α-β滤波器（一种1维稳态Kalman滤波器）详解

$\alpha -\beta$滤波器

本博客来自一个课程的作业，包含以下内容：

• 一．α-β滤波器推导
• 二．作为稳态滤波器与Kalman滤波的比较
• 三．α-β的参数设置及其最优性
• 四．仿真演示
• 五．总结

KF是噪声干扰下、线性系统最优的滤波器，而a-b滤波器是KF的衍生物，在性质、结构上都很类似，但在计算复杂性上大大降低。KF动态地调整系数，以最大效率的滤除观测误差，使对应的状态估计值最佳。而a-b滤波则使用固定的滤波增益，或者认为给定好的变化增益。所以a-b滤波器是次优的。通过调整系数，用户可以控制用于从最近的测量中历史数据的长度，并用来估计数据的真实值。

对一标量$x(k)$，存在对它的一系列观测值$\{z(k)\}$，则$\alpha -\beta$滤波器的预测和滤波方程为
$$\begin{array}{rl}x(k+1|k)& =\hat{x}(k)+\Delta t\cdot \hat{v}(k)\\ \hat{x}(k+1)& =x(k+1|k)+\alpha \cdot [z(k+1)-x(k+1|k)]\\ \hat{v}(k+1)& =\hat{v}(k)+\beta /\Delta t\cdot [z(k+1)-x(k+1|k)\end{array}$$其中$\Delta t$为观测的更新时间。参数$\alpha ,\beta$的设置依赖于对数据机动量噪声估计的大小、观测误差的大小。

状态方程和观测方程

a-b滤波和a-b-g滤波都要解决这样一个问题：对1维数据$x(k)$，已知这个数据的一系列观测值$\{x(0),x(1),\cdots ,x(k)\}$，然后要利用已有数据进行滤波估计，得到更准确和平滑的值。

通常使用场景：假设1维场景的目标以匀速直线运动，而能够测量到距离序列，需要估计它的真实距离。

a-b滤波器不要求已知数学模型，它所考虑的只有状态在时域的连续性，也就是状态量$x$的一阶导和二阶导存在如下关系
$$\begin{gathered} \dot{x}=v \\ \dot{v}=a \end{gathered}$$这个式子如果改成离散型，一阶或二阶形式分别就是a-b滤波，a-b-g滤波的系统方程
$$\begin{gathered} x(k+1)=x(k)+\Delta t\cdot v(k) \\ x(k+1)=x(k)+\Delta t\cdot v(k)+\frac{\Delta t^2}{2}\cdot a(k) \end{gathered}$$改写成state-space的离散形式：
$$\begin{gathered} \mathbf{x}(k+1|k)=\mathbf{\Phi }(k+1|k)\mathbf{x}(k) \\ \text{2个状态：位置-速度：}\mathbf{\Phi }(k+1|k)=\left[\begin{array}{cc}1& \Delta t\\ 0& 1\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ v\end{array}\right] \\ \text{3个状态：位置-速度-加速度：}\mathbf{\Phi }(k+1|k)=\left[\begin{array}{ccc}1& \Delta t& \frac{\Delta t^2}{2}\\ 0& 1& \Delta t\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ v\\ a\end{array}\right] \end{gathered}$$而观测方程往往是只有位置，只有1维，对a-b滤波而言
$$z(k)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k)\\ v(k)\end{array}\right]$$对a-b-g滤波而言，
$$z(k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k)\\ v(k)\\ a(k)\end{array}\right]$$

如果你的实际模型和这个不一样，很显然，它是被一个2阶Markov过程近似了，而其他的内部关系都没有考虑，都被当做了噪声。也就是说，噪声项$w(k)$直接施加在加速度上，以3阶为例：
$$\mathbf{x}(k+1)=\left[\begin{array}{ccc}1& \Delta t& \frac{\Delta t^2}{2}\\ 0& 1& \Delta t\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k)\\ v(k)\\ a(k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{\Delta t^2}{2}\\ \Delta t\\ 1\end{array}\right]w(k)$$

$$z(k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k)\\ v(k)\\ a(k)\end{array}\right]+n(k)$$其中$w(k),n(k)$均是不相关的高斯白噪声，互相独立，设他们的方差为$Q={\sigma }_w^2,R={\sigma }_n^2$. 3阶状态方程的$\mathbf{\Gamma }=[\Delta t^2/2,\Delta t,1{]}^{\mathrm{T}}$，2阶方程的噪声增益为$\mathbf{\Gamma }=[\Delta t^2/2,\Delta t{]}^{\mathrm{T}}$

$\alpha -\beta$滤波器最终形式

需要从已有的位置观测序列$\{z(0),z(1),\cdots ,z(k),z(k+1)\}$中估计位置$\hat{x}(k+1)$、速度$\hat{v}(k+1)$。类似地a-b-g滤波器需要从已有的位置观测序列$\{z(0),z(1),\cdots ,z(k),z(k+1\}$中估计位置$\hat{x}(k+1)$、速度$\hat{v}(k+1)$、加速度$\hat{a}(k+1)$，实际上由于种种原因，估计出来的导数项如速度、加速度都是不可用的，但滤波方程中仍然包含这些项，以保证连续性。

