图与网络——支配集问题

定义：无向图G=(V,E)的支配集，每个属于V-U的点v，至少有一个邻居在U中。

定理：n点图G=(V,E)，节点的最小度数，则G有一个支配集，最多个点。

证明1（概率方法：非构造性证）：

求解思路：先以p概率做n次伯努利实验构造一个概率子集合X， X有较大概率是不满足支配 集的定义的，因此定义集合Y表示没有被概率子集合X所支配的节点集合，一定是支配集。

证明过程：

1. 以p概率做n次伯努利实验构造一个概率子集合X：

2. 是V-X中没有被X支配的点的集合，集合出现的概率：

   

   

3. 支配集

   

4. 优化最小支配集，对求偏导:

   

        

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证明2（贪心算法）：

设每次都是选取度数最高的节点放到预备支配集U中去。执行了若干步之后还有r个节点没有被支配，这说明了这r个节点和其邻居都没有被选进去。倘若一个节点被选进去，那个就可以支配个节点。所以从平均值角度考虑，每次选进去一个节点可以支配至少个节点。是最少的余下r个节点可以支配的节点，再选一个大一点的n来做平均。所以选一次之后节点余下个节点。假设从个节点开始做$t$步贪心算法，并设最后余下了个节点，即：

        

对这个表达式进行优化：

        

        

所以支配集的个数为​​​​​​​即为所求。