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机器人动力学与控制学习笔记（六）————机器人PID控制

六、机器人鲁棒自适应PD控制

6.1 问题的提出

对于具有强耦合性和非线性的机器人系统而言，线性PD控制是最为简单且行之有效的控制方法，在工业机器人中得到了广泛应用。但实践表明，线性PD控制往往要求驱动机构有很大的初始输出，而实际驱动机构（通常是电机）往往不可能提供过大的初始力矩，且机械臂本身所承受的最大力矩也是有限的，这将使通过增大PD控制系数来进一步提高系数的性能受到限制。鉴于此，很多非线性PD控制方法被提出了出来，但常规的非线性PD控制器只有单纯的PD项，要求比例和微分项的系数仍较大，存在输出力矩较大的问题。

现有一种自适应鲁棒PD控制策略，避免了初始输出力矩过大的弊端。该控制器由非线性PD反馈和补偿控制两部分构成，机器人不确定动力学部分由回归矩阵构成的自适应控制器进行补偿，并针对机器人有界扰动的上确界是否已知设计了两种不同的扰动补偿法。该控制策略的优点在于当初始误差较大时，PD反馈起主要作用，通过非线性PD控制，避免了过大初始力矩输出；当误差较小时，自适应控制器起着主要的作用，从而保证了系统具有良好的动态性能。

6.2 机器人动力学模型及其结构特性

考虑一个N关节的机器人力臂，其动态性能可以由以下二阶非线性微分方程描述：

$\tiny D\left ( q \right )\ddot{q}+C\left ( q,\dot{q} \right )\dot{q}+G\left ( q \right )+\omega =\tau$ （6.7）

式中： $\tiny q\in R^{n}$ 为关节角位移量， $\tiny D\left ( q \right )\in R^{n\times n}$ 为机器人的惯性矩阵， $\tiny C\left ( q,\dot{q} \right )\in R^{n}$ 表示离心力和哥氏力， $\tiny G\left ( q \right )\in R^{n}$ 为重力项， $\tiny \tau \in R^{n}$ 为控制力矩， $\tiny \omega \in R^{n}$ 为各种误差和扰动。

机器人系统的动力学特性如下:

特性1 $D\left ( q \right )-2C\left ( q,\dot{q} \right )$ 是一个斜对称矩阵。
特性2 惯性矩阵 $D\left ( q \right )$ 是对称正定矩阵，存在正数 $m_{1},m_{2}$ 满足如下不等式：

$m_{1}\left \| x \right \|^{2}\leqslant x^{T}D\left ( q \right )x\leqslant m_{2}\left \| x \right \|^{2}$ （6.8）

特性3 存在一个依赖于机械手参数的参数向量，使得 $D\left ( q \right ),C\left ( q,\dot{q} \right ),G\left ( q \right )$ 满足线性关系：

$D\left ( q \right )\theta +C\left ( q,\dot{q} \right )\rho +G\left ( q \right )=\Phi \left ( q,\dot{q},\rho ,\theta \right )P$ （6.9）

其中， $\Phi \left ( q,\dot{q},\rho ,\theta \right )\in R^{n\times m}$ 为已知关节变量函数的回归矩阵，它是机器人广义坐标及其各阶导数的已知函数矩阵； $P\in R^{n}$ 是描述机器人质量特性的未知定常参数向量。

假设1 $q_{d}\in R^{n}$ 为期望的关节角位移， $q_{d}$ 的一阶导数和二阶导数存在。

假设2 误差和扰动 $\omega$ 的范数满足：

$\left \| \omega \right \|\leqslant d_{1}+d_{2}\left \| e \right \|+d_{3}\left \| \dot{e} \right \|$ （6.10）

其中， $d_{1},d_{2},d_{3}$ 分别为正常数， $e=q=q_{d},\dot{e}=\dot{q}-\dot{q}_{d}$ 分别为跟踪误差和跟踪误差导数。

