二、Jordan标准形、初等因子、不变因子

二、Jordan标准形、初等因子、不变因子

1. smith标准型

定义
1.最高次幂系数为1
2.d ( λ i ) 能够整除d ( λ i + 1 )
3.λ矩阵的smith标准型是唯一的

2. 求smith标准型----初等行变换（不改变矩阵的行列式因子和不变因子）

3. 行列式因子、不变因子、初等因子

k阶行列式因子: A (λ)中的所有非零的k阶子式的首一最大公因式$D_k(\lambda )$ (首一：最高次数项系数为1)
其中：$$d_1(\lambda )=D_1(\lambda )；d_k(\lambda )=D_k(\lambda )/D_{k-1}(\lambda ),k=2,\cdot \cdot \cdot ,r$$
不变因子：smith标准型对角线上元素$d_k(\lambda )$，即上例中的$1，\lambda ，{\lambda }^2+\lambda$
初等因子：把–矩阵 ()的每个次数≥1的不变因子$d_k(\lambda )$在复数域上分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）----就是不变因子的因式分解（不懂看下面例子）

例题解释下几个因子：

 注意：这里的几个因子是针对A(λ)的，就是λE−A所得的矩阵 不要跟A矩阵性质搞混淆了（只有数字的矩阵）
 下面例子可以总结出最大阶数的行列式因子就是|A(λ)|，这个可以作为一个显然的结论

4.Joradn标准形：

Jordan块

根据初等因子的阶数和零点唯一确定，即以下初等因子分别为：$(\lambda -2{)}^2,(\lambda +i{)}^3,{\lambda }^4$

Jordan标准形定义

5. 最后求Jordan标准型的例子