行列式基础
进阶版：（努力更新中）
二阶行列式
我们先来看看二元一次方程。
{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 = b 1 a 2 , 1 x 2 + a 2 , 2 x 2 = b 2 \left\{ \begin{matrix} a_{_{1,1}} x_{_1} + a_{_{1,2}} x_{_2} = b_{_1} \\ \\ a_{_{2,1}} x_{_2} + a_{_{2,2}} x_{_2} = b_{_2} \end{matrix} \right. ⎩⎨⎧a1,1x1+a1,2x2=b1a2,1x2+a2,2x2=b2
如果我们对他求一个通解，就可以求出来
{ x 1 = b 1 a 2 , 2 − a 1 , 2 b 2 a 1 , 1 a 2 , 2 − a 1 , 2 a 2 , 1 x 2 = a 1 , 1 b 2 − b 1 a 2 , 1 a 1 , 1 a 2 , 2 − a 1 , 2 a 2 , 1 \left\{ \begin{matrix} x_{_1} = \dfrac{ b_{_1} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}}b_{_2} }{ a_{_{1,1}} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}} a_{_{2,1}} } \\\\ x_{_2} = \dfrac{ a_{_{1,1}} b_{_2} - b_{_1}a_{_{2,1}} }{ a_{_{1,1}} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}} a_{_{2,1}} } \end{matrix} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1=a1,1a2,2−a1,2a2,1b1a2,2−a1,2b2x2=a1,1a2,2−a1,2a2,1a1,1b2−b1a2,1
我们可以发现两个通解的分母相同，于是我们引进一个新的符号来表示，也就是二阶行列式，表示如下：
D = ∣ a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 ∣ = a 1 , 1 a 2 , 2 − a 1 , 2 a 2 , 1 D= \begin{vmatrix} a_{_{1,1}} & a_{_{1,2}} \\ a_{_{2,1}} & a_{_{2,2}} \end{vmatrix} = a_{_{1,1}} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}} a_{_{2,1}} D=∣∣∣∣a1,1a2,1a1,2a2,2∣∣∣∣=a1,1a2,2−a1,2a2,1
其中的数就称为元素。
我们可以很清晰的看出它的运算方法就是对角线相乘再相减，这就是二阶行列式的对角线法则。
三阶行列式
我们一样来看一个三元一次方程：
{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + a 1 , 3 x 3 = b 1 a 2 , 1 x 2 + a 2 , 2 x 2 + a 2 , 3 x 3 = b 2 a 3 , 1 x 1 + a 3 , 2 x 2 + a 3 , 3 x 3 = b 3 \left\{ \begin{matrix} a_{_{1,1}} x_{_1} + a_{_{1,2}} x_{_2} + a_{_{1,3}} x_{_3} = b_{_1} \\\\ a_{_{2,1}} x_{_2} + a_{_{2,2}} x_{_2} + a_{_{2,3}} x_{_3} = b_{_2} \\\\ a_{_{3,1}} x_{_1} + a_{_{3,2}} x_{_2} + a_{_{3,3}} x_{_3} = b_{_3} \end{matrix} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a1,1x1+a1,2x2+a1,3x3=b1a2,1x2+a2,2x2+a2,3x3=b2a3,1x1+a3,2x2+a3,3x3=b3
同样转化为行列式，只不过是三阶。
D = ∣ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ∣ D= \begin{vmatrix} a_{_{1,1}} & a_{_{1,2}} & a_{_{1,3}} \\ a_{_{2,1}} & a_{_{2,2}} & a_{_{2,3}} \\ a_{_{3,1}} & a_{_{3,2}} & a_{_{3,3}} \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1a3,1a1,2a2,2a3,2a1,3a2,3a3,3∣∣∣∣∣∣