6.3 控制器的设计

分别引入变量 $\tiny y$ 和 $\tiny q_{r}$ ，并令：

$\tiny y=\dot{e}+\gamma e$ （6.11）

$\tiny \dot{q_{r}}=\dot{q_{d}}-\gamma _{e}$ （6.12）
其中常数 $\tiny \gamma >0$ ，则可推出：

$\tiny y=\dot{q}-\dot{q_{r}}$ （6.13）

由式（6.9）中的机器人线性关系特性，取 $\theta =\ddot{q}_{r},\rho =\dot{q}_{r}$ ，得：

$D\left ( q \right )\ddot{q}_{r} +C\left ( q,\dot{q} \right )\dot{q}_{r} +G\left ( q \right )=\Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q}_{r} ,\ddot{q}_{r} \right )P$ （6.14）

由式（6.13）得 $\dot{q}_{r}=\dot{q}-y$ ，将其代入上式，得：

$D\left ( q \right )\left (\ddot{q}-\dot{y} \right )+C\left ( q,\dot{q} \right )\left (\dot{q}-y \right ) +G\left ( q \right )=\Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q}_{r} ,\ddot{q}_{r} \right )P$

将上式结合式（6.7），得：

$D\left ( q \right )\dot{y}+C\left ( q,\dot{q} \right )y =\tau -\Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q}_{r} ,\ddot{q}_{r} \right )P-\omega$ （6.15）

1.扰动信号的上确界已知时控制器的设计

对于式（6.7）所示的机器人系统，在误差扰动信号的上确界已知时，采用以下控制器和自适应律，可保证系统全局渐进稳定。

$\tiny \tau =-K_{p}e-K_{v}\dot{e}+\Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q}_{r},\ddot{q}_{r} \right )\hat{P}+u$ （6.16）

$\tiny u=\begin{bmatrix} u_{1}\cdots u_{n} \end{bmatrix}^{T}$ ， $\tiny u_{i}=-\left ( d_{1}+d_{2}\left \| e \right \|+d_{3}\left \| \dot{e} \right \| \right )sgn\left ( y_{i} \right )$ （6.17）

$\tiny \hat{p}$ 的参数估计律取：

$\tiny \dot{\hat{p}}=-\Gamma \Phi ^{T}\left ( q,\dot{q},\dot{q}_{r} ,\ddot{q}_{r}\right )y$ （6.18）

式中

$\tiny K_{p}=K_{p1}+K_{p2}B_{p}\left ( e \right ),K_{v}=K_{v1}+K_{v2}B_{v}\left ( \dot{e} \right )$

$\tiny K_{p1}=diag\left ( k_{p11}, k_{p12},\cdots ,k_{p1n}\right ),K_{p2}=diag\left ( k_{p21}, k_{p22},\cdots ,k_{p2n}\right )$

$\tiny K_{v1}=diag\left ( k_{v11}, k_{v12},\cdots ,k_{v1n}\right ),K_{v2}=diag\left ( k_{v21}, k_{v22},\cdots ,k_{v2n}\right )$

$\tiny B_{p}\left ( e \right )=diag\left ( \frac{1}{\alpha _{1}+\left | e_{1} \right |} , \frac{1}{\alpha _{2}+\left | e_{2} \right |}, \cdots ,\frac{1}{\alpha _{n}+\left | e_{n} \right |}\right )$

$\tiny B_{v}\left ( e \right )=diag\left ( \frac{1}{\beta _{1}+\left | \dot{e}_{1} \right |} , \frac{1}{\beta _{2}+\left | \dot{e}_{2} \right |}, \cdots ,\frac{1}{\beta _{n}+\left | \dot{e}_{n} \right |}\right )$

其中 $\tiny k_{p1i},k_{p2i},k_{v1i},k_{v2i},\alpha _{i},\beta _{i}\left ( i=1,2,\cdots ,n \right )$ 均大于零， $\tiny \Gamma$ 为正定对称阵。

