SIFT算法【1.3】尺度空间构建之关于高斯差分金字塔的一点理解

在学习SIFT算法时，关于我们之所以构建高斯差分金字塔（DoG）的原因，我一直没有一个直观的理解，尤其无法理解高斯差分算子（DoG）为什么与高斯拉普拉斯算子(LoG)的近似。为了弄清这个问题，首先讲解什么是高斯拉普拉斯算子：

高斯拉普拉斯算子（LoG）

Laplace算子作为一种优秀的边缘检测算子，在边缘检测中得到了广泛的应用。该方法通过对图像求图像的二阶导数的零交叉点来实现边缘的检测，公式表示如下：
在图像中，边缘可以看做是位于一阶导数较大的像素处，因此，我们可以求图像的一阶导数来确定图像的边缘，像sobel算子等一系列算子都是基于这个思想的。如下图a表示函数在边沿的时候关系，求导得b图，可知边沿就是函数的极值点，对应二阶导数为0处，如图c的二阶导数图像。后续我们进行DoG空间极值点检测时，就是等效于检测灰度图像的拉普拉斯算子的极值点（二阶导的极值点），从c图上可以看出，二阶导的极值点也是边缘点

由于Laplace算子是通过对图像进行微分操作实现边缘检测的，所以对离散点和噪声比较敏感。于是，首先对图像进行高斯卷积滤波进行降噪处理，再采用Laplace算子进行边缘检测，就可以提高算子对噪声和离散点的鲁棒性，如此，拉普拉斯高斯算子Log（Laplace of Gaussian）就诞生了。

DoG是如何与LoG近似的？

由于卷积的性质，对卷积的结果求梯度等效于先对任一求梯度再卷积，因此运算结果LoG(x,y)=▽²G(x,y)*I(x,y)，因此LoG和DoG的近似等效于▽²G(x,y)和D(x,y,σ)=[G(x,y,kσ)-G(x,y,σ)]的近似

在某一个尺度上对特征点的检测，可以通过对同一组内的两个相邻高斯尺度空间图像相减，得到一个DoG的响应值图像表示为：

其中k为两相邻尺度空间倍数。

基于热传导理论的理解

然而，这与LoG又有何关系呢？在这里不得不跳跃性地提到热传导方程：
（https://blog.csdn.net/zhao_cq/article/details/86178779）

u为温度值，t为时间，k为常量。在这里，我们把高斯核函数G（x,y,σ）看做平面上的温度函数，σ看做时间，σ越大，高斯核的大小越大，核中心的数值越低（高斯核越“散”）。这个过程可以类比为热量传导的过程。
由热传导方程可知：

对上式进行有限差分运算，得到：

由于常数k-1并不会影响极值点的位置，DoG是对LoG的近似表示。

基于数值近似的理解

Lindeberg早在1994年就发现高斯差分方法DoG（Difference of Gaussian）是对高斯拉普拉斯方法LoG的一个近似，如图所示。

这是一个函数图像上的相似，因此我们用高斯差分来近似高斯拉普拉斯算子。