深度学习基础15（softmax回归的基本实现）

softmax回归的从零开始实现

引入Fashion-MNIST数据集， 并设置数据迭代器的批量大小为256。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表示。

原始数据集中的每个样本都是28×28的图像。

在这里，将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。

现在暂时只把每个像素位置看作一个特征。

在softmax回归中，输出与类别一样多。

因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。

因此，权重将构成一个784×10的矩阵， 偏置将构成一个1×10的行向量。

与线性回归一样，我们使用正态分布初始化权重W，偏置初始化为0。

拉成向量之后，自然会损失很多空间信息，这个工作就交给卷积神经网络了

num_inputs = 784
num_outputs = 10
#下面来定义权重
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)#w跟之前一样，初始化为正太（高斯）随机分布的值，均值为0，标准差为0.01，size=(num_inputs, num_outputs)很关键，行数为输入的个数784，列数为输出的个数10，requires_grad=True因为要计算梯度
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)#对每个输出都要有个偏移，所以偏移为长为10的向量，同样需要计算梯度

定义softmax操作

在实现softmax回归模型之前，回顾一下sum运算符如何沿着张量中的特定维度工作。

给定一个矩阵X，我们可以对所有元素求和（默认情况下）。 也可以只求同一个轴上的元素，即同一列（轴0）或同一行（轴1）。

如果X是一个形状为(2, 3)的张量，我们对列进行求和， 则结果将是一个具有形状(3,)的向量。

当调用sum运算符时，可以指定保持在原始张量的轴数，而不折叠求和的维度。 这将产生一个具有形状(1, 3)的二维张量。

X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)

(tensor([[5., 7., 9.]]),

tensor([[ 6.],

​ [15.]]))

实现softmax由三个步骤组成：

1. 对每个项求幂（使用exp）；
2. 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
3. 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。

回顾一下这个表达式：

(

)

分母或规范化常数，有时也称为配分函数（其对数称为对数-配分函数）。 该名称来自统计物理学中一个模拟粒子群分布的方程。

def softmax(X):#X是一个矩阵
    X_exp = torch.exp(X)#对每一个元素做指数运算
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)#接下来按行进行求和
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制，对于每一行都除以了partition中第i个元素

对于任何随机输入，我们将每个元素变成一个非负数。 此外，依据概率原理，每行总和为1。

接下来，验证一下这个函数是否正确

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))#创建一个随机的均值为0，标准差为1的两行五列的矩阵
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)

(tensor([[0.0537, 0.5367, 0.1578, 0.1037, 0.1481],

​ [0.0389, 0.2514, 0.0509, 0.1715, 0.4873]]), #可以发现softmax没有改变形状，还是两行五列的形状，但是值都变为正的了

tensor([1., 1.]))

注意，虽然这在数学上看起来是正确的，但我们在代码实现中有点草率。 矩阵中的非常大或非常小的元素可能造成数值上溢或下溢，但我们没有采取措施来防止这点。

定义模型

定义softmax操作后，可以实现softmax回归模型。

下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。

注意，将数据传递到模型之前，使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):#因为我们需要的是批量大小乘以输入维数的一个矩阵，所以X.reshape((-1, W.shape[0])), W)为一个2d的矩阵
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)#-1意思是自己算一下批量大小是多少，这里是256，W.shape[0]是784，torch.matmul是矩阵乘法，把X和W相乘，在通过广播机制加上偏移b，最后放进softmax里面

定义损失函数

接下来，我们实现交叉熵损失函数。 这可能是深度学习中最常见的损失函数，因为目前分类问题的数量远远超过回归问题的数量。

交叉熵采用真实标签的预测概率的负对数似然。

下面补一个细节，怎么样在我的预测值里面根据我的标号把对应的预测值拿出来？

这里我们不使用Python的for循环迭代预测（这往往是低效的）， 而是通过一个运算符选择所有元素。

下面，我们创建一个数据样本y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率， 以及它们对应的标签y。

有了y，我们知道在第一个样本中，第一类是正确的预测； 而在第二个样本中，第三类是正确的预测。

然后使用y作为y_hat中概率的索引， 选择第一个样本中第一个类的概率和第二个样本中第三个类的概率。

举个例子：

y = torch.tensor([0, 2])#先创建一个长度为2的向量，0和2在第三行的y里面表示的是两个下标，下标0，下标2
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])#[0.1, 0.3, 0.6]是第0个样本的预测值
y_hat[[0, 1], y]#对第0个样本，拿出来y0对应的那一个元素（0）（把它对应标号的预测值拿出来），对第1个样本拿出y1里面下标（2）对应的输出

tensor([0.1000, 0.5000])