证明过程略。

2.扰动信号的上确界未知时控制器的设计

定理当误差扰动信号 $\tiny \omega$ 的上确界为未知时，设计控制器为：

$\tiny \tau =-K_{p}e-K_{v}\dot{e}+\Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q}_{r} ,\ddot{q}_{r} \right )\hat{P}+u$ （6.21）

$\tiny u=-\frac{\left ( \hat{d} f\right )^{2}}{\hat{d} f\left \| y \right \|+\varepsilon ^{2}}y$ （6.22）

$\tiny \dot{\hat{d}}=\gamma _{1}f\left \| y \right \|,\hat{d}\left ( 0 \right )=0$ （6.23）

$\tiny \dot{\varepsilon }=-\gamma _{2}\varepsilon ,\varepsilon \left ( 0 \right )=0$ （6.24）

其中 $\tiny K_{p},K_{v}$ 的取值同式（6.16），并保证满足式（6.19）， $\tiny P$ 的估计值 $\tiny \hat{P}$ 通过式（6.18）求得， $\tiny d=d_{1}+d_{2}+d_{3}$ ， $\tiny \tilde{d}=d-\hat{d}$ ，， $\tiny \hat{d}$ 为 $\tiny d$ 的估值， $\tiny \gamma _{1},\gamma _{2}$ 均为任意的正常数。

对式（6.7）所示的机器人系统，并且误差扰动信号的上确界未知时，采用式（6.21）和式（6.22）的控制律可保证系统全局渐进稳定。

证明过程略。

6.4 机器人动态方程的线性化推导

考虑动态方程：

$\tiny D\left ( q \right )\ddot{q_{r}}+C\left ( q,\dot{q} \right )\dot{q_{r}}+G\left ( q \right )=\Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q_{r}}, \ddot{q_{r}}\right )P$

为了实现控制律式（6.16）、式（6.17）和自适应律式（6.18），必须给出式（6.28）中 $\tiny \Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q_{r}}, \ddot{q_{r}}\right )$ 和 $\tiny P$ 的表达。

针对双力臂机器人动态方程：

$\tiny \begin{bmatrix} D_{11} \left ( q_{2} \right )&D_{21} \left ( q_{2} \right ) \\ D_{12} \left ( q_{2} \right )&D_{22} \left ( q_{2} \right ) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ddot{q_{1}} \\ \ddot{q_{2}} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -C_{12} \left ( q_{2} \right )\dot{q_{2}}&-C_{12} \left ( q_{2} \right )\left ( \dot{q_{1}} +\dot{q_{2}} \right ) \\ C_{12} \left ( q_{2} \right )\dot{q_{1}}&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{q_{1}} \\ \dot{q_{2}} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} G_{1} \left ( q_{1},q_{2} \right )g\\ G_{2} \left \left (q_{1},q_{2} \right )g \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \tau _{1} \\ \tau _{2} \end{bmatrix}$ （6.26）

其中

$\tiny D_{11}\left ( q_{2} \right )=\left ( m_{1}+m_{2}\right )r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+2m_{2}r_{1}r_{2}cosq_{2}$

$\tiny D_{12}\left ( q_{2} \right )=m_{2}r_{2}^{2}+m_{2}r_{1}r_{2}cosq_{2}$

$\tiny D_{22}\left ( q_{2} \right )=m_{2}r_{2}^{2}$

$\tiny C_{12}\left ( q_{2} \right )=m_{2}r_{2}r_{2}sinq_{2}$

$\tiny G_{1}\left ( q_{1},q_{2} \right )=\left ( m_{1}+m_{2} \right )r_{1}cosq_{2}+m_{2}r_{2}cos\left ( q_{1}+q_{2} \right )$

$\tiny G_{2}\left ( q_{1},q_{2} \right )=m_{2}r_{2}cos\left ( q_{1}+q_{2} \right )$

则式（6.25）中的第一个关节方程为：

$\begin{bmatrix} D\left ( 1,1 \right ) & D\left ( 1,2 \right ) \end{bmatrix}\ddot{q}_{r}+\begin{bmatrix} C\left ( 1,1 \right ) & C\left ( 1,2 \right ) \end{bmatrix}\dot{q}_{r}+G\left ( 1 \right )=\begin{bmatrix} \phi _{11}& \phi _{12} & \phi _{13} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{bmatrix}$