如果按照我们二阶的对角线法则，好像有点不大对，发现和通解的分母不大一样，于是我们继续观察。
通解的分母为：
a 1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 + a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 + a 1 , 3 a 2 , 1 a 3 , 2 − a 1 , 3 a 2 , 2 a 3 , 1 − a 1 , 2 a 2 , 1 a 3 , 3 − a 1 , 1 a 2 , 3 a 3 , 2 a_{_{1,1}}a_{_{2,2}}a_{_{3,3}} + a_{_{1,2}}a_{_{2,3}}a_{_{3,1}} + a_{_{1,3}}a_{_{2,1}}a_{_{3,2}}- a_{_{1,3}}a_{_{2,2}}a_{_{3,1}} - a_{_{1,2}}a_{_{2,1}}a_{_{3,3}} - a_{_{1,1}}a_{_{2,3}}a_{_{3,2}} a1,1a2,2a3,3+a1,2a2,3a3,1+a1,3a2,1a3,2−a1,3a2,2a3,1−a1,2a2,1a3,3−a1,1a2,3a3,2
如果把他们在复制一遍，就会发现一个神奇的规律。
如上图，红色的就是符号为正的项，蓝色的就是符号为负的项。
你会发现他们似乎还是满足对角线法则。（只不过多了几条对角线）
但是！！！
只有二阶行列式和三阶行列式满足对角线法则。（一定不要以为所有的行列式都满足！！！）
一般行列式
我们来看看三阶行列式的值。
a 1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 + a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 + a 1 , 3 a 2 , 1 a 3 , 2 − a 1 , 3 a 2 , 2 a 3 , 1 − a 1 , 2 a 2 , 1 a 3 , 3 − a 1 , 1 a 2 , 3 a 3 , 2 a_{_{1,1}}a_{_{2,2}}a_{_{3,3}} + a_{_{1,2}}a_{_{2,3}}a_{_{3,1}} + a_{_{1,3}}a_{_{2,1}}a_{_{3,2}}- a_{_{1,3}}a_{_{2,2}}a_{_{3,1}} - a_{_{1,2}}a_{_{2,1}}a_{_{3,3}} - a_{_{1,1}}a_{_{2,3}}a_{_{3,2}} a1,1a2,2a3,3+a1,2a2,3a3,1+a1,3a2,1a3,2−a1,3a2,2a3,1−a1,2a2,1a3,3−a1,1a2,3a3,2
我们发现，在行号排好序的情况下，列号就是 1 1 1 到 3 3 3 的全排列。
并且它这一项的符号跟列号的逆序对的个数有关。
如果逆序对的个数为奇，则符号为负，如果逆序对的个数为偶，则符号为正。
于是我们可以得出一般行列式的定义，那就是：
D n = ∣ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 3 , 1 a 3 , 2 ⋯ a 3 , n ∣ = ∑ p 1 p 2 ⋯ p n ( − 1 ) t ( p 1 p 2 ⋯ p n ) a 1 , P 1 a 2 , P 2 ⋯ a n , P n D_{_n}= \begin{vmatrix} a_{_{1,1}} & a_{_{1,2}} & \cdots & a_{_{1,n}} \\ a_{_{2,1}} & a_{_{2,2}} & \cdots & a_{_{2,n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{_{3,1}} & a_{_{3,2}} & \cdots & a_{_{3,n}} \end{vmatrix} =\sum_{p_{_1}p_{_2}\cdots\ p_{_n}} (-1)^{t(p_{_1}p_{_2}\cdots\ p_{_n})}a_{_{1,P_{_1}}}a_{_{2,P_{_2}}}\cdots \ a_{_{n,P_{_n}}} Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1⋮a3,1a1,2a2,2⋮a3,2⋯⋯⋱⋯a1,na2,n⋮a3,n∣∣∣∣∣∣∣∣∣=p1p2⋯ pn∑(−1)t(p1p2⋯ pn)a1,P1a2,P2⋯ an,Pn
其中 p p p 是 n n n 的全排列， t ( p 1 p 2 ⋯ p n ) {t(p_{_1}p_{_2}\cdots\ p_{_n})} t(p1p2⋯ pn) 是 p p p 的逆序对。