高等数学(导数的应用)

一.中值定理

1.1罗尔中值定理

满足:
(1) 在闭区间[a,b]上连续
(2) 在开区间(a,b)内可导 (无尖点)
(3) $f(a)=f(b)$ (两端同高)
则在开区间(a,b)内至少存在一点$\xi$, 使得$f^{\prime }(\xi )=0$

\quad
例题1: 函数$f(x)=\cos x$, 在区间$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$内满足罗尔定理的$\xi$=______
$f^{\prime }(x)=-\sin x=0$
x=0

\quad
例题2: 下列函数在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理所有条件的是____
A. $y=2x+1$ \quad (两边不同高)
B. $y=|x|-1$ \quad (有尖点)
C. $y=x^2+1$
D. $y=\frac{1}{x^2}-1$ \quad (有断点, x不能为0)

\quad
例题3: 函数$f(x)=(x-1{)}^2$满足罗尔条件的区间的是
A. [-1,3] (代点, 相等)
B. [-2,0]
C. [-1,1]
D. [0,3]

\quad
例题4: 若函数$f(x)$在[a,b]上可导, 且$f(a)=f(b)$,则$f^{\prime }(x)=0$在(a,b)内_____
A. 至少有一实根
B. 只有一个实根
C. 没有实根
D. 不一定有实根

\quad
例题5: 函数$f(x)=x\sqrt{3-x}$在[0,3]上满足罗尔定理中的数值是_____
$f^{\prime }(x)=\sqrt{3-x}+\frac{-x}{2\sqrt{3-x}}=0$
解得x=2

\quad
\quad

1.2 拉格朗日中值定理

满足:
(1) 在闭区间[a,b]上连续
(2) 在开区间(a,b)内可导
则在开区间(a,b)内至少存在一点$\xi$, 使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\xi \in (a,b)$
其实就是切线公式

\quad
例题6: 函数$f(x)=\ln (1+x)$在[0, e-1]上满足拉格朗日中值定理的数值$\xi$是____
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{e-1}$
$1+x=e-1$
$x=e-2$

\quad
例题7: 下列区间中, 能使函数$y=\frac{1}{x^2}$满足拉格朗日中值定理全部条件的是
A. [-2,2]
B. [-2,0]
C. [0,2]
D. [-2,-4] (0为断点, 此选项没0)

\quad
例题8: 函数$y=2e^x$在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的$\xi =$________
$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$y^{\prime }=2e^x=\frac{2e-2}{1-0}$
解得$x=\ln (e-1)$

\quad
例题9: 函数$f(x)=\sqrt{x}-1$在闭区间内满足拉格朗日中值定理的$\xi =(\frac{9}{4})$

\quad
\quad
几次方与图像

\quad
\quad
\quad

二.函数的单调性与极值

\quad

2.1 函数的单调性

设函数$y=f(x)$在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导
(1) 如果在(a,b)内, $f^{\prime }(x)>0$, 则函数$y=f(x)$在(a,b)上单调递增
(2) 如果在(a,b)内, $f^{\prime }(x)<0$, 则函数$y=f(x)$在(a,b)上单调递减

在一个区间内
$x_1$< $x_2$, f($x_1$)< f($x_2$) 单调递增
$x_1$< $x_2$, f($x_1$)> f($x_2$) 单调递减

\quad
例题10: 已知$f^{\prime }(x)=(x+2)(x-2)$, 则函数$f(x)$的单调递减区间是_____
$f^{\prime }(x)=(x+2)(x-2)<0$
递减区间是(-2,2)

\quad

2.2 驻点与极值点

满足导数$f^{\prime }(x_0)=0$的点$x_0$成为函数$y=f(x)$的驻点

\quad
\quad

极值点
可能是
(1) 驻点
(2) 使$f^{\prime }(x)$不存在的点 (注:分母为0)

\quad
极值的几条定理
(1) 函数的极值未必是最值
(2) 函数的极大值不一定比极小值大
\quad \quad \quad \quad 极小值不一定比极大值大
(3) 函数的极值点一定在区间内部
(4) 函数的最值可能是: (1) 区间内部的极值, (2) 区间的边界值

\quad
极值点未必是驻点
如$y=|x|$在x=0处

\quad
驻点未必是极值点
如$y=x^3$在x=0处

\quad
\quad
例题11:
已知函数$y=a{x}^2+2x+c$在点$x=1$处取得极值2, 则a=____ c=______
a+2+c=2
$y^{\prime }=2ax+2=0$
解得a=-1, c=1

