【机器学习三】逻辑回归模型-LogisticRegression

一、回归划分

​ 广义线性模型家族中，依据因变量的不同，可以有如下的划分：

（1）如果是连续的，就是多重线性回归。

（2）如果是二项分布，就是逻辑回归。

（3）如果是泊松（Poisson）分布，就是泊松回归。

（4）如果是负二项分布，就是负二项回归。

​ 逻辑回归名字中虽有“回归”二字，但它是分类算法。逻辑回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的逻辑回归。

二、逻辑回归模型及优化

2.1 逻辑回归模型

​ 逻辑回归模型函数是我们后面常用的激活函数“sigmoid”函数，如果我们的输入为$X\theta$，输出为0和1（两类就可以），则可以用下式表示：
$$h_{\theta }(X)=\frac{1}{1+e^{-X\theta }}$$
​ 此函数的图像表现：

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2.2 逻辑回归参数估计

​ 我们接下来使用极大似然估计优化逻辑回归的参数

​ 由于逻辑回归是而分类，则有概念分布：
$$\begin{array}{rl}& P(y=1|x;\theta )=h_{\theta }(x)\\ & P(y=0|x;\theta )=1-h_{\theta }(x)\end{array}$$
​ 其联合概率分布为：
$$P(y|x;\theta )=（h_{\theta }(x){)}^y(1-h_{\theta }(x){)}^{1-y}$$
​ 对应的似然函数为：
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^m（h_{\theta }(x^{(i)}{)}^{y^{(i)}}(1-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^{1-y^{(i)}}$$
​ 对数似然函数为：
$$\begin{array}{rl}J(\theta )& =logL(\theta )\\ & =\sum _{i=1}^m(y^{(i)}logh(x^{(i)})+(1-y^{(i)})(1-h(x^{(i)}))\end{array}$$
​ 对数似然函数求梯度(已省略计算过程)：
$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )=(y-h_{\theta }(x))x_j$$
​ 由上面的推导可以得到参数的迭代规则：
$${\theta }_j={\theta }_j-\alpha (h_{\theta }(x)-y)x_j$$

三、手撕逻辑回归代码

​ 本节我们使用python写出逻辑回归代码优化sklearn带有的癌症数据集

'''
手写Logistic回归代码预测sklearn自带的癌症数据集
'''
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.model_selection import train_test_split

class LogisticRegression(object):
    def __init__(self,learning_rate=0.1,max_iter=1500,stop_error=1e-4):
        '''构造函数'''
        self.coef = None
        self.intercept = None
        self.lr = learning_rate
        self.mi = max_iter
        self.se = stop_error

    def sigmoid(self,X):
        '''sigmoid函数'''
        return 1./(1.+np.exp(-X))

    def der_sigmoid(self,X):
        '''sigmoid函数导数'''
        return self.sigmoid(X)*(1-self.sigmoid(X))

    def logistic_model(self,theta,x):
        '''模型计算'''
        z = np.sum(theta.T*x)
        return self.sigmoid(z)

    def fit(self,X,Y):
        '''使用梯度下降训练LR模型'''
        #得到训练数据
        self.x_train = X
        self.y_train = Y
        self.n_features = X.shape[1]
        #初始化参数,全为1
        self.theta = np.ones(self.n_features)
        for step in range(self.mi):
            self.theta = self._step_gradient()
            loss = self.Loss_CrossEntropy(self.theta,self.x_train,self.y_train)
            if step % 20 == 0:
                print(f"iteration:{step},loss:{loss},theta:{self.theta}")
            if loss<self.se:
                print(f"iteration:{step},loss:{loss},theta:{self.theta}")
                break
        return self.theta

    def _cross_entropy(self,y,y_hat):
        '''交叉熵计算函数'''
        n_samples = y.shape[0]
        res = 0.
        for i in range(n_samples):
            res += (-y[i]*np.log(y_hat[i])-(1-y[i])*np.log(1-y_hat[i]))/n_samples
        return res

    def Loss_CrossEntropy(self,theta,x,y):
        '''损失函数计算'''
        y_hat = []
        for i in range(x.shape[0]):
            y_hat.append(self.logistic_model(theta,x[i]))
        return self._cross_entropy(y,y_hat)

    def _step_gradient(self):
        '''梯度下降'''
        M = float(len(self.y_train))
        for i in range(self.x_train.shape[0]):
            self.theta -= (1. / M)*self.lr*(self.logistic_model(self.theta,self.x_train[i])-self.y_train[i])*self.x_train[i]
        return self.theta

