一个实矩阵 A = ( a i j ) ∈ R m × n A=(a_{ij})\in R^{m\times n} A=(aij)∈Rm×n
若对每一 i i i 和 j j j , a i j ≥ 0 a_{ij}\ge 0 aij≥0 ,则称A是非负矩阵, A ≥ 0 A\ge 0 A≥0
若对每一 i i i 和 j j j , a i j > 0 a_{ij}>0 aij>0 ,则称A是正矩阵, A > 0 A>0 A>0
设 A , B ∈ C n × n A,B\in C^{n\times n} A,B∈Cn×n
设 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n ,规定其绝对矩阵为 ∣ A ∣ = Δ ( ∣ a i j ∣ ) \vert A\vert\overset{\Delta}{=}(\vert a_{ij}\vert) ∣A∣=Δ(∣aij∣)
设 A = ( a i j ) m × n , B = ( b i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n,B=(bij)m×n ,有
∣ A ∣ = ( ∣ a i j ∣ ) ≥ 0 \vert A\vert=(\vert a_{ij}\vert)\ge 0 ∣A∣=(∣aij∣)≥0 ; ∣ A ∣ = 0 \vert A\vert=0 ∣A∣=0 当且仅当 A = 0 A=0 A=0
∣ k A ∣ = ∣ k ∣ ⋅ ∣ A ∣ , k ∈ C \vert kA\vert=\vert k\vert\cdot \vert A\vert,k\in C ∣kA∣=∣k∣⋅∣A∣,k∈C
∣ A k ∣ ≤ ∣ A ∣ k , k = 1 , 2 , ⋯ \vert A^k\vert\le \vert A\vert^k,k=1,2,\cdots ∣Ak∣≤∣A∣k,k=1,2,⋯
若 A > 0 A>0 A>0 ,则 A k > 0 , k = 1 , 2 , ⋯ A^k>0,k=1,2,\cdots Ak>0,k=1,2,⋯
∣ A + B ∣ ≤ ∣ A ∣ + ∣ B ∣ \vert A+B\vert\le \vert A\vert + \vert B\vert ∣A+B∣≤∣A∣+∣B∣
如果 A ≥ 0 , A ≠ 0 A\ge 0,A\neq 0 A≥0,A=0 ,则 A > 0 A>0 A>0 不一定成立
( 1 0 0 1 ) ≥ 0 \left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\ge 0 (1001)≥0 ,但 A A A 不是正矩阵
若 A ≥ 0 , B ≥ 0 , a ≥ 0 , b ≥ 0 A\ge 0,B\ge 0,a\ge 0,b\ge 0 A≥0,B≥0,a≥0,b≥0 ,则 a A + b B ≥ 0 aA+bB\ge 0 aA+bB≥0
A ≥ B , C ≥ D A\ge B,C\ge D A≥B,C≥D,则 A + C ≥ B + D A+C\ge B+D A+C≥B+D
A ≥ B , B ≥ C A\ge B,B\ge C A≥B,B≥C ,则 A ≥ C A\ge C A≥C
设 A , B , C , D ∈ C n × n A,B,C,D\in C^{n\times n} A,B,C,D∈Cn×n , x , y ∈ C n x,y\in C^n x,y∈Cn
∣ A x ∣ ≤ ∣ A ∣ ⋅ ∣ x ∣ \vert Ax\vert \le \vert A\vert\cdot\vert x\vert ∣Ax∣≤∣A∣⋅∣x∣
若 0 ≤ A ≤ B , 0 ≤ C ≤ D 0\le A\le B,0\le C\le D 0≤A≤B,0≤C≤D ,则 $0\le AC\le AD \le BD $
若 0 ≤ A ≤ B 0\le A\le B 0≤A≤B ,则 0 ≤ A k ≤ B k , k = 1 , 2 , ⋯ 0\le A^k\le B^k,k=1,2,\cdots 0≤Ak≤Bk,k=1,2,⋯
若 ∣ A ∣ ≤ ∣ B ∣ \vert A\vert\le \vert B\vert ∣A∣≤∣B∣ ,则范数 ∥ A ∥ F ≤ ∥ B ∥ F \Vert A\Vert_F\le \Vert B\Vert_F ∥A∥F≤∥B∥F ,且 ∥ A ∥ 1 ≤ ∥ B ∥ 1 \Vert A\Vert_1\le \Vert B\Vert_1 ∥A∥1≤∥B∥1
非负向量 × 正矩阵 ⇒ 正向量 非负向量\times 正矩阵\Rightarrow 正向量 非负向量×正矩阵⇒正向量 :若 A > 0 A>0 A>0,且 $ x\ge 0$ ,则 A x > 0 Ax>0 Ax>0
正向量 × 非负矩阵 ( 不存在 0 行 ) ⇒ 正向量 正向量\times 非负矩阵(不存在0行)\Rightarrow 正向量 正向量×非负矩阵(不存在0行)⇒正向量 :若 A ≥ 0 , x > 0 A\ge 0,x>0 A≥0,x>0 ,且 A 的各行不是 0 A的各行不是0 A的各行不是0 ,则也有 A x > 0 Ax>0 Ax>0
正向量 × 非负矩阵 = 0 ⃗ ⇒ A 是 0 阵 正向量\times 非负矩阵=\vec{0}\Rightarrow A是0阵 正向量×非负矩阵=0⇒A是0阵 :若 A ≥ 0 , x > 0 A\ge 0,x>0 A≥0,x>0 且 A x = 0 Ax=0 Ax=0 ,则 A = 0 A=0 A=0