\quad
\quad
例题12: 函数$y=e^x-x-2$单调递增区间是_______
$y^{\prime }=e^x-1>0$
x>0
增区间是(0,+$\infty$)

\quad
\quad

求极值的步骤
(1) 求出函数的定义域
(2) 求导数$f^{\prime }(x)$, 求出$f(x)$的驻点和使$f^{\prime }(x)$不存在的点
(3) 用这些定义域划分若干区间, 列表

\quad
例题13: 求函数$f(x)=x^3-3x^2-9x$的极值
定义域为R
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$
令$f^{\prime }(x)=0$
$3x^2-6x-9=0$
解得$x=-1$或$x=3$

x	($-\infty$,-1)	-1	(-1,3)	3	(3,+$\infty$)
$y^{\prime }$	$+$	0	$-$	0	$+$
$y$	↑	极大值	↓	极小值	↑

\quad
例题14: 求函数$f(x)=x-\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}$的极值和单调区间
定义域为R
$f^{\prime }(x)=1-x^{-\frac{1}{3}}$
令$f^{\prime }(x)=0$, \quad $1-x^{-\frac{1}{3}}=0$, 解得x=1
令$f^{\prime }(x)$不存在, $1-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$, 则x=0

x	($-\infty$, 0)	0	(0,1)	1	(1,+$\infty$)
$y^{\prime }$	$+$	不存在	$-$	0	$+$
$y$	↑	极大值	↓	极小值	↑

函数$f(x)=x-\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}$的极大值为0, 极小值为$-\frac{1}{2}$
在($-\infty$, 0)和(1,+$\infty$)上单调递增
在(0,1)上单调递减

\quad
例题15: 若$x>1$, 证明$2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$
若证$2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$
即证$f(x)=2\sqrt{x}-3+\frac{1}{x}>0$
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}>0$
则函数$f(x)$在(1,+$\infty$)上单调递增
$\because$ $x>1$
$\therefore$ $f(x)>f(1)=0$
$\therefore$ $f(x)>0$
$\therefore$ $2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$

\quad
例题16: 若$x>0$, 证明$x>\sin x$
即证: $y=x-\sin x>0$
$y^{\prime }=1-\cos x\ge 0$
$\therefore$ 函数$y=x-\sin x$在(0,+$\infty$)上单调递增
$\therefore$ $f(x)>f(0)=0$
$\therefore$ $f(x)>0$
$\therefore$ $x>\sin x$

\quad
例题17: 当 $x>0$ 时, 证明:$\ln (1+x)<x$
即证: $f(x)=\ln (1+x)-x<0$
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1<0$
函数$f(x)=\ln (1+x)-x$在(0,+$\infty$)上单调递减
$\therefore$ $f(x)<f(0)=0$
$\therefore$ $f(x)<0$
$\therefore$ $\ln (1+x)<x$

\quad
例题18: 设函数$f(x)=x|x|$
(1) 证明$f(x)$在点$x=0$ 处可导, 并求$f^{\prime }(0)$的值
(2) 讨论函数$f(x)$的单调性

$$f(x)=x|x|=\{\begin{array}{ll}-x^2& x<0\\ x^2& x\ge 0\end{array}$$
(1)
$f(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x^2-0}{x-0}=0$
$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2-0}{x-0}=0$
$\therefore$ $f(x)$在点$x=0$ 处可导, $f^{\prime }(0)=0$

(2)
当$x<0$时, $f^{\prime }(x)=-2x>0$, 函数$f(x)$在(-$\infty$,0)上单调递增
当$x\ge 0$时, $f^{\prime }(x)=2x>0$, 函数$f(x)$在(0,-$\infty$)上单调递增
$\therefore$ 函数$f(x)$在R上单调递增

\quad
\quad

2.3 凹凸性

要加上等号$y^{\prime \prime }\le 0,y^{\prime \prime }\ge 0$

\quad
例题19: 若函数$f(x)$在点$x_0$处取得极大值, 则必有
A. $f^{\prime }(x_0)=0$
B. $f^{\prime \prime }(x_0)<0$
C. $f^{\prime }(x_0)=0且f^{\prime \prime }(x_0)<0$
D. $f^{\prime }(x_0)=0或f^{\prime }(x_0)不存在$

\quad
例题20:
若函数$f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数$f^{\prime \prime }(x_0)<0$, 且$f^{\prime }(x)=0$, 则$f(x_0)=0$是____
A. 极大值
B. 极小值
C. 最大值
D. 最小值

