贝祖定理及其证明

文章目录

  • 一、贝祖定理的两种写法
    • 写法一
    • 写法二
    • 联系
  • 二、贝祖定理的一种证明
    • 1.准备工作
    • 2.证明S为a,b的公约数
  • 三.贝祖定理扩展
    • 1.内容:
    • 2.两个引理


一、贝祖定理的两种写法

写法一

若a,b是整数,且gcd(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。

写法二

两个整数 a、b 是互质的,等价于方程 ax+by=1有整数解。

联系

已知:
gcd(A,B)=d;
所以:
A = a * d;
B = b * d;
a、b不存在相同的质因数,为互质的关系

在写法一中,存在 x、y使得A * x + B * y = d 成立,此时对两边同时除以 d ,将得到:

a * x + b * y = 1

说明了这两种写法是等价的。


二、贝祖定理的一种证明

参考写法二证明贝祖定理

1.准备工作

两个整数 a、b 是互质的,等价于方程 ax+by=1有整数解。

通过对x,y的不同取值,方程 ax+by将取不同的值。

若在x = X,y = Y时,aX+bY取值为 S ,且 S 为a、b线性组合可以得到的最小的正整数

2.证明S为a,b的公约数

将a对s进行取模:a = q * S + r (0<=r

此时 有a * X + b * Y = S;

将两式联立,可解得:

r = a - q * S = a - q * (a * X + b * Y )=a - a * q * X - b * q * Y

= a*(1-q * X)+ b* ( - q * Y);

已知 0<=r,又因为S 为a、b线性组合可以得到的最小的正整数,
所以 r 只会为0

即 S 是 a 的一个约数。

同理可以用来证明 S 也是 b 的一个约数.

又因为a、b为互质关系,所以 S 为 1


三.贝祖定理扩展

1.内容:

方程a * x + b * y = n有解的充要条件为 n 是 gcd (a,b)的倍数。

必要性:
若 n为 gcd(a,b)的倍数,则 n = k * d;
由贝祖定理可知:a * x + b * y = n有解,
那么等式左右乘上整数 k 仍然成立,即a * x + b * y = n有解。

充分性:
若a * x + b * y = n有解,左式提出公因子d:
d * (a’ * x + b’ * y) = n
此时(a’ * x + b’ * y)为一个整数,所以,n 为 d 的倍数。

2.两个引理

1.If a,b and c are integers such that a | bc and gcd (a, b) = 1gcd(a,b)=1, then a |c.

若a 可以整除 b * c ,那么 a 其实是b* c的一个约数,当a,b互质时,a仅可能是 c 的约数。

2.If a,b and c are integers such that a | c, b | c and gcd (a, b) = 1, then ab | c.

若a、b均为c的约数,且a、b互质,那么意味着a、b没有重复的质因子,即为c 的唯一分解后质因子中不重叠的一部分。
那么a * b 也就是 c的约数了。

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