则式（6.25）中的第二个关节方程为：

$\begin{bmatrix} D\left ( 2,1 \right ) & D\left ( 2,2 \right ) \end{bmatrix}\ddot{q}_{r}+\begin{bmatrix} C\left ( 1,1 \right ) & C\left ( 1,2 \right ) \end{bmatrix}\dot{q}_{r}+G\left ( 2 \right )=\begin{bmatrix} \phi _{21}& \phi _{22} & \phi _{23} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{bmatrix}$

根据机器人系统的动力学特性3，取回归矩阵 $\tiny \Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q_{r}}, \ddot{q_{r}}\right )$ 的表达式为：

$\tiny \phi _{11}=\ddot{q}_{1r}+e_{1}cosq_{2}$

$\tiny \phi _{12}=\ddot{q}_{1r}+\ddot{q}_{2r}$

$\tiny \phi _{13}=2\ddot{q}_{1r}cosq_{2}+\ddot{q}_{2r}cosq_{2}-\dot{q}_{2}\dot{q}_{1r}sinq_{2}-\left ( \dot{q_{1}}+ \dot{q_{2}}\right )\dot{q}_{2r}sinq_{2}+e_{1}cos\left ( q_{1}+q_{2} \right )$

$\tiny \phi _{21}=0$

$\tiny \phi _{22}=\phi _{12}$

$\tiny \phi _{23}=\dot{q}_{1}\dot{q}_{1r}sinq_{2}+\ddot{q}_{1r}cosq_{2}+e_{1}cos(q_{1}+q_{2})$

其中 $\tiny e_{1}=\frac{g}{r_{1}}$ ， $\tiny g=9.8$ 。

可见，由于 $\tiny \Phi \left ( q,\dot{q},\dot{q_{r}}, \ddot{q_{r}}\right )$ 的表达式不含有 $\tiny m_{1}$ 和 $\tiny m_{2}$ ，故本控制算法可实现变负载的机械手控制。

6.5 仿真实例

被控对象为双力臂机器人动态方程式（6.26）， $\tiny r_{1}=1,r_{2}=0.8,m_{1}=0.5,m_{2}=0.5$ 。

误差扰动、位置指令和系统的初始状态分别为：
$\tiny d_{1}=2,d_{2}=3,d_{3}=6,\omega =d_{1}+d_{2}\left \| e \right \|+d_{2}\left \| \dot{e} \right \|$

$\tiny \left\{\begin{matrix} q_{1d}=sin(2\pi t)\\ q_{2d}=sin(2\pi t) \end{matrix}\right.,\begin{bmatrix} q_{1}\\ \dot{q}_{1}\\ q_{2}\\ \dot{q}_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.1\\0\\0.1\\0 \end{bmatrix}$
控制参数取

$\tiny K_{p1}=diag\left ( 180,190 \right ),K_{p2}=diag\left ( 150,150 \right )$

$\tiny K_{v1}=diag\left ( 180,180 \right ),K_{v2}=diag\left ( 150,150 \right )$

$\tiny \alpha _{i}=\beta _{i}=1\left ( i=1,2 \right ),\gamma =5,\Gamma =\begin{bmatrix} 5 & 0 &0 \\ 0 & 5 &0 \\ 0 &0 & 5 \end{bmatrix}$