若 A ≥ B , x > 0 A\ge B,x>0 A≥B,x>0 ,且 A x = B x Ax=Bx Ax=Bx ,则 A = B A=B A=B
设非负阵 A = ( a i j ) n × n ≥ 0 A=(a_{ij})_{n\times n}\ge 0 A=(aij)n×n≥0 ,
令 h = A 的最小行和 h=A的最小行和 h=A的最小行和 , l = A 的最小列和 l=A的最小列和 l=A的最小列和
h ≤ ρ ( A ) ≤ ∥ A ∥ ∞ h\le \rho(A)\le \Vert A\Vert_{\infty} h≤ρ(A)≤∥A∥∞
l ≤ ρ ( A ) ≤ ∥ A ∥ 1 l\le \rho(A)\le \Vert A\Vert_1 l≤ρ(A)≤∥A∥1
A A A 的各行(或列)的和为正,则 ρ ( A ) > 0 \rho(A)>0 ρ(A)>0
A没有0行(或0列),则可知 ρ ( A ) > 0 \rho(A)>0 ρ(A)>0
设正矩阵 A = ( a i j ) n × n > 0 A=(a_{ij})_{n\times n}>0 A=(aij)n×n>0 ,令 h = A 的最小行和 h=A的最小行和 h=A的最小行和 , l = A 的最小列和 l=A的最小列和 l=A的最小列和
eg
B 为正矩阵, h = 4 5 , ∥ B ∥ ∞ = 1 , l = 47 60 , ∥ B ∥ 1 = 62 60 4 5 < ρ ( B ) < 1 , 47 60 < ρ ( B ) < 62 60 \begin{aligned} &B为正矩阵,h=\frac{4}{5},\Vert B\Vert_\infty=1,l=\frac{47}{60},\Vert B\Vert_1=\frac{62}{60}\\ &\frac{4}{5}<\rho(B)<1,\frac{47}{60}<\rho(B)<\frac{62}{60} \end{aligned} B为正矩阵,h=54,∥B∥∞=1,l=6047,∥B∥1=606254<ρ(B)<1,6047<ρ(B)<6062
设 A , B ∈ C n × n A,B\in C^{n\times n} A,B∈Cn×n , ∣ A ∣ ≤ B \vert A\vert\le B ∣A∣≤B ,则 ρ ( A ) ≤ ρ ( ∣ A ∣ ) < ρ ( B ) \rho(A)\le \rho(\vert A\vert)<\rho(B) ρ(A)≤ρ(∣A∣)<ρ(B)
0 ≤ A ≤ B 0\le A\le B 0≤A≤B ,则 ρ ( A ) ≤ ρ ( B ) \rho(A)\le \rho(B) ρ(A)≤ρ(B)
A ≥ 0 A\ge 0 A≥0 ,D为A中任一主子阵,则 ρ ( A ) ≥ ρ ( D ) \rho(A)\ge \rho(D) ρ(A)≥ρ(D)
A > 0 A>0 A>0 ,则 ρ ( A ) > 0 \rho(A)>0 ρ(A)>0
0 ≤ A < B 0\le A0≤A<B ,则 ρ ( A ) < ρ ( B ) \rho(A)<\rho(B) ρ(A)<ρ(B) ,
设 A ≥ 0 A\ge 0 A≥0
若 A A A 的每个行和为常数 a a a ,则 ρ ( A ) = a = ∥ A ∥ ∞ \rho(A)=a=\Vert A\Vert_\infty ρ(A)=a=∥A∥∞
若 A A A 的每个列和为常数 b b b ,则 ρ ( A ) = b = ∥ A ∥ 1 \rho(A)=b=\Vert A\Vert_1 ρ(A)=b=∥A∥1
引理:
设 A = ( a i j ) n × n ≥ 0 A=(a_{ij})_{n\times n}\ge 0 A=(aij)n×n≥0 ,任取正向量 X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) > 0 X=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)>0 X= x1x2⋮xn >0 ,则
min i ( 1 x i ∑ j = 1 n a i j x j ) ≤ ρ ( A ) ≤ max i ( 1 x i ∑ j = 1 n a i j x j ) \min_i\limits\left(\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits a_{ij}x_j\right)\le \rho(A)\le \max_i\limits\left(\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits a_{ij}x_j\right) imin(xi1j=1∑naijxj)≤ρ(A)≤imax(xi1j=1∑naijxj)
ρ ( A ) \rho(A) ρ(A) 的范围与乘积元素的最小值和最大值有关