现在我们只需一行代码就可以实现交叉熵损失函数。

def cross_entropy(y_hat, y):#给定我的y_hat预测，和真实标号y
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

cross_entropy(y_hat, y)#y_hat是一个2x3的预测值（上面定义的），y是一个长为2的向量

tensor([2.3026, 0.6931]) #然后就可以拿到长为2的损失，2.3026是样本0的损失，0.6931是样本1的损失

分类精度

给定预测概率分布y_hat，当我们必须输出硬预测（hard prediction）时， 通常选择预测概率最高的类。

当预测与标签分类y一致时，即是正确的。

分类精度即正确预测数量与总预测数量之比。

虽然直接优化精度可能很困难（因为精度的计算不可导）， 但精度通常是我们最关心的性能衡量标准，我们在训练分类器时几乎总会关注它。

为了计算精度，我们执行以下操作：

• 首先，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。
• 我们使用argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。
• 然后将预测类别与真实y元素进行比较。 由于等式运算符“==”对数据类型很敏感， 因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。 结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。
• 最后，我们求和会得到正确预测的数量。

def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:#如果你的y_hat是二维矩阵的话并且你的列数也大于1的时候
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)#axis=1按照每一行求argmax（就是每一行中元素值最大的对应的下标），存到y_hat里面
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y#由于等式运算符“==”对数据类型很敏感， 因此将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致
    #这里转化为了布尔的一个tensor，并且转成了跟y一样的形状，因为下面要求和
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

我们继续使用之前定义的变量y_hat和y分别作为预测的概率分布和标签。

可以看到，第一个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.6，索引为2），这与实际标签0不一致。

第二个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.5，索引为2），这与实际标签2一致。

因此，这两个样本的分类精度率为0.5。

accuracy(y_hat, y) / len(y)

0.5

同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集， 我们可以评估在任意模型net的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):#如果使用的是一个torch.nn模型的话
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式，就是说不需要计算梯度了，只做一个forwardpass
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:#接下来对于迭代器中每一次拿到一个批量X和y
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())#net(X)先把X放到net里面算出评测值，accuracy(net(X), y)然后计算所有的计算正确的样本数，y.numel()是我们样本的总数
    return metric[0] / metric[1]#metric[0]分类正确的样本数，metric[1]总样本数

这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。

在上面的evaluate_accuracy函数中， 我们在Accumulator实例中创建了2个变量， 分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。 当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

由于我们使用随机权重初始化net模型， 因此该模型的精度应接近于随机猜测。 例如在有10个类别情况下的精度为0.1。

evaluate_accuracy(net, test_iter)

0.128

训练

在这里，我们重构训练过程的实现以使其可重复使用。

首先，定义一个函数来训练一个迭代周期。

请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。

它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):#如果使用的是nn.Module的情况下
        net.train()#开启为训练模式（告诉pytorch我要计算梯度）
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)#然后用一个长度为3的迭代器来累加一些需要的信息
    for X, y in train_iter:#扫一遍我们的数据
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)#通过交叉熵函数来计算l
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):#如果updater是pytorch里面的Optimizer（优化器）的话
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()#先把梯度清0
            l.mean().backward()#计算梯度
            updater.step()#更新
        else:
            # 使用自己定制的优化器和损失函数的情况下
            l.sum().backward()#求和算梯度
            updater(X.shape[0])#X.shape[0]根据批量大小，放进updater里面
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]#metric[0] / metric[2]损失所有loss的累加除以样本总数，metric[1] / metric[2]所有分类正确的样本数除以样本总数

在训练函数的实现之前，定义一个在动画中绘制数据的实用程序类Animator

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

接下来实现一个训练函数， 它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。

该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。

在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。

我们将利用Animator类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])#可视化的一个animator
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

我们使用 小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。

lr = 0.1

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

训练模型10个迭代周期

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

预测

现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。

给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)#真实标号拿出来
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))#预测标号拿出来
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)

小结

• 借助softmax回归，我们可以训练多分类的模型。
• 训练softmax回归循环模型与训练线性回归模型非常相似：先读取数据，再定义模型和损失函数，然后使用优化算法训练模型。大多数常见的深度学习模型都有类似的训练过程。