采用S函数进行控制器和被控对象的设计。按扰动上确界已知和未知两种情况进行仿真。

仿真之一

仿真程序

控制主程序：chap2_2sim.mdl

指令信号子程序：chap2_2input.m

function[sys,x0,str,ts] = chap2_2input(t,x,u,flag)
switch flag
case 0
     [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 3
     sys = mdlOutputs(t,x,u);
case {2,4,9}
     sys = [];
otherwise
     error(['Unhandled flag = ',num2str(falg)]);
end
 
function[sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumOutputs = 6;
sizes.NumInputs = 0;
sizes.DirFeedthrough = 0;
sizes.NumSampleTimes = 0;
sys = simsizes(sizes);
x0 =[];
str =[];
ts =[];
 
function sys = mdlOutputs(t,x,u)
q1_d = sin(2*pi*t);                    %关节1期望的角位移
q2_d = sin(2*pi*t);                    %关节2期望的角位移
dq1_d = 2*pi*cos(2*pi*t);              %关节1期望的角位移的导数
dq2_d = 2*pi*cos(2*pi*t);              %关节1期望的角位移的导数
ddq1_d = -(2*pi)^2*sin(2*pi*t);        %关节1期望的角位移的二阶导数
ddq2_d = -(2*pi)^2*sin(2*pi*t);        %关节1期望的角位移的二阶导数
 
sys(1) = q1_d;                         %赋值给sys，一共6个输入
sys(2) = dq1_d;                      
sys(3) = ddq1_d;
sys(4) = q2_d;
sys(5) = dq2_d;
sys(6) = ddq2_d;

控制器子程序：chap2_2ctrl.m

%本文件是控制策略
function [sys,x0,str,ts] = chap2_2ctrl(t,x,u,flag)
switch flag
case 0
     [sys, x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 3
     sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
     sys = [];
otherwise
     error(['Unhandled flag =',num2str(flag)]);
end
 
function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumOutputs      = 2;
sizes.NumInputs       = 13;
sizes.DirFeedthrough  = 1;
sizes.NumSampleTimes  = 0;
sys = simsizes(sizes);
x0 = [];
str =[];
ts = [];
 
function sys = mdlOutputs(t,x,u)
q1_d = u(1);dq1_d = u(2);ddq1_d = u(3);                %关节1期望的角位移，导数，二阶导数
q2_d = u(4);dq2_d = u(5);ddq2_d = u(6);                %关节2期望的角位移，导数，二阶导数
q1 = u(7);dq1 = u(8);                                  %关节1实际的角位移及导数
q2 = u(9);dq2 = u(10);                                 %关节2实际的角位移及导数
 
dq_d = [dq1_d,dq2_d]' ;                               %关节1和关节2期望的角位移的导数矩阵
ddq_d = [ddq1_d,ddq2_d].';                              %矩阵加单引号表示共轭转置，不仅交换行列，还改变虚部符号
  
e = [q1-q1_d,q2-q2_d].';                                %跟踪误差
de = [dq1-dq1_d,dq2-dq2_d].';                           %跟踪误差导数
 
gama = 5*eye(2);                                       %eye（2）表示生成2*2单位矩阵
y = gama.*e+de;                                        %变量y
 
dqr = dq_d-gama.*e;                                    %变量dqr是二维列向量
ddqr = ddq_d-gama.*de;                                  
 
%扰动信号的上确界已知时控制器的设计
d1 = 2;d2 = 3;d3 = 6;
u1 = -(d1+d2*norm([e(1),e(2)])+d3*norm([de(1),de(2)]))*sign(y(1));      %norm([e(1),e(2)])是范数，求e(1)的平方加e(2)的平方和再开根号
u2 = -(d1+d2*norm([e(1),e(2)])+d3*norm([de(1),de(2)]))*sign(y(2));
 
Kp1 = [180,0;0,190];
Kp2 = [150,0;0,150];
Kv1 = [180,0;0,190];
Kv2 = [150,0;0,150];
 
alfa1 = 1;alfa2 = 1;
beta1 = 1;beta2 = 1;
 
