二、Jordan标准形、初等因子、不变因子

二、Jordan标准形、初等因子、不变因子

1. smith标准型

二、Jordan标准形、初等因子、不变因子_第1张图片

定义
1.最高次幂系数为1
2.d ( λ i ) 能够整除d ( λ i + 1 )
3.λ矩阵的smith标准型是唯一的

2. 求smith标准型----初等行变换(不改变矩阵的行列式因子和不变因子)

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3. 行列式因子、不变因子、初等因子

k阶行列式因子: A (λ)中的所有非零的k阶子式的首一最大公因式 D k ( λ ) D_{k}(λ) Dk(λ) (首一:最高次数项系数为1)
其中: d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) ; d k ( λ ) = D k ( λ ) / D k − 1 ( λ ) , k = 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , r d_{1} (λ) = D_{1} (λ);d_{k} (λ) = D_{k} (λ) /D_{ k-1}(λ), k = 2, · · · , r d1(λ)=D1(λ)dk(λ)=Dk(λ)/Dk1(λ),k=2,,r
不变因子:smith标准型对角线上元素 d k ( λ ) d_{k}(λ) dk(λ),即上例中的 1 , λ , λ 2 + λ 1, λ ,λ^2+λ 1λλ2+λ
初等因子:把–矩阵 ()的每个次数≥1的不变因子 d k ( λ ) d_{k}(λ) dk(λ)在复数域上分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积,所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)----就是不变因子的因式分解(不懂看下面例子)

例题解释下几个因子:

 注意:这里的几个因子是针对A(λ)的,就是λE−A所得的矩阵 不要跟A矩阵性质搞混淆了(只有数字的矩阵)
 下面例子可以总结出最大阶数的行列式因子就是|A(λ)|,这个可以作为一个显然的结论

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4.Joradn标准形:

Jordan块

根据初等因子的阶数和零点唯一确定,即以下初等因子分别为: ( λ − 2 ) 2 , ( λ + i ) 3 , λ 4 (\lambda-2)^{2}, (\lambda+i)^{3}, \lambda^{4} (λ2)2,(λ+i)3,λ4
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Jordan标准形定义

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5. 最后求Jordan标准型的例子

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