【矩阵论】6. 范数理论——非负/正矩阵

6.5 非负/正矩阵

6.5.1 定义

a. 非负/正矩阵定义

一个实矩阵 $A=(a_{ij})\in R^{m\times n}$

• 若对每一 $i$ 和 $j$ ，$a_{ij}\ge 0$ ，则称A是非负矩阵，$A\ge 0$

• 若对每一 $i$ 和 $j$ ，$a_{ij}>0$ ，则称A是正矩阵，$A>0$

b. 矩阵大小关系

设 $A,B\in C^{n\times n}$

• 如果 $A-B\ge 0$ ，则写 $A\ge B$
• 如果 $A-B>0$ ,则 $A>B$

c. 绝对矩阵

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ ，规定其绝对矩阵为 $|A|\stackrel{\Delta }{=}(|a_{ij}|)$

6.5.2 性质

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}，B=(b_{ij}{)}_{m\times n}$ ，有

1. $|A|=(|a_{ij}|)\ge 0$ ；$|A|=0$ 当且仅当 $A=0$

2. $|kA|=|k|\cdot |A|,k\in C$

3. $|A^k|\le |A{|}^k,k=1,2,\cdots$

4. 若 $A>0$ ，则 $A^k>0，k=1,2,\cdots$

5. $|A+B|\le |A|+|B|$

6. 如果 $A\ge 0，A\ne 0$ ，则 $A>0$ 不一定成立

   $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\ge 0$ ，但 $A$ 不是正矩阵

7. 若 $A\ge 0,B\ge 0,a\ge 0,b\ge 0$ ，则 $aA+bB\ge 0$

8. $A\ge B,C\ge D$，则 $A+C\ge B+D$

9. $A\ge B,B\ge C$ ，则 $A\ge C$

设 $A，B，C，D\in C^{n\times n}$ ，$x,y\in C^n$

1. $|Ax|\le |A|\cdot |x|$

2. 若 $0\le A\le B,0\le C\le D$ ，则 $0\le AC\le AD \le BD $

3. 若 $0\le A\le B$ ，则 $0\le A^k\le B^k,k=1,2,\cdots$

4. 若 $|A|\le |B|$ ，则范数 $\Vert A{\Vert }_F\le \Vert B{\Vert }_F$ ，且 $\Vert A{\Vert }_1\le \Vert B{\Vert }_1$

5. $非负向量\times 正矩阵\Rightarrow 正向量$ ：若 $A>0$，且 $ x\ge 0$ ，则 $Ax>0$

   $正向量\times 非负矩阵(不存在0行)\Rightarrow 正向量$ ：若 $A\ge 0,x>0$ ,且 $A的各行不是0$ ，则也有 $Ax>0$

   $正向量\times 非负矩阵=0\Rightarrow A是0阵$ ：若 $A\ge 0,x>0$ 且 $Ax=0$ ，则 $A=0$

   若 $A\ge B,x>0$ ，且 $Ax=Bx$ ，则 $A=B$

6.5.3 正矩阵与谱半径定理

a. 范数约束谱半径

设非负阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}\ge 0$ ，

• 令 $h=A的最小行和$ ,$l=A的最小列和$

  $h\le \rho (A)\le \Vert A{\Vert }_{\infty }$

  $l\le \rho (A)\le \Vert A{\Vert }_1$

• $A$ 的各行(或列)的和为正，则 $\rho (A)>0$

• A没有0行（或0列），则可知 $\rho (A)>0$

设正矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}>0$ ，令 $h=A的最小行和$ ,$l=A的最小列和$

• $h<\rho (A)<\Vert A{\Vert }_{\infty }$
• $l<\rho (A)<\Vert A{\Vert }_1$
• $\rho (A)>0$

eg

$$\begin{array}{rl}& B为正矩阵，h=\frac{4}{5},\Vert B{\Vert }_{\infty }=1,l=\frac{47}{60},\Vert B{\Vert }_1=\frac{62}{60}\\ & \frac{4}{5}<\rho (B)<1,\frac{47}{60}<\rho (B)<\frac{62}{60}\end{array}$$

