对称轴
- 平面 R 2 R^2 R2 上逆时针旋转 θ \theta θ 角的旋转变换 T θ T_\theta Tθ:
自然基下变换矩阵: A θ = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] A_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} Aθ=[cosθsinθ−sinθcosθ] - R 3 R^3 R3 空间中平面的旋转变换 T L θ T_{L\theta} TLθ: 绕空间中过原点的一条直线 L L L, 旋转一 个 θ \theta θ 角:
以 { u 1 , u 2 , u 3 } \{u_1,u_2,u_3\} {u1,u2,u3} 为基的变换矩阵 A L θ = [ 1 T θ ] = [ 1 cos θ − sin θ sin θ cos θ ] A_{L\theta}=\begin{bmatrix}1\\&T_\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\&\cos\theta&-\sin\theta\\ &\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} ALθ=[1Tθ]=⎣⎡1cosθsinθ−sinθcosθ⎦⎤
其中 u 1 u_1 u1 是直线 L L L 的方向, u 1 , u 2 u_1,u_2 u1,u2 是与 L L L 垂直的平面的两个基.
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线性空间到线性空间的变换(不考)
Def’ 1.16: 变换 T : V n ( F ) → V m ( F ) T: V_n(F)\rightarrow V_m(F) T:Vn(F)→Vm(F).
- ∀ α ∈ V n ( F ) , T ( α ) ∈ V m ( F ) \forall\alpha\in V_n(F),T(\alpha)\in V_m(F) ∀α∈Vn(F),T(α)∈Vm(F)
- T ( α 1 + α 2 ) = T ( α 1 ) + T ( α 2 ) T(\alpha_1+\alpha_2)=T(\alpha_1)+T(\alpha_2) T(α1+α2)=T(α1)+T(α2), T ( k α ) = k T ( α ) T(k\alpha)=kT(\alpha) T(kα)=kT(α)
线性变换: A ∈ F m × n , T A : V n ( F ) → V m ( F ) A\in F^{m\times n},T_A:V_n(F)\rightarrow V_m(F) A∈Fm×n,TA:Vn(F)→Vm(F): ∀ X ∈ F n , T A ( X ) = A X \forall X\in F^n,T_A(X)=AX ∀X∈Fn,TA(X)=AX
基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 到基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的变换矩阵: A A A: T ( α 1 , . . . , α n ) = ( β 1 , . . . , β n ) A m × n T(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\beta_1,...,\beta_n)A^{m\times n} T(α1,...,αn)=(β1,...,βn)Am×n
像空间: R ( T ) = { β : ∃ α ∈ V n ( F ) , β = T ( α ) } ⊆ V m ( F ) R(T)=\{\beta:\exists\alpha\in V_n(F),\beta=T(\alpha)\}\subseteq V_m(F) R(T)={β:∃α∈Vn(F),β=T(α)}⊆Vm(F)
零空间: N ( T ) = { α : α ∈ V n ( F ) , T ( α ) = 0 ⃗ } ⊆ V n ( F ) N(T)=\{\alpha:\alpha\in V_n(F),T(\alpha)=\vec{0}\}\subseteq V_n(F) N(T)={α:α∈Vn(F),T(α)=0}⊆Vn(F)
Th 1.17: d i m R ( T ) + d i m N ( T ) = n dimR(T) + dimN(T) = n dimR(T)+dimN(T)=n
空间 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 到 V m ( F ) V_m(F) Vm(F) 的线性变换在不同基下的矩阵等价