类似于KF的滤波过程，分为预测和更新2部分。利用上一轮的滤波数据，其中包含在新一轮观测更新时，新的预测为
$$\begin{gathered} x(k+1|k)=\hat{x}(k)+\Delta t\cdot \hat{v}(k) \\ v(k+1|k)=\hat{v}(k) \end{gathered}$$新的测量为$z(k+1)$，则观测误差为
$$\tilde{z}(k+1)=z(k+1)-x(k+1|k)$$

滤波方程使用残差的 α 倍来校正位置估计，使用残差的 β/T 倍来校正速度估计，即最终结果为
$$\begin{gathered} \hat{x}(k+1)=x(k+1|k)+\alpha \cdot \tilde{z}(k+1) \\ \hat{v}(k+1)=v(k+1|k)+\beta /\Delta t\cdot \tilde{z}(k+1) \end{gathered}$$其中第二个式子也通常把$\Delta t$直接引进去。a-b滤波的参数$\alpha ,\beta$需要实际调整。

$\alpha -\beta$滤波器作为一种稳态Kalman滤波器

状态方程、量测方程

• 预测状态$$\hat{\mathbf{x}}(k+1|k)=\mathbf{\Phi }(k+1|k)\hat{\mathbf{x}}(k)$$
• 修正$$\hat{\mathbf{x}}(k+1|k+1)=\hat{\mathbf{x}}(k+1|k)+\mathbf{K}[z(k+1)-\mathbf{H}\hat{\mathbf{x}}(k+1|k)]$$其中观测矩阵$\mathbf{h}=[1,0]$，Kalman增益是一个定常矩阵
  $$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta /\Delta t\end{array}\right]$$这2个方程与Kalman滤波完全一样。

推导增益$K$

根据Kalman滤波协方差矩阵稳态的条件，可以推出其余的3个方程：

• 状态协方差预测

$$\mathbf{P}(k+1|k)=\mathbf{\Phi }\mathbf{P}(k|k){\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\Gamma }{\sigma }_w^2{\mathbf{\Gamma }}^{\mathrm{T}}$$

• 目标跟踪增益（方括号里的矩阵求逆退化为1维标量求倒数）

$$\mathbf{K}(k+1)=\mathbf{P}(k+1|k){\mathbf{h}}^{\mathrm{T}}[\mathbf{h}\mathbf{P}(k+1|k){\mathbf{h}}^{\mathrm{T}}+{\sigma }_n^2{]}^{-1}$$

• 协方差更新

$$\mathbf{P}(k+1|k+1)=[I_2-\mathbf{K}(k+1)\mathbf{h}]\mathbf{P}(k+1|k)$$
构造这样的关系，即预测出的协方差矩阵已经趋于稳态：
$$\mathbf{P}(k+1|k)=\mathbf{P}(k|k-1)=\mathbf{P}$$将稳态形式的Kalman滤波的三个方程代入，得到Riccati方程形式
$$\begin{gathered} \Phi \left[P-P{H}^{\top }{\left(HP{H}^{\top }+R\right)}^{-1}HP\right]{\Phi }^{\top }+\Gamma Q{\Gamma }^{\top }=P \\ \downarrow \\ \Phi P{\Phi }^{\top }-\Phi P{H}^{\top }{\left(HP{H}^{\mathrm{T}}+{\sigma }_n^2\right)}^{-1}HP{\Phi }^{\top }+\Gamma {\sigma }_w^2{\Gamma }^{\top }=P \end{gathered}$$求解预测的协方差矩阵
$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right]$$通过将所有的项代入，可以在mathematica中解出3个方程的解，共有4组可行解，再考虑到协方差矩阵的正定性，只剩下一组可行解。

即作为其他几个变量的函数
$$\begin{gathered} P_{11}\mapsto (\Delta t,{\sigma }_w,{\sigma }_n) \\ {P}_{12}\mapsto (\Delta t,{\sigma }_w,{\sigma }_n) \\ {P}_{22}\mapsto (\Delta t,{\sigma }_w,{\sigma }_n) \end{gathered}$$

将这个表达式代入，就可以得到滤波增益：
$$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta /\Delta t\end{array}\right]=\frac{1}{{\sigma }_n^2+P_{11}}\left[\begin{array}{c}{P}_{11}\\ P_{21}\end{array}\right]$$这样，就可以构造关系：
$$\Delta t,{\sigma }_w,{\sigma }_n\mapsto P_{11},P_{12}\mapsto \alpha ,\beta$$但是，由于前一个表达式过于复杂，不可能把这么长的表达式代入。因此求解结果仍然没有应用价值。

结论

结论：a-b滤波器是Kalman滤波器作为稳态滤波器的衍生物，在性质、结构上与KF都很类似。

• KF有明确的状态空间模型，而a-b滤波器将状态简化为二阶噪声驱动的Markov随机过程
• KF有多维观测量，而a-b滤波器只有所有状态的第1维。但两者都是将观测直接加白噪声。
• KF预测协方差矩阵，而a-b滤波器只关注状态的连续性，不考虑不确定部分
• KF是噪声干扰下、线性系统最优的滤波器，而a-b滤波器是稳态的固定系数的，次优的滤波器