p1 = u(11);
p2 = u(12);
p3 = u(13);
P = [p1 p2 p3].';
r1 = 1;g = 9.8;e1 = g/r1;
fai11 = ddqr(1)+e1*cos(q2);
fai12 = ddqr(1)+ ddqr(2);
fai13 = 2*ddqr(1)*cos(q2)+ddqr(2)*cos(q2)-dq2*dqr(1)*dqr(1)*sin(q2)-(dq1+dq2)*dqr(2)*sin(q2)+e1*cos(q1+q2);
fai21 = 0;
fai22 = fai12;
fai23 = dq1*dqr(1)*sin(q2)+ddqr(1)*cos(q2)+e1*cos(q1+q2);
FAI = [fai11 fai12 fai13;fai21 fai22 fai23];
R = FAI * P;
tol(1) = -(Kp1(1,1)+Kp2(1,1)/(alfa1+abs(e(1))))*e(1)-(Kv1(1,1)+Kv2(1,1)/(beta1+abs(de(1))))*de(1)+R(1)+u1;                            %控制力矩tol
tol(2) = -(Kp1(2,2)+Kp2(2,2)/(alfa2+abs(e(2))))*e(2)-(Kv1(2,2)+Kv2(2,2)/(beta2+abs(de(2))))*de(2)+R(2)+u2;                            %控制力矩tol
sys(1) = tol(1);
sys(2) = tol(2);

自适应算法子程序：chap2_2adapt.m

%机器人自适应控制律
function [sys,x0,str,ts] = chap2_2adapt(t,x,u,flag)
switch flag
case 0
     [sys, x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 1
     sys = mdlDerivatives(t,x,u);
case 3
     sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
     sys = [];
otherwise
     error(['Unhandled flag =',num2str(flag)]);
end
 
function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates    = 3;
sizes.NumDiscStates   = 0;
sizes.NumOutputs      = 3;
sizes.NumInputs       = 10;
sizes.DirFeedthrough  = 1;
sizes.NumSampleTimes  = 0;
 
sys = simsizes(sizes);
x0 = [4.1,1.9,1.7];
str =[];
ts = [];
function sys = mdlDerivatives(t,x,u)
q1_d = u(1);dq1_d = u(2);ddq1_d = u(3);
q2_d = u(4);dq2_d = u(5);ddq2_d = u(6);
 
q1 = u(7);dq1 = u(8);                            
q2 = u(9);dq2 = u(10);                          
q_error  = [q1-q1_d,q2-q2_d]';
dq_error = [dq1-dq1_d,dq2-dq2_d]';
 
gama = 5*eye(2);
y = gama*q_error+dq_error;
ddq_d = [ddq1_d,ddq2_d]';
dq_d  = [dq1_d,dq2_d]';
 
dqr = dq_d-gama*q_error;
ddqr = ddq_d-gama*dq_error;
 
g = 9.8; r1 =1;
e1 = g/r1;
fai11 = ddqr(1)+e1*cos(q2);
fai12 = ddqr(1)+ddqr(2);
fai13 = 2*ddqr(1)*cos(q2)+ddqr(2)*cos(q2)-dq2*dqr(1)*sin(q2)-(dq1+dq2)*dqr(2)*sin(q2)+e1*cos(q1+q2);
 
fai21 = 0;
fai22 = fai12;
fai23 = dq1*dqr(1)*sin(q2)+ddqr(1)*cos(q2)+e1*cos(q1+q2);
FAI =[fai11 fai12 fai13;fai21 fai22 fai23];
Gama = 5*eye(3);
S = -Gama*FAI'*y;
for i=1:1:3
  sys(i)=S(i);
end
function sys = mdlOutputs(t,x,u)
sys(1) = x(1);
sys(2) = x(2);
sys(3) = x(3);