\quad
例题20: 曲线$y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+1$的凹区间为_______$[\frac{1}{2},\infty )$
$y^{\prime }=3x^2-3x$
$y^{\prime \prime }=6x-3>0$
$x>\frac{1}{2}$

\quad
\quad

\quad
\quad

2.4 最值

\quad
例题21: 求函数$f(x)=2x^3-3x^2-12x+9$在[-2,3]上的最大值和最小值
$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12$
令$f^{\prime }(x)=0$, 即$6x^2-6x-12=0$, 解得x=-1或x=2
$f(-1)=16,f(2)=-11,f(-2)=5,f(3)=0$
$\therefore$ 函数最大值为16, 最小值为-11

\quad
例题22: 求函数$y=\sqrt{2x-x^2}$在$[0,2]$上的最大值和最小值
$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{2x-x^2}}\ast (2-2x)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$
令$y^{\prime }=0$, 解得x=1
令$y^{\prime }$不存在, 解得x=2, x=0
$f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0$
$\therefore$ 函数最大值为1, 最小值为0

\quad
\quad

2.5 拐点

拐点可能出现在:
(1) $y^{\prime \prime }(x)=0$的点
(2) $y^{\prime \prime }(x)$不存在的点

\quad
例题23: 已知曲线$y=x^3+a{x}^2+b$的拐点为(1,-1), 求常数a,b 的值

$y^{\prime }=3x^2+2ax$
$y^{\prime \prime }=6x+2a$

$f(1)=1+a+b=-1$
$f^{\prime \prime }(1)=6+2a=0$

解得: a=-3, b=1

\quad
例题24: 求曲线$f(x)=x^4-2x^3+1$的凹凸区间及拐点
$y^{\prime }=4x^3-6x^2$
$y^{\prime \prime }=12x^2-12x$
令$y^{\prime \prime }=0$, 解得x=0,或x=1

x	($-\infty$, 0)	0	(0,1)	1	(1,+$\infty$)
$y^{\prime \prime }$	$+$	0	$-$	0	$+$
$y$	凹	拐点(0,1)	凸	拐点(1,0)	凹

$\therefore$ 曲线在区间$(-\infty ,0)$及$(1,+\infty )$上是凹的, 在区间$(0,1)$上是凸的, 拐点是(0,1)和(1,0)

\quad
\quad
\quad

三.导数的应用

\quad
例题25: 设函数$f(x)=2x^3-3k{x}^2+1,k>0$
(1) 当 $k=1$时, 求$f(x)$在[0,2]上的最小值
(2) 若方程$f(x)=0$ 有3个实根, 求k的取值范围

(1) $f(x)=2x^3-3x^2+1$
$f^{\prime }(x)=6x^2-6x$
令$f^{\prime }(x)=0$, 解得, x=1或x=0
则 $f(0)=1,f(1)=0,f(2)=5$
$\therefore$ 函数$f(x)$在[0,2]上的最小值为 $f(1)=0$

(2) $f^{\prime }(x)=6x^2-6kx$
令$f^{\prime }(x)=0$, 解得 x=0或x=k
则$f(k)=2k^3-3k^3+1$, 因为k>0
显然$f(k)=2k^3-3k^3+1<0$
解得$k\in (0,+\infty )$

\quad
例题26: 已知某产品的收益函数$R(x)=-2x^3+3x^2+14x$, 成本函数$C(x)=2x+1$, 其中x为该产品的产量, 问产量x为多少时利润L(x)最大? 最大利润是多少?

利润=收益-成本
$L(x)=-2x^3+3x^2+14x-2x-1x>0$
$L^{\prime }(x)=-6x^2+6x+12$
令$f^{\prime }(x)=0$, 解得x=2或x=-1(舍去)
$\therefore 产量x为2时利润L(x)最大,最大利润是27$

\quad
例题27: $f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x}$
讨论曲线$y=f(x)$的几何性质(定义域, 单调性, 凹凸性)

定义域$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$
令$f^{\prime }(x)=0$, 解得x=-1或x=1
令$f^{\prime }(x)不存在$, 解得x=0

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$
令$f^{\prime \prime }(x)不存在$, 解得x=0

x	($-\infty$, -1)	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+$\infty$)
$y^{\prime }$	$+$	0	$-$	/	$-$	0	$+$
$y^{\prime }$	$-$	$-$	$-$	/	$+$	$+$	$+$
$y$	↑凸	极大值	↓凸	/	↓凹	极小值	↑凹