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b. 矩阵间谱半径关系

设 $A,B\in C^{n\times n}$ ，$|A|\le B$ ，则 $\rho (A)\le \rho (|A|)<\rho (B)$

$0\le A\le B$ ，则 $\rho (A)\le \rho (B)$

$A\ge 0$ ，D为A中任一主子阵，则 $\rho (A)\ge \rho (D)$

$A>0$ ，则 $\rho (A)>0$

$0\le A<B$ ，则 $\rho (A)<\rho (B)$ ，

设 $A\ge 0$

• 若 $A$ 的每个行和为常数 $a$ ，则 $\rho (A)=a=\Vert A{\Vert }_{\infty }$

• 若 $A$ 的每个列和为常数 $b$ ，则 $\rho (A)=b=\Vert A{\Vert }_1$

c. 谱半径与特向特根关系

引理：

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}\ge 0$ ，任取正向量 X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) > 0 X=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)>0 X= ​x1​x2​⋮xn​​ ​>0 ，则

• $\underset{i}{\min }\left(\frac{1}{x_i}\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)\le \rho (A)\le \underset{i}{\max }\left(\frac{1}{x_i}\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)$

  $\rho (A)$ 的范围与乘积元素的最小值和最大值有关

  ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 ⋮ x i ⋮ x n ) = ( ∑ j = 1 n ( a 1 j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a i j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a n j x j ) ) \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\\vdots\\x_i\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\sum_{j=1}^n\limits (a_{1j}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{nj}x_j)\end{matrix}\right) ​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1n​⋮ain​⋮ann​​ ​ ​x1​⋮xi​⋮xn​​ ​= ​j=1∑n​(a1j​xj​)⋮j=1∑n​(aij​xj​)⋮j=1∑n​(anj​xj​)​ ​

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}\ge 0$ ，$AX={\lambda }_{1}X$ ， X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) > 0 ( 正向量 ) X=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)>0(正向量) X= ​x1​x2​⋮xn​​ ​>0(正向量) 则有 $\rho (A)={\lambda }_1$

证明：
若 A X = λ 1 X , 则 ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 ⋮ x i ⋮ x n ) = ( ∑ j = 1 n ( a 1 j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a i j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a n j x j ) ) ∴ ∑ j = 1 n ( a i j x j ) = λ 1 x i ⇒ λ 1 = 1 x i ∑ j = 1 n ( a i j x j ) 由引理， λ 1 = min ⁡ i ( 1 x i ∑ j = 1 n a i j x j ) ≤ ρ ( A ) ≤ max ⁡ i ( 1 x i ∑ j = 1 n a i j x j ) = λ 1 ∴ λ 1 恰为谱半径 ρ ( A ) \begin{aligned} &若AX=\lambda_1X,则\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\\vdots\\x_i\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\sum_{j=1}^n\limits (a_{1j}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{nj}x_j)\end{matrix}\right)\\ &\therefore \sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)=\lambda_1x_i\Rightarrow \lambda_1=\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)\\ &由引理，\lambda_1=\min_i\limits\left(\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits a_{ij}x_j\right)\le \rho(A)\le \max_i\limits\left(\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits a_{ij}x_j\right)=\lambda_1\\ &\therefore \lambda_1 恰为谱半径 \rho(A) \end{aligned} ​若AX=λ1​X,则 ​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1n​⋮ain​⋮ann​​ ​ ​x1​⋮xi​⋮xn​​ ​= ​j=1∑n​(a1j​xj​)⋮j=1∑n​(aij​xj​)⋮j=1∑n​(anj​xj​)​ ​∴j=1∑n​(aij​xj​)=λ1​xi​⇒λ1​=xi​1​j=1∑n​(aij​xj​)由引理，λ1​=imin​(xi​1​j=1∑n​aij​xj​)≤ρ(A)≤imax​(xi​1​j=1∑n​aij​xj​)=λ1​∴λ1​恰为谱半径ρ(A)​

推论

设 x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) > 0 x=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)>0 x= ​x1​x2​⋮xn​​ ​>0 ，$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}\ge 0$ ， $a\ge 0,b\ge 0$

• 若 $aX\le Ax\le bX$ ，则 $a\le \rho (A)\le b$
• 若 $aX<Ax<bX$ ，则 $a<\rho (A)<b$

若 $X\ge 0$ ，$A>0$

• 若 $AX=\lambda X$ ，则 $A$ 有正特征向量 $X>0$ ，且 $\lambda =\rho (A)$

配龙定理

设 $A=A_{n\times n}>0$

• $\rho (A)>0$ 且 $\rho (A)$ 恰是 $A$ 的正特根
• 存在正特根 $x>0$ ，使 $Ax=\rho (A)x$
• $\rho (A)$ 是 $A$ 的单特根
• 若特根 $\lambda \ne \rho (A)$ ，则 $|\lambda |<\rho (A)$ （$\rho (A)$为唯一极大模特征根）