被控对象子程序：chap2_2plant.m

%机器人平台
function [sys,x0,str,ts] = chap2_2plant(t,x,u,flag)
switch flag
case 0
     [sys, x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 1
     sys = mdlDerivatives(t,x,u);
case 3
     sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
     sys = [];
otherwise
     error(['Unhandled flag =',num2str(flag)]);
end
 
function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates   = 4;
sizes.NumDiscStates   = 0;
sizes.NumOutputs      = 4;
sizes.NumInputs       = 2;
sizes.DirFeedthrough  = 0;
sizes.NumSampleTimes  = 0;
 
sys = simsizes(sizes);
x0 = [0.10,0,0.10,0];
str =[];
ts = [];
function sys = mdlDerivatives(t,x,u)
q1_d = sin(2*pi*t);                           %给定关节1的期望轨迹
q2_d = sin(2*pi*t);                           %给定关节2的期望轨迹
dq1_d = 2*pi*cos(2*pi*t);                     %给定关节1的期望轨迹的导数
dq2_d = 2*pi*cos(2*pi*t);                     %给定关节2的期望轨迹的导数
%ddq1_d = -(2*pi)^2*sin(2*pi*t);               %给定关节1的期望轨迹的二阶导数
%ddq2_d = -(2*pi)^2*sin(2*pi*t);               %给定关节2的期望轨迹的二阶导数
  
e(1) = x(1)-q1_d;                             %关节1角位移的跟踪误差
e(2) = x(3)-q2_d;                             %关节2角位移的跟踪误差
de(1) = x(2)-dq1_d;                           %关节1角位移的跟踪误差的导数
de(2) = x(4)-dq2_d;                           %关节2角位移的跟踪误差的导数
 
tol = [u(1);u(2)];
q1  = x(1);
dq1 = x(2);
q2  = x(3);
dq2 = x(4);
 
m1 = 0.5;m2 = 0.5;                            %机器人的双臂连杆的质量
r1 = 1;r2 = 0.8;                              %机器人的双臂连杆端点到质心之间的距离
g = 9.8;                                      %重力加速度g
 
D11 = (m1+m2)*r1^2+m2*r2^2+2*m2*r1*r2*cos(q2);           %机器人的惯性矩阵      
D12 = m2*r2^2+m2*r1*r2*cos(q2);                          %机器人的惯性矩阵   
D22 = m2*r2^2;                                           %机器人的惯性矩阵   
D = [D11 D12;D12 D22];                                   %机器人的惯性矩阵   
 
C12 = m2*r1*r2*sin(q2);                                  %机器人的离心力和哥氏力
C = [-C12*dq2 -C12*(dq1+dq2);C12*dq1 0];                 %机器人的离心力和哥氏力
  
g1 = (m1+m2)*r1*cos(q2)+m2*r2*cos(q1+q2);                %机器人的重力项
g2 = m2*r2*cos(q1+q2);                                   %机器人的重力项
G = [g1*g;g2*g];                                         %机器人的重力项
w = [1.5;1.5]+2.0*[e(1);e(2)]+5.0*[de(1);de(2)];         %其余误差和扰动
 
S = inv(D).*(tol-[dq1;dq2].*C-G-w);                      %S为给定关节的期望轨迹的二阶导数，即ddq
 
sys(1)=x(2);                                             %给定关节1的实际轨迹的导数
sys(2)=S(1);                                             %
sys(3)=x(4);                                             %给定关节2的实际轨迹的导数
sys(4)=S(2);                                             %

function sys = mdlOutputs(t,x,u)
sys(1) = x(1);                                           %给定关节1的实际轨迹
sys(2) = x(2);                                           %给定关节1的实际轨迹的导数
sys(3) = x(3);                                           %给定关节1的实际轨迹
sys(4) = x(4);                                           %给定关节1的实际轨迹的导数

作图子程序：chap2_2plot.m

close all;
 

t = out.t.Data;
qd = out.qd.Data;
q = out.q.Data; 
p = out.p.Data;

figure(1);
subplot(211);
plot(t,qd(:,1),'r',t,q(:,1),'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('position tracking of link 1');
subplot(212);
plot(t,qd(:,2),'r',t,q(:,2),'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('velocity tracking of link 1');
 
figure(2);
subplot(211);
plot(t,qd(:,4),'r',t,q(:,3),'b');;
xlabel('time(s)');
ylabel('position tracking of link 2');
subplot(212);
plot(t,qd(:,5),'r',t,q(:,4),'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('velocity tracking of link 2');
 
m1 = 0.5;m2 = 0.5;
r1 = 1; r2 = 0.8;
p1 = (m1+m2)*r1^2;
p2 = m2*r2^2;
p3 = m2*r1*r2;
 
figure(3);
subplot(311);
plot(t,p(:,1),'r',t,p1,'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('p1 estimate value');
subplot(312);
plot(t,p(:,2),'r',t,p2,'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('p2 estimate value');
subplot(313);
plot(t,p(:,3),'r',t,p3,'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('p3 estimate value');