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 ⋮ x i ⋮ x n ) = ( ∑ j = 1 n ( a 1 j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a i j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a n j x j ) ) \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\\vdots\\x_i\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\sum_{j=1}^n\limits (a_{1j}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{nj}x_j)\end{matrix}\right) a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋱⋯⋱⋯a1n⋮ain⋮ann x1⋮xi⋮xn = j=1∑n(a1jxj)⋮j=1∑n(aijxj)⋮j=1∑n(anjxj)
设 A = ( a i j ) n × n ≥ 0 A=(a_{ij})_{n\times n}\ge 0 A=(aij)n×n≥0 , A X = λ 1 X AX=\lambda_1X AX=λ1X , X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) > 0 ( 正向量 ) X=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)>0(正向量) X= x1x2⋮xn >0(正向量) 则有 ρ ( A ) = λ 1 \rho(A)=\lambda_1 ρ(A)=λ1
证明:
若 A X = λ 1 X , 则 ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 ⋮ x i ⋮ x n ) = ( ∑ j = 1 n ( a 1 j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a i j x j ) ⋮ ∑ j = 1 n ( a n j x j ) ) ∴ ∑ j = 1 n ( a i j x j ) = λ 1 x i ⇒ λ 1 = 1 x i ∑ j = 1 n ( a i j x j ) 由引理, λ 1 = min i ( 1 x i ∑ j = 1 n a i j x j ) ≤ ρ ( A ) ≤ max i ( 1 x i ∑ j = 1 n a i j x j ) = λ 1 ∴ λ 1 恰为谱半径 ρ ( A ) \begin{aligned} &若AX=\lambda_1X,则\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\\vdots\\x_i\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\sum_{j=1}^n\limits (a_{1j}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)\\\vdots\\\sum_{j=1}^n\limits (a_{nj}x_j)\end{matrix}\right)\\ &\therefore \sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)=\lambda_1x_i\Rightarrow \lambda_1=\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits (a_{ij}x_j)\\ &由引理,\lambda_1=\min_i\limits\left(\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits a_{ij}x_j\right)\le \rho(A)\le \max_i\limits\left(\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n\limits a_{ij}x_j\right)=\lambda_1\\ &\therefore \lambda_1 恰为谱半径 \rho(A) \end{aligned} 若AX=λ1X,则 a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋱⋯⋱⋯a1n⋮ain⋮ann x1⋮xi⋮xn = j=1∑n(a1jxj)⋮j=1∑n(aijxj)⋮j=1∑n(anjxj) ∴j=1∑n(aijxj)=λ1xi⇒λ1=xi1j=1∑n(aijxj)由引理,λ1=imin(xi1j=1∑naijxj)≤ρ(A)≤imax(xi1j=1∑naijxj)=λ1∴λ1恰为谱半径ρ(A)
设 x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) > 0 x=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)>0 x= x1x2⋮xn >0 , A = ( a i j ) n × n ≥ 0 A=(a_{ij})_{n\times n}\ge 0 A=(aij)n×n≥0 , a ≥ 0 , b ≥ 0 a\ge 0,b\ge 0 a≥0,b≥0
若 X ≥ 0 X\ge 0 X≥0 , A > 0 A>0 A>0
配龙定理
设 A = A n × n > 0 A=A_{n\times n}>0 A=An×n>0