$\alpha ,\beta$参数的工程化设置

KF动态地调整系数，以最大效率的滤除观测误差，使对应的状态估计值最佳。而a-b滤波则使用固定的滤波增益，或者认为给定好的变化增益。

文献给出了一种根据物理意义明确的设置方法，定义了跟踪指数tracking index，
$$\Lambda \triangleq \frac{\Delta t^2\cdot {\sigma }_w}{{\sigma }_n}$$其实就是位置的机动（加速度上的噪声$w(k)$）误差除以测量误差（测量方程噪声$n(k)$），作为模型误差与观测误差的比值，根据它，可以直接约束$\alpha$，进而确定$\beta$。

• 如果观测不可靠，则跟踪指数小，会更倾向于已有的数据；
• 如果目标机动量大，则跟踪指数大，则更倾向于观测的数据。
• 跟踪指数小，滤波结果更平滑，但收敛更慢。但是不至于导致发散。

按照它，最优的参数准则应该满足以下关系：
$$\frac{{\beta }^2}{1-\alpha }={\Lambda }^2$$经过在Kalman滤波器框架下的推导，证明等价于最小方差的最优稳态滤波器，实际上就是Riccati方程的化简解。化简解还有
$$\begin{gathered} r=\frac{4+\Lambda -\sqrt{8\Lambda +{\Lambda }^2}}{4},\alpha =1-r^2 \\ \beta =2(2-\alpha )-4\sqrt{1-\alpha } \end{gathered}$$根据跟踪指数可以获得最优的$\alpha$，进而得到最优的$\beta$，两个参数之间的关系如下图所示。

此外，Kalata还给出了其他的一些类型如$\alpha$滤波器，$\alpha -\beta -\gamma$滤波器的参数设置。

由于根号内部不能小于0，所以还有一些不等式条件：
$$\begin{array}{rl}& 0<\alpha <1\\ & 0<\beta \le 2\\ & 0<4-2\alpha -\beta \end{array}$$

Kalata还给出了滤波过程的初始化，以及性能指标的预估。虽然这几个滤波器都是全局收敛的。：

仿真

搭建一个1维模拟的模块，模拟匀速直线运动，加速度项用噪声模拟。滤波器根据观测噪声的比值，用最优的参数配置。

观测更新率	$dT$	10Hz
观测误差（高斯白噪声，1$\sigma$）	${\sigma }_n$	1m
目标实际运动
机动性模拟（高斯白噪声，1$\sigma$）	${\sigma }_w$	0.03m/s2
加速度	$a(0)$	0
速度	$v(0)$	10m/s
初始距离	$x(0)$	980m
滤波器
初始距离估计	$\hat{x}(0)$	1200m
初始位置估计	$\hat{v}(0)$	5m/s
加速度估计		无
跟踪指数	$\frac{\Delta t^2\cdot {\sigma }_w}{{\sigma }_n}$	3e-4
	$\alpha$	0.0242
	$\beta$	0.0003

工况1 初始估计误差很大

目标机动量较小，基本沿匀速直线运动，观测噪声一般，但初始估值较差。结果如下

估计太差，而观测器显然不会出现这样的问题，所以此时收敛非常慢。要收敛正常，可增大增益a、b，或者按照跟踪指数的原则，增大$\Lambda$，得到

$\alpha$ 0.1362 $\beta$ 0.0099

此时，收敛更快

工况2 观测噪声很大

目标偏离直线运动较多${\sigma }_w=1m/s^2$，，观测噪声很大${\sigma }_n=3.16m$，初始估值较差，此时滤波结果仍为平滑的

工况3 恒定加速度扰动

目标短暂地加速，加速度$a=10m/s^2$，机动量噪声较大${\sigma }_w=1m/s^2$，观测噪声一般${\sigma }_n=1m$，初始估值较差，此时

工况4 增大a、b的结果

$\alpha$ 0.1362 $\beta$ 0.0099

$\alpha$ 0.75 $\beta$ 0.5

小的参数，更平滑，但会在目标动态机动时产生滞后误差；大的参数，跟踪性能更好，但滤波曲线波动更多。

总结

• 对高斯白噪声影响下的动态数据，未知系统模型，根据现有的数据观测，滤波效率非常高、收敛性也较好。
• 只能处理1维的观测数据，适用于计算量要求苛刻的简单问题。
• 滤波性能十分依赖于α、β 参数，越大，代表更相信观测数据，滤波的噪声越多；越小，代表更相信历史数据，也就是收敛更慢。
• 作为稳态卡尔曼滤波的简化形式，存在一个最优的设置，它依赖于观测更新时间、机动量噪声、观测噪声

Ref

1. Mathworks-alphabetafilter
2. Robert Penoyer - The Alpha-Beta Filter
3. Wikipedia - Alpha_beta filter
4. Kalata, P. R. (1984). The Tracking Index: A Generalized Parameter for α-β and α-β-γ Target Trackers. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, AES-20(2), 174-182. doi:10.1109/TAES.1984.310438