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redis常见使用 cuityang redis 常见使用
redis 通常被认为是一个数据结构服务器，主要是因为其有着丰富的数据结构 strings、map、 list、sets、 sorted sets 引入jar包 jedis-2.1.0.jar (本文下方提供下载) package redistest; import redis.clients.jedis.Jedis; public class Listtest
配置多个redis dalan_123 redis
配置多个redis客户端 <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?><beans xmlns="http://www.springframework.org/schema/beans" xmlns:xsi=&quo
attrib命令 dcj3sjt126com attr
attrib指令用于修改文件的属性.文件的常见属性有:只读.存档.隐藏和系统. 只读属性是指文件只可以做读的操作.不能对文件进行写的操作.就是文件的写保护. 存档属性是用来标记文件改动的.即在上一次备份后文件有所改动.一些备份软件在备份的时候会只去备份带有存档属性的文件.
Yii使用公共函数 dcj3sjt126com yii
在网站项目中，没必要把公用的函数写成一个工具类，有时候面向过程其实更方便。在入口文件index.php里添加 require_once('protected/function.php'); 即可对其引用，成为公用的函数集合。 function.php如下： <?php /** * This is the shortcut to D
linux 系统资源的查看（free、uname、uptime、netstat） eksliang netstat linux uname linux uptime linux free
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JAVA的位操作符 greemranqq 位运算 JAVA位移 <<>>>
最近几种进制，加上各种位操作符，发现都比较模糊，不能完全掌握，这里就再熟悉熟悉。 1.按位操作符：按位操作符是用来操作基本数据类型中的单个bit,即二进制位，会对两个参数执行布尔代数运算，获得结果。与（&）运算： 1&1 = 1, 1&0 = 0, 0&0 &
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强强联合：FluxBB 作者加盟 Flarum justjavac r
原文：FluxBB Joins Forces With Flarum作者：Toby Zerner译文：强强联合：FluxBB 作者加盟 Flarum译者：justjavac FluxBB 是一个快速、轻量级论坛软件，它的开发者是一名德国的 PHP 天才 Franz Liedke。FluxBB 的下一个版本(2.0)将被完全重写，并已经开发了一段时间。FluxBB 看起来非常有前途的，
java统计在线人数（session存储信息的） macroli java Web
这篇日志是我写的第三次了前两次都发布失败！郁闷极了！由于在web开发中常常用到这一部分所以在此记录一下，呵呵，就到备忘录了！我对于登录信息时使用session存储的，所以我这里是通过实现HttpSessionAttributeListener这个接口完成的。 1、实现接口类，在web.xml文件中配置监听类，从而可以使该类完成其工作。 public class Ses
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SparkSQL读取HBase数据，通过自定义外部数据源 superlxw1234 spark sparksql sparksql读取hbase sparksql外部数据源
关键字：SparkSQL读取HBase、SparkSQL自定义外部数据源前面文章介绍了SparSQL通过Hive操作HBase表。 SparkSQL从1.2开始支持自定义外部数据源(External DataSource)，这样就可以通过API接口来实现自己的外部数据源。这里基于Spark1.4.0，简单介绍SparkSQL自定义外部数据源，访
Spring Boot 1.3.0.M1发布 wiselyman spring boot
Spring Boot 1.3.0.M1于6.12日发布，现在可以从Spring milestone repository下载。这个版本是基于Spring Framework 4.2.0.RC1,并在Spring Boot 1.2之上提供了大量的新特性improvements and new features。主要包含以下： 1.提供一个新的sprin