【转】LM(Levenberg-Marquard)算法的实现

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LM算法,全称为Levenberg-Marquard算法,它可用于解决非线性最小二乘问题,多用于曲线拟合等场合。

LM算法的实现并不算难,它的关键是用模型函数  f  对待估参数向量 p 在其邻域内做线性近似,忽略掉二阶以上的导数项,从而转化为线性最小二乘问题,它具有收敛速度快等优点。LM算法属于一种“信赖域法”——所谓的信赖域法,此处稍微解释一下:在最优化算法中,都是要求一个函数的极小值,每一步迭代中,都要求目标函数值是下降的,而信赖域法,顾名思义,就是从初始点开始,先假设一个可以信赖的最大位移 s ,然后在以当前点为中心,以 s 为半径的区域内,通过寻找目标函数的一个近似函数(二次的)的最优点,来求解得到真正的位移。在得到了位移之后,再计算目标函数值,如果其使目标函数值的下降满足了一定条件,那么就说明这个位移是可靠的,则继续按此规则迭代计算下去;如果其不能使目标函数值的下降满足一定的条件,则应减小信赖域的范围,再重新求解。

事实上,你从所有可以找到的资料里看到的LM算法的说明,都可以找到类似于“如果目标函数值增大,则调整某系数再继续求解;如果目标函数值减小,则调整某系数再继续求解”的迭代过程,这种过程与上面所说的信赖域法是非常相似的,所以说LM算法是一种信赖域法。

 

LM算法需要对每一个待估参数求偏导,所以,如果你的目标函数 f 非常复杂,或者待估参数相当地多,那么可能不适合使用LM算法,而可以选择Powell算法——Powell算法不需要求导。

 

至于这个求导过程是如何实现的,我还不能给出建议,我使用过的方法是拿到函数的方程,然后手工计算出其偏导数方程,进而在函数中直接使用,这样做是最直接,求导误差也最小的方式。不过,在你不知道函数的形式之前,你当然就不能这样做了——例如,你提供给了用户在界面上输入数学函数式的机会,然后在程序中解析其输入的函数,再做后面的处理。在这种情况下,我猜是需要使用数值求导算法的,但我没有亲自试验过这样做的效率,因为一些优秀的求导算法——例如Ridders算法——在一次求导数值过程中,需要计算的函数值次数也会达到5次以上。这样的话,它当然要比手工求出导函数(只需计算一次,就可以得到导数值)效率要差得多了。不过,我个人估计(没有任何依据的,只是猜的):依赖于LM算法的高效,就算添加了一个数值求导的“拖油瓶”,整个最优化过程下来,它仍然会优于Powell等方法。

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这篇解释信赖域算法的文章中,我们已经知道了LM算法的数学模型:
【转】LM(Levenberg-Marquard)算法的实现_第1张图片
可以证明,此模型可以通过解方程组
(Gk+μI)s=gk 确定 sk 表征。
即:LM算法要确定一个
μ0 ,使得 Gk+μI 正定,并解线性方程组 (Gk+μI)sk=gk 求出 sk
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下面来看看LM算法的基本步骤:

  • 从初始点 x0 μ0>0 开始迭代
  • 到第 k 步时,计算 xk μk
  • 分解矩阵 Gk+μkI ,若不正定,令 μk=4μk 并重复到正定为止
  • 解线性方程组 (Gk+μkI)sk=gk 求出 sk 并计算 rk
  • rk<0.25 ,令 μk+1=4μk ;若 rk>0.75 ,令 μk+1=μk2 ;若 0.25rk0.75 ,令 μk+1=μk
  • rk0 ,说明函数值是向着上升而非下降的趋势变化了(与最优化的目标相反),这说明这一步走错了,而且错得“离谱”,此时,不应该走到下一点,而应“原地踏步”,即 xk+1=xk ,并且和上面 rk<0.25 的情况一样对 μk 进行处理。反之,在 rk>0 的情况下,都可以走到下一点,即 xk+1=xk+sk
  • 迭代的终止条件: gk<ε ,其中 ε 是一个指定的小正数(大家可以想像一下二维平面上的寻优过程(函数图像类似于抛物线),当接近极小值点时,迭代点的梯度趋于0)

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从上面的步骤可见,LM求解过程中需要用到求解线性方程组的算法,一般我们使用高斯约当消元法,因为它非常稳定——虽然它不是最快最好的算法。
同时,上面的算法步骤也包含对矩阵进行分解的子步骤。为什么要先分解矩阵,再解线性方程组?貌似是这样的(数学不好的人再次泪奔):不分解矩阵使之正定,就无法确定那个线性方程组是有解的。
矩阵分解有很多算法,例如LU分解等,这方面我没有看。

这里有一篇很不错的文章,解释了如何实现LM算法,大家可以参考一下。

需要说明的是,这是非线性无约束的问题,如果待估参数是有约束的(例如参数在某一范围内变动),要想用在LM算法中,那就是约束最优化问题了,这是一个big topic,以我目前的知识储备,尚不能解释好,请大家另寻资料吧。

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