    def _predict(self,X, theta):
        '''预测函数'''
        y_hat = []
        for i in range(X.shape[0]):
            y_hat.append((self.logistic_model(theta, X[i]) > 0.5)*1)
        return y_hat

    def accuracy(self,theta, X, y):
        '''准确率评估函数'''
        y_hard = self._predict(X, theta)
        count_right = sum(y_hard == y)
        return count_right * 1.0 / len(y)

def get_data():
    dataset = load_breast_cancer()
    #data = pd.DataFrame(data=dataset.data,columns=dataset.feature_names)
    #data['cancer'] = [dataset.target_names[t] for t in dataset.target]
    X = dataset.data
    y = dataset.target
    #X_test = dataset.data
    #数据归一化
    std = X.std(axis=0)
    mean = X.mean(axis=0)
    X_norm = (X-mean)/std
    #为减少截距参数，全优化为theta，在后面加1
    ones = np.ones((X.shape[0],1))
    X_ones = np.hstack((ones,X_norm))
    #分割训练数据和测试数据
    X_train,X_test,Y_train,Y_test = train_test_split(X_ones,y,test_size=0.3,random_state=12345)
    return [X_train,Y_train,X_test,Y_test]

if __name__ == "__main__":
    X_train, Y_train, X_test, Y_test = get_data()
    LR = LogisticRegression()
    theta  = LR.fit(X_train, Y_train)
    print(LR.accuracy(theta,X_test,Y_test))
#[out]:
'''iteration:1480,loss:0.04912826826649911,theta:[ 0.66067831 -0.41699501 -0.68479606 -0.46465251 -0.41594285 -0.50296146
 -0.09195785 -0.94823898 -1.06558475 -0.20327686  0.69524534 -1.09357091
  0.14172414 -0.83429623 -0.61169349  0.50944495  0.85765425  0.21714991
 -0.37680249  0.22253374  0.86564795 -0.77599478 -0.93407023 -0.74392032
 -0.672051   -0.87079857 -0.01495728 -0.80462611 -0.97748235 -0.5603786
 -0.11103954]
0.9766081871345029'''

四、逻辑回归的正则化

​ 逻辑回归也会存在过拟合问题，所以我们也需要考虑正则化，正则化包括L1正则化和L2正则化

​ 二元逻辑回归的L1正则化损失函数表达式如下：
$$J(\theta )=-Y^T\ast log{h}_{\theta }(X)-(E-Y{)}^T\ast log(E-h_{\theta }(X))+\alpha ||\theta |{|}_1$$
​ 二元逻辑回归的L2正则化损失函数表达式如下：
$$J(\theta )=-Y^T\ast log{h}_{\theta }(X)-(E-Y{)}^T\ast log(E-h_{\theta }(X))+\frac{1}{2}\alpha ||\theta |{|}_2^2$$
​ 逻辑回归的正则化和线性回归的正则化有相同的性质。我们可以使用sklearn带有的logistic回归进行正则化优化

from sklearn.linear_model import LogisticRegression as SkLr
'''LogisticRegression的参数介绍:
	penalty:惩罚项，可以选'l1'，'l2'，对应L1,L2
	dual：选择目标函数为原始形式还是对偶形式。
	tol：优化算法停止的条件。当迭代前后的函数差值小于等于tol时就停止。
	C：正则化系数。其越小，正则化越强。
	fit_intercept：选择逻辑回归模型中是否会有常数项b。
	class_weight：用于标示分类模型中各种类型的权重
	random_state：随机数种子
	solver：逻辑回归损失函数的优化方法。
	max_iter：优化算法的迭代次数
'''
lr = SkLr(penalty='l1',C=1.0)
lr.fit(X_train, Y_train)
print(lr.score(X_test, Y_test))

五、逻辑回归的适用性

逻辑回归可用于以下几个方面：

（1）用于概率预测。用于可能性预测时，得到的结果有可比性。比如根据模型进而预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大。

（2）用于分类。实际上跟预测有些类似，也是根据模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。进行分类时，仅需要设定一个阈值即可，可能性高于阈值是一类，低于阈值是另一类。

（3）寻找危险因素。寻找某一疾病的危险因素等。

（4）仅能用于线性问题。只有当目标和特征是线性关系时，才能用逻辑回归。在应用逻辑回归时注意两点：一是当知道模型是非线性时，不适用逻辑回归；二是当使用逻辑回归时，应注意选择和目标为线性关系的特征。

（5）各特征之间不需要满足条件独立假设，但各个特征的贡献独立计算。