权重衰退（L2正则化）-处理过拟合方式之一

权重衰退

权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为 2 正则化。

一种简单的方法是通过线性函数$f(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}$中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$。要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，
调整为最小化预测损失和惩罚项之和。现在，如果权重向量增长的太大，学习算法可能会更集中于最小化权重范数$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$。
线性回归的损失由下式给出：

$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$

${\mathbf{x}}^{(i)}$是样本$i$的特征，$y^{(i)}$是样本$i$的标签，$(\mathbf{w},b)$是权重和偏置参数。为了惩罚权重向量的大小，必须以某种方式在损失函数中添加$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$，
但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？实际上，我们正则化常数$\lambda$来描述这种权衡，这是一个非负超参数，使用验证数据拟合：

$$L(\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2,$$
对于$\lambda =0$，恢复了原来的损失函数。对于$\lambda >0$，限制$\Vert \mathbf{w}\Vert$的大小。这里仍然除以$2$：当取一个二次函数的导数时，$2$和$1/2$会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。
使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）这样做是为了便于计算。通过平方$L_2$范数，去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。
$L_2$正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \left(1-\eta \lambda \right)\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right).\end{array}$$

线性回归权重衰减代码实现

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

生成一些数据生成公式如下：

$$y=0.05+\sum _{i=1}^{d}0.01x_i+ϵ\text{ where }ϵ\sim \mathcal{N}(0,0.01^2).$$

标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。为了使过拟合的效果更加明显，将问题的维数增加到$d=200$，并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05 #真实w,b
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train) # 生成训练集
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size) # 读取训练集
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test) #生成测试集
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False) #读取测试集

初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True) # w均值为0，方差为1，长度200的张量
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

定义 $L_2$ 范数惩罚

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

训练

def train(lambd): # 输出超参数lambd
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss # 线性回归，平方损失函数
    num_epochs, lr = 500, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w) # 加上惩罚项的损失
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

忽略正则化直接训练

train(lambd=0)

使用权重衰减

train(lambd=3)

简洁实现

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

没使用权重衰减

train_concise(0)

使用权重衰减

train_concise(3)